matlab求解极限问题（limit函数的用法）

ulppknot

本文介绍利用MATLAB求解函数或序列的极限问题，顺便介绍limit函数的用法。内容主要包括单变量函数的极限和多变量函数的极限。
/ ?# I: C2 N* X0 {; X# m7 W( \目录
单变量函数的极限
极限的定义
4 N$ I; @' a: ?+ d6 M4 u' |普通极限
左极限
: z; z8 S8 u1 G1 q9 c% [3 g1 b右极限
3 G$ A' Q$ K3 u) D, j' O  Xmatlab实现方法
应用举例
( d8 V& [- D9 A3 p多变量函数的极限
matlab实现方法
应用举例
单变量函数的极限
极限的定义

/ v# g) Q: \/ U$ @0 r4 _
  j2 c6 v) y& \( m( i% |! o9 N- \

1 S5 B/ a/ s% `' Qmatlab实现方法

• L=limit(fun, x, x0)                % //普通极限
• L=limit(fun, x, x0, 'left')        % //左极限
• L=limit(fun, x, x0, 'right')       % //右极限
  - x0 P# F) y. v& j

3 @- z. S( E2 F; i2 @
- y: C+ {/ ~/ h6 Z/ m5 w应用举例
求解极限：

* n8 Y# M: C+ S. m; r
​        
- R# n+ R* [3 n7 |% }
* U2 q2 O5 w3 i4 S4 z) t

• syms x;  f=sin(x)/x;  L=limit(f, x, 0)
  

' j3 d: B1 c8 }9 N- H4 i
; s( K+ z1 L, R8 u求解极限：
$ j2 b4 v9 T( ?3 j% D
3 s9 v4 J. e1 [
, l1 N1 N3 n9 X$ Y- i! S3 S& o2 L* i

• syms x a b
• f = x*(1+a/x)^x*sin(b/x)
• L = limit(f, x, inf)
  

4 _# s1 E2 W( T+ _2 A求解单边极限：



! _/ u9 S$ }- F) s8 T7 h( I

• syms x; L = limit((exp(x^3)-1)/(1-cos(sqrt(x-sin(x)))),x,0,'right')
  

用下面的语句还可以绘制出 ( − 0.1 , 0.1 ) (-0.1,0.1) (−0.1,0.1)区间的函数曲线。
1 ^* m; `2 B& |* j8 u+ y

• x0=-0.1:0.001:0.1;
• y0=((exp(x0.^3)-1)./(1-cos(sqrt(x0-sin(x0)))));
• plot(x0, y0, '-', [0], [L], 'o')
  / S5 C* R2 \* q

函数曲线如下：
- Z, A- b2 p3 d! b$ d1 Y6 o7 n
2 D3 b0 `2 R1 ~- m. [可见， 对这个例子来说， 即使不用单边极限也能求出函数极限值是12。
9 T( Z$ }2 q! w' q: r7 @6 \

• L = limit((exp(x^3)-1)/(1-cos(sqrt(x-sin(x)))),x,0)
  0 x4 x8 c4 L' l+ T

, |) _3 `6 t2 ?; s8 {
求函数 t a n t tan t tant 在 π / 2 \pi/2 π/2 点处的左右极限。

• syms t; f=tan(t);
• L1=limit(f,t,pi/2,'left')
• L2=limit(f,t,pi/2,'right')
  

9 T8 b6 P2 u( V( k+ E  N
; n; O. i$ h  i; J求下面序列的极限
5 X  s7 R# ?1 _( y) l$ `" u: n; `  \

• syms n positive
• f = n^(2/3)*sin(factorial(n))/(n+1);
• F = limit(f,n,inf)
  

" X/ {6 }- B( X/ |7 T# A
* i4 G. |8 y" b/ `求下面序列函数的极限
, O8 I# n6 c8 m

• syms x n
• f = n*atan(1/(n*(x^2+1)+x))*tan(pi/4+x/2/n)^n;
• F = limit(f,n,inf)
  

3 [1 M/ H: N3 S- e多变量函数的极限
matlab实现方法
6 W) D( n. m: l" B: [# C+ Z9 m$ o! W多元函数的极限也可以同样用MATLAB中的limit()函数直接求解。
/ W/ e9 A1 R6 u3 [- x
$ g# [" y' i: X, a  v# q假设有二元函数 f ( x , y ) f(x,y) f(x,y)， 若想求出二元函数的累极限

则可以嵌套使用limit()函数。例如:
, w4 w6 d$ z6 [6 |
; q* I) C; n. C3 p- e- F( A

• L1 = limit(limit(f,x, x0), y, y0)
• L2 = limit(limit(f,y, y0), x, x0)
  

如果 x0或y0不是确定的值， 而是另一个变量的函数， 例如 x → g ( y ) x \rightarrow g(y) x→g(y)， 则上述的极限求取顺序不能交换。
" u4 b: G4 `8 M0 B, k4 o9 [' P
假设有二元函数 f ( x , y ) f(x,y) f(x,y)， 若想求出二元函数的重极限
" K$ s) u4 b8 A+ ~8 I! c/ h


理论上不易求解，只有沿所有方向得出相同的极限才可，不可能用累极限方法求解。

应用举例
- c# V* u4 T+ g6 }& f/ I8 I试求出二元函数极限值
8 s7 g$ [3 H% M; X  k

• syms x a;  syms y positive;
• f = exp(-1/(y^2+x^2))*sin(x)^2/x^2*(1+1/y^2)^(x+a^2*y^2);
• L = limit(limit(f, x, 1/sqrt(y)), y, inf)
  7 N& D: N6 k0 G8 E

$ x& R" ^6 u; |) Y6 b6 w
: T: u6 }" `; r4 S' m重极限的尝试 ，求解重极限


0 ]- c0 M% R; W% @  Q7 o

• syms x y;
• f=(x*y/(x^2+y^2))^(x^2);
• L1=limit(limit(f,x,inf),y,inf)
• L2=limit(limit(f,y,inf),x,inf)
• L3=limit(limit(f,x,y^2),y,inf)
• L4=limit(limit(f,y,x^2),x,inf)
  1 u! \4 ^$ o/ m/ h, `7 p$ u$ Y

% b& |) i$ ?* W4 q$ l3 E判断重极限是否存在
2 k9 `& k. V* n& g  [: O# N
5 @/ L7 p9 d* k证明极限不存在比求重极限容易的多，可以沿 y = k x y=kx y=kx趋近。
0 Q) R5 s- j5 W7 Q: z7 W9 @  G
9 d# y2 I+ T/ E% Q% K- k

• syms r x y
• f=x*y/(x^2+y^2);
• L=limit(subs(f,y,r*x),x,0)
  

$ ]* i0 ]% u2 w" \  s, Z

NingW

matlab求解极限问题（limit函数的用法）