Moore-Penrose广义逆：可解决MATLAB报错“矩阵接近奇异值，或者缩放错误。结果可能...

haidaowang

上一篇讲到：方程AX=b的解的讨论（特解、通解、零空间向量等概念）及其MATLAB实现，程序中用到的是mldivide或者A\b的方法（二者相同）来解方程。

但实际上运行过程中我们会遇到：当AX=b线性方程组是一个病态方程组；或者A是奇异矩阵（即det(A)=0，不可逆），没法求逆，用不了inv(A)方法只能用A\b，此时MATLAB会报错“矩阵接近奇异值，或者缩放错误。结果可能不准确”…网络上很多人问这个问题怎么解决，其实不是MATLAB的问题，而是MATLAB内置算法的鲁棒性问题，直接用A\b方法无法处理这个棘手的问题。如果没有矩阵论或数值计算方法基础的同学可能会一头雾水。本文借用Moore-Penrose广义逆来解决这个问题，帮助大家理解带奇异矩阵的病态方程组如何解决。

首先我们先来看下mldivide, \在MATLAB中的含义：

$ g1 \- t2 D4 Y- h0 s; p4 {1 Q/ \4 d+ o

1 e- ]* d4 D% x# ~

3 C$ p, g, V. n& Y1 @: M

4 C% H# M  [$ q8 ~: ?5 Z也就是说，A\b的方法是可以求包含奇异矩阵的方程组的，但是可能会出错。而且错误可能非常离谱。（这个例子告诫我们，不要以为MATLAB算出来的结果都是准确的，MATLAB也不过是调用一些算法进行运算，每个算法都可能存在一些缺陷，无法处理某些极端的情况）。
  g  ^, N% M: f' P, \# g% t

5 {0 g; p" i/ ~! M! g7 G这里就涉及到数值计算方法领域矩阵的性态的问题了。我们可以直观来感受一下：
# D- t. F+ X& f& E
) M) m' o" A# x0 t假设如下方程组：

/ ^9 U$ {' y: ]/ Q
  H) I* t2 ]2 J
其精确解是(1,1)。
( n9 B* Z! @# ~8 L/ `$ c/ t
若对左右边都做一些非常非常微小的变化：



其精确解变为：(10,-2)。

! \& I6 ~0 g/ d- N2 I4 |0 {  N( c$ D一个非常非常微小的扰动就让方程的解产生巨大的变动，我们称上述方程组是病态方程组，系数矩阵A是病态矩阵。

+ i+ e- h& e' q  v2 g' A# G! L如果我们遇到不是方阵的矩阵，或者不能求逆的方阵，要想求解AX=b，避免奇异值导致MATLAB产生错误的情况，我们可以采用“伪逆”来帮助我们解决这个问题。

广义逆矩阵：
6 [: A- V$ m) e/ y  D
' d6 X+ h0 u% G% E对任意一个矩阵A，提出四个条件：


% `4 L; J7 |+ h, q, w" R
% i; `' S3 t, h: d3 T4 @如果存在矩阵G满足上述的一部分或全部条件，G就可以称为A的广义逆矩阵。最常用的四种广义逆矩阵定义如下：

3 w+ A7 Q3 ~, e9 J1 P; b5 |

MATLAB中自带的pinv方法，就可以求矩阵的M-P广义逆，即A+矩阵。
) P2 T$ s# g4 o. _2 u
- |! b  _, E2 I1 y大家可以查阅官方文档看具体应用实例。
! f3 |7 ?$ @- z1 X/ P) J
6 @2 X" x. t7 f3 U, N: f

如果我们求出A+，就可以有另一种思路来解AX=b了：
' p4 n- W( i8 N( g) V% q3 o
- s$ d" Q" r8 ?' S% x  \$ q
& ^' Q- g/ R% r
  P( S# B8 J6 O; V5 t这里，通解的表达式还是类似于X=X*+X0的形式，A+b相当于是特解，后面那一项就是带系数的自由解，y可以取任意数，注意维度匹配即可。

' t1 t; ]- M. j3 ?5 h! d0 n所以，大家调用pinv求出M-P广义逆，然后用x=A+b + (I-A+A)y这个式子构造出通解就可以啦！
. ]8 B2 _$ T/ I/ `- F/ ?


7 \% }; l7 R9 Q3 ?/ I3 y
, {  |( r- o3 l* d( w- M

yin123

可解决MATLAB报错“矩阵接近奇异值，或者缩放错误

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