matlab求解普通函数的导数问题（diff函数的用法）

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目录
一元函数的导数
& c1 V! ~, }, L# w1 hMATLAB函数语法
% O% q4 e! f. {应用举例
例1 ：普通函数求导
例2 ：复合泛函求导
+ W& ~* |  ?: M例3 ：矩阵函数求导
多元函数的偏导数
% e4 g6 O! E3 L% aMATLAB函数语法
" f9 c& W9 M2 q$ W. w应用举例
( J  ^- m$ d9 ^" J. @例1 ：求偏导并绘图
例2 ：三元函数求偏导

# h; o5 m$ T4 K( I! I一元函数的导数
MATLAB函数语法

• y = diff(fun, x)        % // 函数fun的一阶导数
• y = diff(fun, x, n)     % // 函数fun的 n阶导数
  

" N. U& w1 ?6 P+ c# w  a注：自变量为唯一符号变量时，可以省去 x x x。
2 S. ?* d0 z4 K" A' t
3 K: z6 i' e2 h" `应用举例
+ M8 k! y+ _$ z4 Z; |2 V: q例1 ：普通函数求导
给定函数
4 p: w: {4 i8 x% Y
​        
& {3 G  j/ Q' C( h8 Q分别求其一阶导数和四阶导数，并绘制原函数和一阶导数的图像，计算求解50阶导数时所用的时间。

• syms x; f=sin(x)/(x^2+4*x+3); f1=diff(f)
• ezplot(f,[0,5]), hold on; ezplot(f1,[0,5])
• f4 = diff(f,x,4)
• f41 = collect(simplify(f4),sin(x))
• f42 = collect(simplify(f4),cos(x))
• tic, diff(f,x,50); toc
  

  s# |. c- y- P7 n- d& \0 i7 G
) F; S$ ^2 U( e' a) ^  f根据结果可知diff函数的效率较高。

, K5 n2 [; |" }例2 ：复合泛函求导
已知函数 ，推导其三阶导数公式。
# @  Y8 s+ ?9 c" Y( r3 v2 [7 D
分析：该题难点为如何定义 f ( t )

/ q$ N* o( X3 h: U8 H4 m

• syms t f(t)
• G = simplify(diff(t^2*sin(t)*f,t,3))
  5 H# U) d  g4 r" ]! G

当 时， F ( t ) 的三阶导数为
' {5 [0 `3 C/ j' W/ g0 i

• G0 = simplify(subs(G,f,exp(-t)))
• err = simplify(diff(t^2*sin(t)*exp(-t),3)-G0)
  

2 r9 T' n, S  L0 [
* R2 K% l: p) p例3 ：矩阵函数求导


% d, y4 A$ O; R$ L; ~6 Y对每个矩阵元素直接求导

• syms x;
• H=[4*sin(5*x), exp(-4*x^2); 3*x^2+4*x+1, sqrt(4*x^2+2)],
• H1=diff(H,x,3)
  

多元函数的偏导数
7 V6 h" w4 h' o! FMATLAB函数语法
& M& \$ x) {6 {/ r; k高阶偏导数
0 ?4 t' i* f  A0 y% v
的求法
: C( l4 w1 j+ D: P: L7 s; E

• y = diff(diff(fun, x, m), y, n)
• y = diff(diff(fun, y, n), x, m)
  

: B- c7 a+ f! L( D' u应用举例
  U7 C$ g: h' c% E例1 ：求偏导并绘图
% `) f. Z' T4 j( G( r% z求函数 的一阶偏导 ,并绘图。

• 求偏导数
  

• syms x y
• z  = (x^2-2*x)*exp(-x^2-y^2-x*y);
• zx = simplify(diff(z,x))
• zy = simplify(diff(z,y))
  

- E1 p; H1 p4 K$ _& C

• 绘制三维曲面
  # \, r+ z  b8 G3 H) Q/ N

• [x0,y0] = meshgrid(-3:.2:2,-2:.2:2);
• z0 = double(subs(z,{x,y},{x0,y0}));
• suRF(x0,y0,z0), zlim([-0.7 1.5])
  6 B% b) H, h8 l! r6 j' Z

# W0 f9 \5 p' J5 E3 B8 E$ J

% x- ^5 {+ t6 R+ J7 k% R

• 绘制引力线（负梯度）
  

• contour(x0,y0,z0,30), hold on
• zx0 = subs(zx,{x,y},{x0,y0});
• zy0 = subs(zy,{x,y},{x0,y0});
• quiver(x0,y0,-zx0,-zy0)
  * y5 ^- l% f( i; b

0 q+ B5 m$ `4 y( r

- c! O! E2 r$ _# J: W8 G
例2 ：三元函数求偏导
  a8 l+ o' P( E8 q( T- m, ^求函数 的偏导数

• syms x y z
• f  = sin(x^2*y)*exp(-x^2*y-z^2);
• df = diff(diff(diff(f,x,2),y),z);
• df = simplify(df)
  ; b, e$ w/ O9 e6 g6 {

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