MATLAB 中NORM运用

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9 |, ?; z& x) V( s% \' b6 ~2 O
格式：n=norm(A,p)
+ Z' T5 t% a% w1 t  p功能：norm函数可计算几种不同类型的矩阵范数,根据p的不同可得到不同的范数
# k" K4 w& ?& A
以下是Matlab中help norm 的解释

NORM   Matrix or vector norm.
    For matrices...
      NORM(X) is the largest singular value of X, max(svd(X)).
      NORM(X,2) is the same as NORM(X).
      NORM(X,1) is the 1-norm of X, the largest column sum,
! Y7 U) \1 L0 \0 t4 Y# Y. `/ F                      = max(sum(abs(X))).
0 E$ \- k) a$ ?      NORM(X,inf) is the infinity norm of X, the largest row sum,
1 }/ T! g  e- L' p8 m' o8 ?& ?( I                      = max(sum(abs(X'))).
  ?  x: s7 _% z: ~9 l      NORM(X,'fro') is the Frobenius norm, sqrt(sum(diag(X'*X))).
      NORM(X,P) is available for matrix X only if P is 1, 2, inf or 'fro'.
4 k$ }( C$ c+ m) b    For vectors...
      NORM(V,P) = sum(abs(V).^P)^(1/P).
( I* [7 I- @2 C& X      NORM(V) = norm(V,2).
1 p" L* ^2 ]+ s      NORM(V,inf) = max(abs(V)).
      NORM(V,-inf) = min(abs(V)).
7 C4 [' }8 z5 F1 b& D
5 u7 H6 O3 o3 d; `, e5 y5 G1、如果A为矩阵
1 A. l: d1 i! ?4 [7 l, `* x8 M
1 n6 K+ ?( W3 m. J1 dn=norm(A) 《Simulink与信号处理》
& ?* y( g( {; C' F; R. q
% G5 [9 W9 R+ z2 g8 U; t% R* J; n返回A的最大奇异值，即max(svd(A))

n=norm(A,p)
1 Q: @9 E6 x$ P' }( p- [6 ]
% m) ^" H, A5 I+ ?) m; ~4 `, ?( c2 N根据p的不同，返回不同的值
0 t5 Q# p2 e6 d6 x. l
6 F* x6 J) G1 b p         返回值
1         返回A中最大一列和，即max(sum(abs(A)))
# l7 [2 l" J) S3 ~( b0 F4 _ 2         返回A的最大奇异值，和n=norm(A)用法一样
2 m1 {4 F9 G# t) ^inf         返回A中最大一行和，即max(sum(abs(A’)))
9 L4 @1 i3 P  y; S: \5 y4 T5 X! o' H ‘fro’         A和A‘的积的对角线和的平方根，即sqrt(sum(diag(A'*A)))

2、如果A为向量
! s! b8 v, f; z; i4 z5 J
norm(A,p)
5 R/ _4 V0 Y4 ^; ?( ~
5 u, L$ f8 X% B. O6 b6 C' S$ _8 ]2 t返回向量A的p范数。即返回 sum(abs(A).^p)^(1/p),对任意 1<p<+∞.
- N9 i! R, T, D; `2 f' H
% |) z& k7 b% n& o8 |norm(A)
( m5 ^) J* \+ p8 E$ x# @* m6 S
返回向量A的2范数，即等价于norm(A,2)。
! c2 L5 V7 [& D0 [' t0 ?
# F+ G( }8 `! I, _( L3 k' cnorm(A,inf)

返回max(abs(A))

( u6 S  V7 i1 g+ L( Knorm(A,-inf)
" C8 K6 a2 Z8 y& `3 R) z: d  l
' I5 l; ]. W/ x/ a' b返回min(abs(A))

矩阵 (向量) 的范数运算
为了反映了矩阵 (向量) 某些特性,线性代数中引入了范数的概念,它分为2-范数,1-范数,无穷范数和Frobenius范数等.在MATLAB中,用函数norm( )或normest( ) 计算矩阵 (向量) 的范数.其使用格式如下.
norm(X) —— 计算矩阵 (向量) X的2-范数;
& c# C* S3 o) ^* |: Cnorm(X,2) —— 同上;
$ l$ ?, ?0 i7 R  Unorm(X,1) —— 计算矩阵 (向量) X的1-范数;
$ [- N. b( X7 X7 Q" fnorm(X,inf) —— 计算矩阵 (向量) X的无穷范数;
  {5 ~7 q. D+ W! xnorm(X,'fro') —— 计算矩阵 (向量) X的Frobenius范数;
normest(X) —— 只计算矩阵 (向量) X的2-范数;并且是2-范数的估计值,适用于计算norm(X)比较费时的情况.

0 @6 t) s/ Z8 s1 _范数(norm)，是具有“长度”概念的函数。在线性代数、泛函分析及相关的数学领域，是一个函数，其为向量空间内的所有向量赋予非零的正长度或大小。半范数反而可以为非零的向量赋予零长度。

举一个简单的例子，一个二维度的欧氏几何空间\R^2就有欧氏范数。在这个向量空间的元素（譬如：(3,7)）常常在笛卡儿坐标系统被画成一个从原点出发的箭号。每一个向量的欧氏范数就是箭号的长度。

拥有范数的向量空间就是赋范向量空间。同样，拥有半范数的向量空间就是赋半范向量空间。

NNNei256

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