线性时不变系统（LTI）对复指数信号的响应（数字信号处理的特征值与特征函数）

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序言

1 M9 Y9 K* z7 r( \一类重要的基本信号
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' }" `: n8 V/ t" J5 n9 X# G+ _线性时不变系统对复指数信号的响应
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特征函数以及特征值定义：
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证明复指数信号是LTI系统的特征函数
3 y. r; L9 U5 A( A! W9 c3 \2 N
* C0 K$ g3 S$ [: a! Y4 e. B简单运用上述性质

序言
复指数信号有相比于其他信号优良的性质，这使得其在数字信号处理以及信号与系统中（统称为信号处理）具有不一般的低位，例如复正弦信号
4 i8 a8 w6 @: n; o/ j
它不仅是离散信号做傅里叶变换时的基函数，同时也是线性时不变系统的特征信号。
8 \  X" x, {% b8 e0 V( f
看了一下内容后，你就会懂得上面的描述！

一类重要的基本信号
在研究线性时不变系统时，将信号表示成基本信号的线性组合是很有利的，这些基本信号应该满足下面的两个性质：

1、由这些基本信号能够构成相当广泛的一类有用信号；

0 ~5 y5 g# ~$ ^; {9 b2、线性时不变系统对每一个基本系统的响应应该十分简单，以使系统对任意输入信号的响应有一个很方便的表达式。

那什么样的基本信号满足上面的条件呢？
0 f0 M0 m; d  Z1 T3 _6 G. j
" I  \$ {, A8 o; B# c$ H5 f2 F% }由傅里叶分析可知，连续和离散时间复指数信号集都具有上述两个性质，即连续时间的 和离散时间的 ，其中s和z都是复数。
+ n7 ?+ A% z+ `6 o
线性时不变系统对复指数信号的响应
基于如下事实：
& k. A7 @% @6 n. `! g
一个线性时不变系统对复指数信号的响应也是同样一个复指数信号，不同的只是幅度上的变化。
  j/ O* g; t9 ?( x
; T, n$ t: G- u/ J1 M连续以及离散时间复指数信号的响应分别是：

0 u0 A; Z/ Y- D! B( n, |
! u" G9 [  T7 J2 t: u
( U6 V$ V  Z1 g) Y其中， 是复振幅因子，一般来说是复变量s以及z的函数，但是对于变量t来说，它等价于一个常数。
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这就说明了，复指数信号经过线性时不变系统的响应是它本身，即同样也是一个复指数信号，只不过幅度上有所变化。

特征函数以及特征值定义：
一个信号，若系统对该信号的输出响应仅是一个常数（可能是复数）乘以输入，则称该信号为系统的特征函数（eigenfunction），而幅度因子称为系统的特征值（eigenvalue）。

; W8 j) f; R( x+ b" v, O证明复指数信号是LTI系统的特征函数
下面证明复指数信号确实是LTI系统的特征函数，也就是说复指数信号作为LTI系统的激励，其响应也是复指数信号。

) F+ Z1 J) k0 T( r$ l手稿：

首先是连续复指数信号 ，求其经过线性时不变系统的输出，假设线性时不变系统的系统函数为
' y7 ?% X7 T3 z: x" `
# Z5 Z1 O; q* H" ]. R" t$ ?) P2 A
. @( @- P8 s7 I  m. C3 ]5 R. i
' L: [, ^3 g' B) D& O这就证明了连续复指数信号 是LTI系统的特征函数，而常数 就是与特征函数 有关的特征值。
3 e$ k7 W( M  P$ {
下面证明离散复指数信号 是LTI系统的特征函数：
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" h& \  U$ P3 R' c, c, @. o
7 t/ O5 [8 F' D同样证明了离散复指数信号 是LTI系统的特征函数，常数H(z)是与特征函数 有关的特征值。

简单运用上述性质
既然，复指数信号作为LTI系统的输入，其输出有这么简便的表示方法，真是造福科学呀！
7 c3 n' c3 m$ `
7 G$ k, h2 c3 S我们不禁设想如果一个信号都可以表示成复指数信号，那么其输出岂不很简单？事实上也是如此，但多大范围的信号可以用复指数的线性组合来表示呢？

（我们将由这个思路来引出下一篇博文，周期信号的傅里叶级数表示，任意一个周期信号还真能表示成复指数信号的组合形式！）

下面以手稿的形式，展示上面叙述的简单运用（模拟情况）：
' ^4 f, e7 V. j6 f% j' X


离散的情况如下：


; ~0 @4 ~, y" E
这其中的 都是复数。

这就说明：
2 d) M! q( ?% ?1 k/ G" ^# S3 I
对于连续时间以及离散时间来说，如果一个线性时不变系统的输入能够表示成复指数信号的线性组合，那么系统的输出也能够表示成相同复指数信号的线性组合；并且在输出表示式中的每一个系数可以用输入中响应的系数 分别与特征函数 有关的系统特征值 相乘来求得。

beachsun

线性时不变系统（LTI）对复指数信号的响应（数字信号处理的特征值与特征函数）