MATLAB符号计算

cat12620

; r3 @$ h# ~9 }8 W. n- {4 u3 c! T. u/ _
0 D* G9 x* j6 b符号计算则是可以对未赋值的符号对象(可以是常数、变量、表达式)进行运算和处理。MATLAB具有符号数学工具箱(Symbolic Math Toolbox)，将符号运算结合到MATLAB的数值运算环境。符号数学工具箱是建立在Maple软件基础上的。
# x: t; y: K# \! h1 Q' b# s4 z4 z3.1 符号表达式的建立
; j4 F" @3 J1 j8 V8 ]) f! J! FSymbolic Math Toolbox2.1版规定在进行符号计算时，首先要定义基本的符号对象然后才能进行符号运算。
' ?* P, k- |' ^# j* ]2 Z3.1.1创建符号常量
3 X+ N3 i# |2 }1 ~1 _符号常量是不含变量的符号表达式，用sym命令来创建符号常量。
$ y: Y: c* }) Y6 Q) h; ]4 `9 e7 F语法：
       sym(‘常量’)              %创建符号常量
1 i+ M% n2 C0 K; U+ O# U2 d例如，创建符号常量，这种方式是绝对准确的符号数值表示：
& T+ j6 t' p! p8 M( A>> a=sym('sin(2)')
a =
sin(2)
sym命令也可以把数值转换成某种格式的符号常量。
* O2 H; i- k% u8 e$ H2 q+ T; M语法：
       sym(常量,参数)          %把常量按某种格式转换为符号常量
说明：参数可以选择为’d’、’f’、’e’或’r’ 四种格式，也可省略，其作用如表3.1所示。

表3.1 参数设置

参数 0 [- e! M& O" R+ t	作用 / U) @' g& S/ v' n' d5 g
d	返回最接近的十进制数值(默认位数为32位) : V; k5 R; R, D: {$ f* w4 x1 j
f	返回该符号值最接近的浮点表示 ; a0 ]7 \( W3 A7 V6 @2 o& @3 l' m
r	返回该符号值最接近的有理数型(为系统默认方式)，可表示为p/q、p*q、10^q、pi/q、2^q和sqrt(p)形式之一 . p7 J9 j5 m8 t6 w
e	返回最接近的带有机器浮点误差的有理值

例如，创建符号常量，这种方式是绝对准确的符号数值表示：
3 X, ?6 D$ S' Q% W+ L2 K  D3 z a=sym('sin(2)')

a =
3 |; Q5 @5 V+ L- y+ Y5 gsin(2)  

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eig(A)                 %计算特征值

" D9 F- w8 h+ i, C" m, mans =
  d( Y7 r8 ~- `, i, C' l* r  C[ 1/2*a11+1/2*a22+1/2*(a11^2-2*a11*a22+a22^2+4*a12*a21)^(1/2)]
2 [5 e9 B. T9 h' g' V1 E3 M9 N[ 1/2*a11+1/2*a22-1/2*(a11^2-2*a11*a22+a22^2+4*a12*a21)^(1/2)]  

2 d* i- @+ W8 x) }% P7 r- {【例3.5】符号表达式f=2x2+3x+4与g=5x+6的代数运算。
f=sym('2*x^2+3*x+4')
: K4 b' E( f! ]5 a
0 S0 I2 c0 ^- w; af =
1 P, z2 U7 ?( `4 _2*x^2+3*x+4  
0 G5 T3 Z& O- a+ V* T" g6 a) i; { g=sym('5*x+6')

$ V* c- b6 W( a6 K- fg =
5*x+6  
f+g                %符号表达式相加

ans =
2*x^2+8*x+10  
f*g                %符号表达式相乘

2 [+ I3 v/ x7 @4 m* p' Xans =
2 |7 o9 w5 ^+ ]3 U% W(2*x^2+3*x+4)*(5*x+6)  
3.2.2符号数值任意精度控制和运算
; y9 }% t' y( {& l. t8 @! _7 a1. Symbolic Math Toolbox中的算术运算方式
在Symbolic Math Toolbox中有三种不同的算术运算：
§      数值型：MATLAB的浮点运算。
7 M1 g' I$ X( O- |2 b§      有理数型：Maple的精确符号运算。
§      VPA型：Maple的任意精度运算。
. v! P1 M+ B" c! K
2. 任意精度控制
任意精度的VPA型运算可以使用digits和vpa命令来实现。
/ h1 i- K& D. A( W/ ]: U语法：
' \' j. g, D; u* [# K! ]       digits(n)                    %设定默认的精度
. ]8 [3 @2 v3 w! l% g# ~: \. u9 ^. `说明：n为所期望的有效位数。digits函数可以改变默认的有效位数来改变精度，随后的每个进行Maple函数的计算都以新精度为准。当有效位数增加时，计算时间和占用的内存也增加。命令“digits”用来显示默认的有效位数，默认为32位。
语法：
0 A% Y  K# h: \/ z- x, t7 h4 h) P       S=vpa(s,n)                %将s表示为n位有效位数的符号对象
说明：s可以是数值对象或符号对象，但计算的结果S一定是符号对象；当参数n省略时则以给定的digits指定精度。vpa命令只对指定的符号对象s按新精度进行计算，并以同样的精度显示计算结果，但并不改变全局的digits参数。
【例3.6】对表达式file:///C:/DOCUME~1/ADMINI~1.468/LOCALS~1/Temp/msohtml1/01/clip_image006.gif进行任意精度控制的比较。
a=sym('2*sqrt(5)+pi')
/ S* p9 B% j4 c: g6 t" b% U
! {. |$ t, G& f) D4 R' X6 da =
2*sqrt(5)+pi  
digits      %显示默认的有效位数
- f* x  g0 D/ z) M- Z% q3 x2 e1 |

; o: x$ R" \$ ~7 T) A  hDigits = 32
   
1 x1 w# H8 t  _6 M: q3 Q" F. W; x vpa(a)      %用默认的位数计算并显示
- q1 F4 }* [1 ]: t  o
7 _3 d; A: A# e% Jans =
/ I% t' _: @8 i& @: L( l9 B( |7.6137286085893726312809907207421  
+ P8 s9 I  {. V& `% g) k, |+ |' J vpa(a,20)       %按指定的精度计算并显示
7 U. L7 ~& ]1 g: u, D  W! i
5 W5 R% k, x: gans =
' R0 I' b7 W/ D! ?" q  W/ `7.6137286085893726313  
; Q, Z. u+ g9 r( l$ t digits(15)      %改变默认的有效位数
vpa(a)      %按digits指定的精度计算并显示

ans =
7.61372860858937  

9 v8 x" d" F' ~( e! B: S3. Symbolic Math Toolbox中的三种运算方式的比较
【例3.6续】用三种运算方式表达式比较2/3的结果。
a1 =2/3      %数值型

  {+ c: r" [  T$ Y$ g( E0 {8 fa1 =
    0.6667  
a2 = sym(2/3)    %有理数型
) q- g$ m, X% s% C9 t
# t, k0 m8 L( S+ [8 v5 za2 =
' K& v! a) y; Q# Z& o& D: f- b- |( C2/3  
8 S. Y! G: m7 u5 y6 C) R a3 =vpa('2/3',32) %VPA型

a3 =
* B* C2 i6 U, H.66666666666666666666666666666667  
程序分析：
§      三种运算方式中数值型运算的速度最快。
# i* t" d  U8 C. e: z§      有理数型符号运算的计算时间和占用内存是最大的，产生的结果是非常准确的。
§      VPA型的任意精度符号运算比较灵活，可以设置任意有效精度，当保留的有效位数增加时，每次运算的时间和使用的内存也会增加。
2 J) n, J3 z9 ?) x1 ?) S§      数值型变量a1结果显示的有效位数并不是存储的有效位数，在第一章中介绍显示的有效位数由“format”命令控制。如下面修改“format”命令就改变了显示的有效位数：
! p  `. @- Q# Q6 B( I format long
; L/ z  F5 K3 [ a1
( ]# G( M$ s# j2 \/ @8 w! Y
a1 =
# P, n6 @' e; {$ A   0.66666666666667  
) r6 S5 ^0 c' I( m: U6 u- y3.2.3符号对象与数值对象的转换
  k/ I; H7 Y9 l4 f1 h: H1. 将数值对象转换为符号对象
sym命令可以把数值型对象转换成有理数型符号对象，vpa命令可以将数值型对象转换为任意精度的VPA型符号对象。
6 i( M. o+ f& i* w. k' f
3 S& X0 O9 _0 A  D2. 将符号对象转换为数值对象
; \7 M" h4 r1 B0 D( U8 [* n* ?使用double、 numeric函数可以将有理数型和VPA型符号对象转换成数值对象。
& i% h7 ?2 k! g4 b- L9 ~; K8 ^' h语法：
8 k# B! R2 t- ^/ w; T       N=double(S)              %将符号变量S转换为数值变量N
       N=numeric(S)           %将符号变量S转换为数值变量N
) ]. p  a8 p$ [$ x0 N( ?【例3.7】将符号变量file:///C:/DOCUME~1/ADMINI~1.468/LOCALS~1/Temp/msohtml1/01/clip_image008.gif与数值变量进行转换。
* ~$ u' ]# G5 J/ i' _ clear
9 a4 p6 N' E! {+ h9 F& M6 S5 q# Ha1=sym('2*sqrt(5)+pi')
* W& g/ u$ a/ k2 f% y$ S* @
a1 =
" u8 s0 w" u& ]/ R* x) K6 m6 S" C. h2*sqrt(5)+pi  

  c) }' u! z# ~ b1=double(a1)             %转换为数值变量
9 L5 N7 N6 b! w' P+ h
; l2 W5 |! C- y% @/ w) I/ D  T' hb1 =
  L8 J5 ~6 {6 D! L' T7 N    7.6137  

( g7 c6 L/ w* b6 u4 ?/ r8 ] a2=vpa(sym('2*sqrt(5)+pi'),32)

a2 =
5 [4 \) s1 `. n& R7.6137286085893726312809907207421  
4 }# e5 T, S! e" G
' U3 n9 W# T3 `, v( g+ N8 y' k/ {/ z b2=numeric(a2)         %转换为数值变量

b2 =
    7.6137  
【例3.7续】由符号变量得出数值结果。
9 a3 K  w* P* u$ S5 m; | b3=eval(a1)
" r# w; y( I0 V" |
b3 =
    7.6137  
2 Y  M8 U0 @+ J) ?0 N# F用“whos”命令查看变量的类型，可以看到b1、b2、b3都转换为双精度型：
whos
4 J0 O: I- ^" q2 b
- J/ g/ Q8 }$ G1 y# L7 \      Size                   Bytes Class

" ?0 e6 C- q0 H5 c6 q        1x1                      148 sym object
3 H# x3 [- i( q4 t7 F        1x1                      190 sym object
7 }3 l5 X- v- C        1x1                        8 double array
        1x1                        8 double array
        1x1                        8 double array
- `1 n7 E- ^6 p) k" i9 _4 K: T
" p. i7 N3 u: gGrand total is 50 elements using 362 bytes  
3.3符号表达式的操作和转换
" H2 o* F$ B& W* ?1 u# R& f+ v6 Q. ~3.3.1符号表达式中自由变量的确定
1. 自由变量的确定原则
，MATLAB将基于以下原则选择一个自由变量：
9 x# m' X6 e; o) P§      小写字母i和j不能作为自由变量。
§      符号表达式中如果有多个字符变量，则按照以下顺序选择自由变量：首先选择x作为自由变量；如果没有x，则选择在字母顺序中最接近x的字符变量；如果与x相同距离，则在x后面的优先。
§      大写字母比所有的小写字母都靠后。

2. findsym函数
- v- D: x: \4 E7 `. T如果不确定符号表达式中的自由符号变量，可以用findsym函数来自动确定。
) X8 L" \3 u4 q语法：
       findsym(EXPR,n)        %确定自由符号变量
: `) w2 u, U. N) N8 u# Q说明：EXPR可以是符号表达式或符号矩阵；n为按顺序得出符号变量的个数，当n省略时，则不按顺序得出EXPR中所有的符号变量。
【例3.8】得出符号表达式中的符号变量。
f=sym('a*x^2+b*x+c')

0 C1 {! d2 W* K( }f =
  q% h- Z' ]/ b' Va*x^2+b*x+c  
findsym(f)         %得出所有的符号变量

! B% f( T8 O8 w- w0 c/ }ans =
' d: r# G: A4 D2 T. n/ l) p( ra, b, c, x  
# [3 S/ K4 c* o$ ]% L* F g=sym('sin(z)+cos(v)') [/hide]
. y7 j) s/ M. [# {# @5 A" g6 ^
1 [3 y/ V# ?+ C# }: y8 ~$ A1 F

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