MATLAB ------- DFS 和 DTFT 又有什么关系呢？

ulppknot

3 B6 |. }" {1 [- F8 F0 s; Z上篇讲了DFS和z变换之间的关系：MATLAB ------- 快来看看DFS 与 z 变换之间有什么关系

这篇博文接着看DFS 和 DTFT 之间的关系，文章同样是从我的其他博文中抽取处理的，目的就是怕这种显然而重要的知识点被淹没。
7 }9 D/ S, d2 I! \
为了后面讨论方便，这里给出DFS的系数公式（分析公式）：

; H) w9 c4 Q1 `             （1）

; {  n# y' S9 u2 d7 N其中：

+ W; c- O) S/ o; p

综合公式：

                  （2）

+ q! Z# q" ^! [' l
为了方便后面讨论，给出z变换公式供使用。

7 f: o* t% z5 L. X- s2 r/ S5 N设 x(n) 为一有限长序列，长度为N，即，
# R3 E: w6 V! Y5 I
% Y% w' ~) K) {; ~2 i) P4 `" r                    （3）
5 ?4 Z$ m; E& {9 W- m
1 s$ j' U. b5 T. Q' o0 X; m那么，能求它的 z 变换为：
# F! [) p! a6 p/ z" m6 ^+ o  j                   （4）
2 f) Z+ \, s6 l, }+ ]1 d6 A1 T
# _! r5 J- n/ J) `8 l" c8 d现在，以周期N，周期重复x(n)构造一个周期序列 ，即
- H( p- W+ \& T' a) O
             （5）
# J: g, P4 |+ B# g0 ?
8 V* A) Y0 e$ w" T" l9 [
接着讨论DFS和DTFT的关系。

我们大概都知道DTFT和z变换之间的关系，DTFT是单位圆上的z变换。我们通过一个公式就能说清楚，如下：
% V9 T6 c% ?5 e, X1 U2 d
3 D, s$ \. z. O1 A7 P先给出DTFT的公式：

                   （6）
8 \0 W0 Q2 _0 }  E) I5 ?
对比z变换的公式（4），不难看出：
- m- K! A$ G9 W8 e  c! M3 l
! F3 j$ `7 i0 s" l* J: L7 R: @& T0 p             （7）

. G/ i7 \( E4 N% a为了避免某些人的抗议，我们不得不做出声明，这里都是针对有限长序列推导的公式，无论针对其他任何可行信号，推导的关系最后都是一样的。

. m5 M/ \! y# J4 ]; E从（7）式可以看出，DTFT是单位圆上的z变换。
' n  s) u; z" o7 v$ X+ q9 v) b: ~
$ h1 g: T* @* q上面又说了DFS和z变换的关系，关系是，DFS 代表了z变换 X(z)在单位圆上N个等间隔样本。

结合z变换和DTFT之间的关系，我们是不是可以说DFS 是对DTFT 上的等间隔采样。采样间隔为 ，下面我们正式推导二者间的关系。
9 S" j! D4 t$ o% ?8 _1 O
6 [$ M5 |7 B! \5 V1 c+ N式（6）为:

4 C/ A3 O- M3 l2 K8 O* v
6 w* N6 `9 _  B# g9 a; ~$ l3 R
DFS为：




3 _# |+ }4 Q7 Q2 B' V
可以看出，
9 {9 R8 }+ q5 ~, x% t' o! @9 L
7 t1 W1 F+ c# u1 f7 {- B2 R              （8）
: S0 }; V4 i- H
令

               （9）                                          
9 f7 p* Y; B# z
这样，

            （10）

8 e% k4 y: X, e这意味着 DFS 可以通过以 为间隔对DTFT均匀采样而得到。

* T* m* o7 h/ u  c7 Y由z变换和DFTF之间关系：

0 X: k( Q% N  U% F) G; Z$ p3 q
4 F: Q. ~  i0 W; r! O
以及式子（14）：


- _0 B( \" [, A" Q* ^& w3 c5 }
" R0 I  D- n8 a0 Q7 {可见，DFS 表示给出了一种在频域的采样机理；而这个在原理上类似于时域采样。

0 T* T. D3 r; |4 U, R; F间隔 是在频域上的采样间隔，也称为频率分辨率。因为它告诉我们频率样本有多密集。

* u2 M, O( J* x2 M% W8 q/ V

4 B7 |$ ^& e. M+ R8 S* Y8 K

7 h) a  {( t9 W% d6 B( Y9 ]# J
5 n! |& r4 z7 j% m

kinidrily

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