MATLAB ------- 看看离散傅里叶级数（DFS）与DFT、DTFT及 z变换之间是什么关系

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MATLAB ------- 看看离散傅里叶级数（DFS）与DFT、DTFT及 z变换之间是什么关系
5 @0 N4 g6 ?/ v+ b; A  n
8 P. g9 s4 n6 ]1 f; m" A
上篇我们简单的讨论了离散傅里叶级数DFS和离散傅里叶变换DFT之间的关系，简单地说，DFT就是DFS在一个周期内的表现。

MATLAB ------- 用MATLAB实现离散傅里叶变换（DFT）和逆变换（IDFT）

3 {0 \& s# Z9 j为了后面讨论方便，这里给出DFS的系数公式（分析公式）：
+ C1 h  P. M# Z) K
( b$ i& u8 b; I. n* s7 p) e$ \  ^5 d                    （1）

) ]- c1 H2 V9 O" R其中：
- P3 _1 Z+ N+ g, ]
% F/ U9 i* }' A* d5 `, T+ c! P

- p: Q' \. s& G7 B) J综合公式：

6 i: L% U9 K5 W: K( N                 （2）

为了对比，给出DFT的分析公式：
! o( P+ x! N/ q4 }( P
2 o+ i0 b) E. n, |2 n8 v0 q8 d6 J                  （3）

                    （4）

: }. F/ L; B+ y9 ?. y# N! C, F
: _3 t. h! U% k( ^2 B综合公式：
  G1 `" m& f& b5 O% L' P
1 q! G7 A- X6 I, s+ f6 P% j3 U                      （5）
& G  r3 o' ?3 p' r
                （6）
. {! n; |$ q' R; |& q
下面讨论DFS和 z 变换之间的关系：

这部分内容提取到文章：MATLAB ------- 快来看看DFS 与 z 变换之间有什么关系

设 x(n) 为一有限长序列，长度为N，即，

% l' t1 f+ X1 G8 k! z                     （7）
8 o% l# P4 F, Y
那么，能求它的 z 变换为：
9 F: f+ u% [% I0 n( Y# ~. K! _, C
+ G2 T9 M3 {2 O3 Q* L; ^2 W                                            （8）

现在，以周期N，周期重复x(n)构造一个周期序列 ，即

% o1 ], T" p3 N  q                           （9）
# L  n: p; ~0 p' }: O; a! o# Z
的DFS给出为：

* B. L. X2 D! [" ^4 A- W                （10）
& c+ m6 M7 q# E0 T
将（10）式与 z 正变换公式（8）比较后，得到：

                                             （11）

这就是说，DFS 代表了z变换 X(z)在单位圆上N个等间隔样本。
3 o% c0 y3 y- R7 U+ D
接着讨论DFS和DTFT的关系。

! r& c" R  V4 F2 Z+ O: o- {4 [6 f8 n这部分内容提取出来到：【 MATLAB 】DFS 和 DTFT 之间的关系
, w4 j5 }% E5 N5 I) g
, x6 ~4 O2 S6 b9 [. E. z! \我们大概都知道DTFT和z变换之间的关系，DTFT是单位圆上的z变换。我们通过一个公式就能说清楚，如下：
7 _+ ?! x* o- U/ q) X
先给出DTFT的公式：
5 }4 H2 Q% ^- ~5 R* f
" n! ?1 c0 x: e3 U% ~6 d                      （12）

1 ]( _- F* `. I0 A9 ^7 ~对比z变换的公式（8），不难看出：
. ~( s5 u2 R/ ?
                                                    （13）
  j3 T1 r3 r: l+ ]7 T
为了避免某些人的抗议，我们不得不做出声明，这里都是针对有限长序列推导的公式，无论针对其他任何可行信号，推导的关系最后都是一样的。
$ h. W3 @- K% u% O" g
从（13）式可以看出，DTFT是单位圆上的z变换。

3 y, N# e+ ~5 t) Q% M上面又说了DFS和z变换的关系，关系是，DFS 代表了z变换 X(z)在单位圆上N个等间隔样本。
+ [, \/ i! ]; f; ^
结合z变换和DTFT之间的关系，我们是不是可以说DFS 是对DTFT 上的等间隔采样。采样间隔为 ，下面我们正式推导二者间的关系。
7 Y! w: r0 S5 i( B2 s$ f: M' u
( f$ |4 M/ E3 z8 P2 h& }1 a! i& C式（12）为:
* c* ~) L  U, I8 B6 F
3 X* \; Z0 u5 O  h

DFS为：




- u0 u: e; m) C9 e& P4 {" J- D
可以看出，
- m0 ~( B( p; H. F& g1 U. b- \
                                           （14）
, T* ]6 J5 {- ^
$ |# V) i/ n! O# w令
" x2 J; m( Y" [' b                               （15）                                          

这样，
, E+ i: A% e4 s1 L8 V# z# `. p! z
                          （16）
/ |; r% F, j) }8 A" U! {0 H
$ m2 m" b* R; ?* E7 W. [这意味着 DFS 可以通过以 为间隔对DTFT均匀采样而得到。
+ A- e, o( C& v/ d" Q
由式子（13）：
4 V) _) s2 A* d


以及式子（14）：

; I& ]5 r/ @5 T. j9 X3 h
8 b6 N1 l' p$ j
可见，DFS 表示给出了一种在频域的采样机理；而这个在原理上类似于时域采样。
" @, v9 E2 N. h4 {2 J
间隔 是在频域上的采样间隔，也称为频率分辨率。因为它告诉我们频率样本有多密集。
* p1 r% |5 C8 y7 H# }. G
: y4 _( F4 C1 S5 v



0 L& d5 G& d  `$ _: D0 ~$ F+ K) I
4 y0 |- j& ?9 o; ~

hope123

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