Matlab求解线性方程组、非线性方程组

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求解线性方程组
; i; X. U# c. i' I' z- Csolve，linsolve
例：
A=[5 0 4 2;1 -1 2 1;4 1 2 0;1 1 1 1];
3 q. N+ X' z- v" Z5 u%矩阵的行之间用分号隔开，元素之间用逗号或空格
# _4 q2 S) z$ M( mB=[3;1;1;0]
X=zeros(4,1);%建立一个4元列向量
/ x# H1 |: l9 I  M9 c" C) t8 qX=linsolve(A,B)
diff（fun，var，n）：对表达式fun中的变量var求n阶导数。

例如：F=sym（'u(x,y)*v(x,y)'）; %sym（）用来定义一个符号表达式
6 c4 ]3 }0 T1 Z5 x: C5 q3 H! vdiff(F); %matlab区分大小写
0 |5 h- U6 z9 J( E; S- opretty(ans) %pretty（）：用习惯书写方式显示变量；ans是答案表达式
7 ~; D1 T* |9 k" _3 _; \6 `

非线性方程求解
fsolve(fun,x0,options)
$ N5 k2 \# W7 A& O3 Z. c. e* u其中fun为待解方程或方程组的文件名；
x0位求解方程的初始向量或矩阵；
# d+ a. {2 e( D* Moption为设置命令参数
1 r- E! W+ c! o! o9 @建立文件fun.m：
* g& J- y! O" j: `3 K- u( ifunction y=fun(x)
y=[x(1)-0.5*sin(x(1))-0.3*cos(x(2)), ...
0 J$ Y# r  H1 k( Rx(2) - 0.5*cos(x(1))+0.3*sin(x(2))];
1 C/ A3 z0 H0 D
>>clear;x0=[0.1,0.1];fsolve(@fun,x0,optimset('fsolve'))
1 \2 x6 V# [1 y注：
: ?, r) K) I5 U  C- h...为续行符
5 T* Y1 D8 y3 |/ m! Gm文件必须以function为文件头，调用符为@；文件名必须与定义的函数名相同；fsolve（）主要求解复杂非线性方程和方程组，求解过程是一个逼近过程。
4 `1 d5 Z: c6 f

Matlab求解线性方程组
$ y: x# k* G8 \2 [1 RAX=B或XA=B
在MATLAB中，求解线性方程组时，主要采用前面章节介绍的除法运算符“/”和“\”。如：
X=A\B表示求矩阵方程AX＝B的解；
) J4 A, k0 P9 s" g: |X＝B/A表示矩阵方程XA=B的解。
对方程组X＝A\B，要求A和B用相同的行数，X和B有相同的列数，它的行数等于矩阵A的列数，方程X＝B/A同理。

如果矩阵A不是方阵，其维数是m×n，则有：
$ D* ^5 O+ X2 G, t+ _7 Km＝n 恰定方程，求解精确解；
" I# N4 l5 Q! ~& H3 c& Q6 qm>n 超定方程，寻求最小二乘解；
' v! k# z  V9 d3 N1 s! Am<n 不定方程，寻求基本解，其中至多有m个非零元素。
针对不同的情况，MATLAB将采用不同的算法来求解。
9 G2 p0 l6 k/ a0 a

一．恰定方程组
) N+ L2 q3 g+ f& }, P恰定方程组由n个未知数的n个方程构成，方程有唯一的一组解，其一般形式可用矩阵，向量写成如下形式：
/ @9 B( h3 n: U( {Ax=b 其中A是方阵，b是一个列向量；
在线性代数教科书中，最常用的方程组解法有：
& Q* X/ G( m+ N$ x7 `$ E; P% I（1）利用cramer公式来求解法；
1 M$ w9 n) |* Y: C2 }: @% z! f（2）利用矩阵求逆解法，即x=A-1b；
, z& j7 `# B0 `  a7 J（3）利用gaussian消去法；
（4）利用lu法求解。
一般来说，对维数不高，条件数不大的矩阵，上面四种解法所得的结果差别不大。前三种解法的真正意义是在其理论上，而不是实际的数值计算。MATLAB中，出于对算法稳定性的考虑，行列式及逆的计算大都在lu分解的基础上进行。
在MATLAB中，求解这类方程组的命令十分简单，直接采用表达式：x=A\b。
5 g, n2 P! v# C4 i在MATLAB的指令解释器在确认变量A非奇异后，就对它进行lu分解，并最终给出解x；若矩阵A的条件数很大，MATLAB会提醒用户注意所得解的可靠性。
如果矩阵A是奇异的，则Ax=b的解不存在，或者存在但不唯一；如果矩阵A接近奇异时，MATLAB将给出警告信息；如果发现A是奇异的，则计算结果为inf，并且给出警告信息；如果矩阵A是病态矩阵，也会给出警告信息。
5 W) T, \% R  H& Q( @, _注意：在求解方程时，尽量不要用inv(A)*b命令，而应采用A\b的解法。因为后者的计算速度比前者快、精度高，尤其当矩阵A的维数比较大时。另外，除法命令的适用行较强，对于非方阵A，也能给出最小二乘解。

8 y! J& \2 E& q( S0 m+ S二．超定方程组
) C7 _8 l8 I- x& l6 s0 t' L对于方程组Ax=b，A为n×m矩阵，如果A列满秩，且n>m。则方程组没有精确解，此时称方程组为超定方程组。线性超定方程组经常遇到的问题是数据的曲线拟合。对于超定方程，在MATLAB中，利用左除命令（x=A\b）来寻求它的最小二乘解；还可以用广义逆来求，即x=pinv(A),所得的解不一定满足Ax=b，x只是最小二乘意义上的解。左除的方法是建立在奇异值分解基础之上，由此获得的解最可靠；广义逆法是建立在对原超定方程直接进行householder变换的基础上，其算法可靠性稍逊与奇异值求解，但速度较快；
【例7】
求解超定方程组
A=[2 -1 3;3 1 -5;4 -1 1;1 3 -13]
A=
2 -1 3
3 1 -5
4 -1 1
$ j! w* W$ Y2 [+ O2 o2 `6 x* P1 3 -13
" z& J% S" r$ c$ a; r& hb＝[3 0 3 -6]’;
rank(A)
9 v% W! Z# p( Z( Lans=
) U8 \* f9 [4 F4 l. P6 Z$ S7 u3
x1=A\b
# X) @2 z7 E3 w2 n0 A, M4 `3 Nx1=
; d5 ]/ B2 F# Q. E: X% S7 @1.0000
! E; T3 j, F6 o& L6 ]6 d6 T2.0000
% H& M+ v, E( R/ ]1.0000
x2=pinv(A)*b
x2=
1.0000
/ A2 s; ~8 [1 Z  C2.0000
+ D! L" M& V" t& `- b/ G1.0000
+ P2 s' ]4 @* W* r6 c* wA*x1-b
ans=
1.0e-014
5 I+ K  ?' A& A* r5 u-0.0888
-0.0888
-0.1332
4 ~, l( A' G/ a* ^* H0
* l( u' F5 ~5 z可见x1并不是方程Ax=b的精确解，用x2=pinv(A)*b所得的解与x1相同。
5 @1 f6 b- e# W6 h4 U4 \. @9 \
1 `1 t' c  o9 E三．欠定方程组
欠定方程组未知量个数多于方程个数，但理论上有无穷个解。MATLAB将寻求一个基本解，其中最多只能有m个非零元素。特解由列主元qr分解求得。
【例8】
解欠定方程组
/ C! x) b2 `/ OA＝[1 -2 1 1;1 -2 1 -1;1 -2 1 5]
A=
1 -2 1 1
1 -2 1 -1
1 -2 1 -1
( m& d" E) M" j; W$ d1 -2 1 5
# B% x0 d1 F7 {+ E$ }( q6 Sb=[1 -1 5]’
x1=A\b
! z: U! J; P" f0 p0 f  cWarning:Rank deficient,rank=2 tol=4.6151e-015
x1=
0
-0.0000
2 e, Q/ S0 K+ l3 }9 Z7 Q) C0
% n, i+ u8 ?# A: _" P1.0000
x2=pinv(A)*b
x2=
0
-0.0000
0.0000
1.0000
8 ~/ F$ @1 t2 O, f$ g& R  y8 @
7 g8 u% P, [7 o6 A: m0 N四．方程组的非负最小二乘解
在某些条件下，所求的线性方程组的解出现负数是没有意义的。虽然方程组可以得到精确解，但却不能取负值解。在这种情况下，其非负最小二乘解比方程的精确解更有意义。在MATLAB中，求非负最小二乘解常用函数nnls，其调用格式为：
（1）X=nnls(A,b)返回方程Ax=b的最小二乘解，方程的求解过程被限制在x 的条件下；
（2）X=nnls(A,b,TOL)指定误差TOL来求解，TOL的默认值为TOL=max(size(A))*norm(A,1)*eps，矩阵的－1范数越大，求解的误差越大；
6 @6 @2 y6 n6 d% f8 l8 E1 m（3）[X,W]=nnls(A,b) 当x(i)=0时，w(i)<0；当下x(i)>0时，w(i)0,同时返回一个双向量w。
【例9】求方程组的非负最小二乘解
6 Q0 ?5 L6 y/ b; L" [" {A=[3.4336 -0.5238 0.6710
( U" z: r/ a  o' m) M1 K8 g-0.5238 3.2833 -0.7302
% Z" s4 \! ]6 Y: |" D1 f$ Q8 l4 ~0.6710 -0.7302 4.0261];
  l8 |% `4 B; K1 L$ fb=[-1.000 1.5000 2.5000];
! f8 o4 Q, o4 p) R( s& o! R" r% t[X,W]=nnls(A,b)
X=
0
0.6563
0.6998
+ n/ y; ]# v$ C! Q! {W=
-3.6820
, J+ o% u  `+ b$ d, X-0.0000
-0.0000
" z$ u6 q8 r3 f$ X# _x1=A\b
9 _9 K/ ^4 K. d8 r& @+ h6 {x1=
-0.3569
7 S4 ~, L- S0 Q- K0.5744
5 Z( f! P( h% G) x0.7846
: F' u, Y1 g7 E  o; PA*X-b
ans=
. M2 R3 i5 v; g4 \1 u1.1258
3 n4 w( j0 Y4 w( ?8 k5 p. ~% M0.1437
-0.1616
  k$ u2 h1 a5 @3 w5 AA*x1-b
. k: T) B" `' E4 N. uans=
! S" Y4 K1 j( M3 g3 i! g* g1.0e-0.15
6 n7 T5 `; n/ A  t' [-0.2220
! V$ k& D7 L: w6 Y% z* `0.4441
0

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