MATLAB求解方程之solve(Symbolic Math Toolbox)

pulbieup

通常在不确定方程是否有符号解的时候，推荐先使用 solve 进行尝试，因为 solve 相比于数值求解来说，它不需要提供初值，并且一般情况下能够得到方程的所有解。对于一些简单的超越方程，solve 还能够自动调用数值计算系统给出一个数值解。
4 Z' T! c0 W1 J+ ?  L6 u6 U- C
" d+ S* U) i# \$ {  r' J* F7 @solve 的常见调用形式：
: M5 T2 T) }4 K0 Nsol = solve(eq)
sol = solve(eq,var)
sol = solve(eq1,eq2,…,eqn)
9 I7 e/ i% J0 t" Lsol = solve(eq1,eq2,…,eqn,var1,var2,…,varn)
1 z* N: O' N9 \& ^0 peq 为符号表达式，var 为指定的要求解的变量。如果不声明要求解的变量(第一和第三种形式)，则 MATLAB 自动按默认变量进行求解，默认变量可以由 symvar(eq) 确定。
5 k: X1 l7 U+ A; W%例：求解方程组:  x+y = 1,  x-11y = 5

& M0 _- V+ u6 j+ w! r, ~6 wsyms x y      %声明符号变量
eq1 = x+y-1;
: ], A# s4 i1 N9 \" x/ G; h: R/ ^7 veq2 = x-11*y-5;
8 }9 ?/ j3 b  N2 s) \. U& Vsol = solve(eq1,eq2,x,y);
' M* \+ |" A7 M( J' ^; }0 Q- Q" x. \x = sol.x
# V  t' [  m) r! vy = sol.y
& J5 o3 G' A5 {/ m) w5 A& u3 H' g( psolve 求得的解通过结构体的形式赋值给 sol，然后再通过 x = sol.x 和 y = sol.y 分别赋值给 x 和 y 。 也可以直接使用：
6 j0 `- I+ j0 Y8 x[x,y] = solve(eq1,eq2,x,y)
进行求解，但需要注意，等式左边接收参数时应当按字母表进行排序，否则 MATLAB 不会自动识别你的参数顺序，比如：
[x,y] = solve(eq1,eq2,x,y)
+ s5 N, H; j: X- E( X0 d8 D[y,x] = solve(eq1,eq2,x,y)
8 A* F4 O  F$ C3 |6 Asolve 会把答案按字母表进行排序后进行赋值，x 解赋值给第一个参数，y 解赋值给第二个参数，对于第二种形式，实际上最终结果是变量 y 存储了 x 的解而变量 x 存储了 y 的解。 上述情况另一种解决方案是用下面的方法指定输出顺序：
syms x y
( w0 ^/ z( }* x5 p. |1 Z[y,x] = solve(x + y == 2,x - y == 1, [y, x])
& L# u% k* \% {; M' d由于是符号求解，有时候得到的解是一大串式子（符号求解无精度损失，所以 MATLAB 不会自动将答案转化为浮点数），这时候可以用 vpa 或者 double 函数将结果转换为单一的数，但需要注意的是 double 的结果为浮点数，vpa 的结果仍然是符号类型（即 sym 类型）。
. z4 N+ R- R' m- O2 I$ N
另外，很多人习惯对于 solve 的参数采用字符型输入，这种方式有几个弊端。
首先就是程序的调试，一旦式子输入有误(最常见的就是括号的匹配)，则调试起来会非常困难，例如：
) s9 s0 `- q; Z' C+ B5 B- k4 }solve('10^(-4.74)*0.965*y/60000x/(10^(-4.74)+x)+0.1/36500+10^(-14)/x-x=0','10^(-3.2)*x+0.333/3000+8*10^((-3.2)*0.1+0.1/333*y','x','y')
这时要去寻找式子输入错误会是一件很麻烦的事，MATLAB 也不会报告具体出错的地方。如果采用符号变量输入：
* |- [9 Z/ g# M; l" V  e$ Asyms x y
$ [  J* n2 ?7 b4 p' O2 h2 r7 V7 M" eeq1=10^(-4.74)*0.965*y/60000x/(10^(-4.74)+x)+0.1/36500+10^(-14)/x-x;
eq2=10^(-3.2)*x+0.333/3000+8*10^((-3.2)*0.1+0.1/333*y;
, D  W( R/ t+ S% }sol=solve(eq1,eq2,x,y)
/ F0 v! q/ s0 v, \会给程序的调试带来许多便利。对于某些错误，MATLAB 会给出错误代码颜色的高亮， 命令行还能返回具体的错误信息。并且采用字符型输入时，变量的赋值不能传入方程：
%例：x+y*sin(x) = 1
7 Z" ~* S$ B6 e
y = 1;
sol = solve('x+y*sin(x)=1','x')
) n5 M# y, e+ t, `, Q( e4 n1 K8 _0 dMATLAB 会返回一个空解，而 sym 型输入：
syms x
y = 1;
/ }! T1 G- r$ Q/ f9 q& Yeq = x+y*sin(x)-1;
* u8 P9 ]% M8 Y% D; m$ Q: L: }) T7 Ksol = solve(eq,x)
能够得到 sol = 0.51097342938856910952001397114508，其中的区别就在于 char 型输入尽管在 solve 前对 y 有一个赋值，但 solve 求解时依然会将 y 当作一个未赋值的常数。
最后，在今后的高版本 solve 将不支持 char 型参数输入，因此应该尽量放弃使用这种方法。
# P, j% T. h2 R- g; r9 E

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