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x
0 f+ N9 w) E5 b# o) X! ^+ V2 v1、向量组的秩：rank（A）
/ x/ H- E& D6 r/ b6 U( y6 d
; Y% i1 ~& G% I& N. a% N2、判断线性相关性
+ E! F) t; \+ n) O. Z
1 z/ d: U9 _ Y1 d一般步骤（1）输入向量组
" L. y" }8 Q9 J
0 Y/ R, a5 i) N* _9 |6 d4 H; G （2）用A’将行向量转置为列向量1 C" Z, u2 O" R5 G! I
. A4 m8 x6 \: S! J p1 @·· （3）用rref（A）命令求秩% Y6 p% N6 h5 L- {- f# F$ \
p) M5 b3 _3 G9 X" c& z- o
例：判断向量组a1=(1 2 0 1), a2=(1 3 0 -1), a3=(-1 -1 1 0)是否线性相关,并求秩。" r5 M# z r% y w7 D+ _' X
/ q- T' H" H" q2 ^& Z
>> A=[1 2 0 1;1 3 0-1;-1 -1 1 0]; %输入矩阵" O+ X3 [$ z& |# l0 i
0 z; ?+ h1 Y# T" I' F>>A=A’ % 将行向量转置为列向量再求秩3 J/ Y2 B4 }0 p8 R" K% j& H% B
5 A& }' S' m6 z& A) c. o>>rank(A) %求秩7 I% ?, l" g6 h2 P! H* { h. Q5 M- W
4 e5 a/ i8 K; Q L
Ans = 3
' L! l% m6 N* v+ A: U5 H3 z/ @# \! c
7 H* B& t$ d; z# J9 j) o# M（注意：当rank（A）等于向量组个数时，线性无关，否则线性相关）
) w0 `+ }( D9 I* \& f
; ?" a2 u" q- ?& _) W 3、求向量组的极大无关组
# b) n5 A0 H) d6 ~& ~2 Q4 X4 ?5 M [) P" {! Y
一般步骤：（1）输入向量组，并将其进行转置
0 q; Q6 m7 J$ r D- U
! i- _2 `* T; ^1 |/ r* o* o （2）化为分数形式: G* c6 ]6 P, O9 \, I
" t( Y; l- k2 t0 V* G
（3）将向量化为行最简型
- i! w+ ~( u, t) b+ T B/ D" ?
. z6 {. l7 t% Z, m: N/ _0 u （4）对线性相关性进行判断
& `* F) W5 w* x, `* Z$ D; t; f+ w7 s& r# n0 M
注：将矩阵化为行最简型的命令为：rref（A）或者rrefmovie（A）
. K- S7 F' w& }9 c; I
. I: R6 r, ^, C. ]; W! h: } 例1：求下列向量组的秩和一个极大线性无关组，并将其余向量用该极大无关组线性表示。
" ^/ a I" }1 A3 K% M$ Z8 ^- c/ o, ~& [- K. \& s F5 p
a1=(2 -1 3 5)，a2=(4 -3 1 3)，a3=(3 -2 3 4)，
# r* ^3 K2 B) D3 D4 l2 r
3 k, C( t9 r+ Na4=(4 -1 15 17)，a5=(7 -6 -7 0)
4 b3 O- B' Y T# {' A" s3 [9 J: ^8 L2 X
>> A=[2 -1 3 5;4 -3 1 3;3 -2 3 4;4 -1 15 17;7 -6 -7 0];. U7 p8 i" [0 ^1 t; c9 k
8 m- S" l$ _0 A5 a( N5 m>> A=A′ %将行向量转化为列向量进行运算. A, `# I, T2 F. E
. i4 B$ V) d1 D8 S; y' f; w
>> format rat %分数格式形式- f& e3 L" u/ Z- j/ K
" t- m+ ]9 q+ s+ f>> rref(A) %将A变换为行最简型
2 Y2 d5 T8 \$ D Y/ c8 n5 A
4 w& n6 z" k2 R2 c5 Y) Dans =
# T5 R- z8 n9 V7 [: r. k; f& C
0 [. ~9 D+ ^9 p: m( J6 G8 W M: m 1 0 0 2 16 P* J; Z! J6 I8 z
. d& c0 Q5 B0 a7 V9 o, d" N2 l; E 0 1 0 -3 5
; r" ~7 a' k0 @, G, E
) H, A, J5 J- K9 k; v0 j+ U 0 0 1 4 -5
! N& p, F" |% W. X9 g- g8 u' A# Q# q! y4 u# ~
0 0 0 0 05 D& O* h& ?. R" Z9 {
6 M: O1 ^# A) u; J: ^6 f 因为前三行的向量均不全为0，且第1，2，3列的均为1开头，所以a1，a2，a3为一个极大无关组。! Y; ]6 N: D7 c* l0 l) W e, H
. w* Y0 p% [ i. t0 E
9 m8 {7 B3 E6 |3 _& M" L
; R V4 ?* \! q: ^" O1 w$ y0 {" w* f例2：求下列向量组的秩和一个极大线性无关组，并将其余向量用该极大无关组线性表示。* X+ s* a2 \2 F! P8 S
a1=(1,-2,2,3)，a2=(-2,4,-1,3)，a3=(-1,2,0,3)，a4=(0,6,2,3)，a5=(2,-6,3,4)
" F* y6 x' `9 w4 R; m% J R" n8 J# s
解：
$ G& N4 t+ w7 Y
$ H+ h6 h; J" K1 I7 XA=[1,-2,2,3;-2,4,-1,3;-1,2,0,3;0,6,2,3;2,-6,3,4]
& `) c. s2 @% }% J a. N+ x4 {1 l
>> A=A′ %将行向量转化为列向量进行运算# S9 V2 b/ A* a: B8 F: s, }
; e$ \! r3 `! ]* E" s: ^
>> format rat %分数格式形式
& Y' a5 W' Y# Z" O% A' d$ U* f! V. M5 Q- S {# [6 F$ A) H& w6 f3 ]
>> rref(A) %将A变换为行最简型
+ _' b/ C: r) p) c1 J1 v
, Y! k% L6 |# L; O2 k0 W( |
& g. k: R1 G6 Q/ \
; @7 P; R' y. L+ q8 `# U6 @A1,a2,a4为一个线性无关组，a3，a5可用其其线性表示
6 N6 S& N. g v/ { k. ~6 F
2 j, s0 ?$ T8 f* f. D* _8 |3、线性方程组的求解
" p9 H/ a! x' ^/ {" V
* k) }8 A7 r" O4 Q" m （1）使用克莱姆法则求解8 z) o( K1 n- u4 b
7 C4 @6 g/ ?+ r. r2 J* u
- ~! p* I( V* }- d3 @
0 b$ f# M% r6 M* U' R' E+ Q
5 M6 [/ e7 E/ f! W1 R
>> A=[2 1-5 1;1 -3 0 -6;0 2 -1 2;1 4 -7 6]; %输入系数矩阵
, O* m4 k( v8 ]2 I5 }9 V) g3 Q
* j9 E: g9 ?5 i>>D=det(A) %判断解的情况) S4 z3 f6 R1 W: a
+ |9 I/ c+ [, s# S4 Q' r
D = 27 ) s, c, u1 T, ?: U6 z, T3 W/ [4 f
; |& k; r$ I4 E' h2 v
>> C1=A;C2=A;C3=A;C4=A;b=[8;9;-5;0];
2 y6 ]% K( e& c$ J" R2 F/ L0 g9 Q b, f. u, B6 ^
%将A赋值给不同变量$ o4 [. i- J+ t! g
( O! @$ g4 C1 i
>> C1(:,1)=b;D1=det(C1); %将某行替换为系数列5 G4 O# l% T% }& o1 Z& {" s
$ k$ o; u) h6 Y; T" _1 s8 J
x1=D1/D %x求解x1
* ?, i* x% U8 W: `3 l8 K- d
" I# b! n# S& [. V& i1 e8 nx1 = 3
, I2 Y7 R8 R! z
. u- { O$ [) J6 C: ^; P" I>> C2(:,2)=b;D2=det(C2);x2=D2/D
5 ^3 r% H' r$ H
8 M3 g! F; C: ~/ M1 |>> C3(:,3)=b;D3=det(C3);x3=D3/D . Y6 I& Y! v$ `- W0 Q" g" t! k$ `
4 {: \3 e2 w) L1 i0 ~# E>> C4(:,4)=b;D4=det(C4);x4=D4/D2 L9 j0 w* Y% [+ c2 S. z N# L+ U/ R
2 _" c# U" J1 J& y1 b
（2）使用矩阵左除法求线性方程的解7 a$ q1 T6 f" U+ X9 B' }% O
* M6 E: O5 r! |" [! u) g
线性方程组AX=B的一个解为X=A\B。
, f# u" F+ S( L3 o# r ]. l" f9 |* h
例：利用左除法求解上题中线性方程组的解.
0 ~, k* n$ @' J' u
, E o9 y6 l! z>> A=[2 1 -5 1;1 -3 0 -6;0 2 -1 2;1 4 -7 6];
5 G2 u0 ~) i5 j$ H; f# i& `8 I" G
>>rank(A)
! K2 R# n8 i* Y4 C
! ^3 U6 l9 P6 \4 W>> b=[8;9;-5;0];
9 h6 M% V& @8 r! @) p6 p% l
+ t' }9 r! d% h! [* q3 H>> x=A\b %左除法
( e3 D( d) m. r2 Q9 z5 \
- V) t2 {7 L/ X; G' m+ y( cx =
2 k2 q4 e, r2 x1 ~- `2 W! e! Q2 X" S6 d4 g. K
3.00004 ^4 @; Z; }3 b" T: X7 y+ h0 m
: a7 q" {, D; U) v. v) z
-4.0000
( a" z/ G' c8 _3 X& j8 L# W
! M+ F( O( |( F7 Z -1.00008 @/ g& m: G! ]! M, A
6 e9 f3 J5 z/ W- K [
1.0000
, a4 R* i( P1 R6 g \% o6 Z" A, T- [( L! j1 f5 y/ b0 P; j
(3)利用矩阵的行（列）初等变换求线性方程组的通解4 Q% `& R+ m' j) x) Z
4 C" i5 B1 U8 T! f5 H3 v 基本步骤：（1）将线性方程组表示成增广矩阵的形式；
2 x3 B! N$ K. L" C3 b/ \' |; J# @9 X( J* w3 q! A
（2）对增广矩阵实行初等变换，使增广矩阵转化为行阶梯形矩阵；& s' v* b1 O( d+ w$ U+ M2 G2 L5 \
) Y1 v: E% C2 S7 `6 [- D4 b W$ B（3）得到方程组的解。
1 b) y+ e5 [/ f; m9 ]( P+ I* C
% I/ L% W* N" X例：求解线性方程组$ x/ Z, ]* q( e
( D; x7 B( |) n% ]% K' S# [
2 J9 @" v! g4 _# f
2 j- q: R: J7 c2 d3 Y9 z- N
$ L; O: j& q, r2 ?>>A=[1,1,1,1;0,1,-1,1;2,3,1,3]; %方程组的增广矩阵
: S4 V/ }6 O: }. g% W: y" a
4 `+ `* r' T* ?& S% M! {>>F=rref(A); %将方程组增广矩阵化为行阶梯形矩阵
% W: T4 M/ G( S8 v( ^
( N/ t$ Q( l+ M2 W3 a: z3 r, d; C>>F %输出增广矩阵的行阶梯形矩阵% @4 k2 | j5 G( b/ f! h+ m
) G' h- p# h2 IF =/ k ^" A: s& N) M8 t. J* J
2 }% i; r$ H& u 1 0 2 00 k8 v5 _6 B& `" L. i8 |- F+ K
+ |8 e* p( ^% m* Q, [1 N6 a h$ c
0 1 -1 1
" `0 U/ }* x0 A9 o4 ~. S2 ~' a' C$ c5 v) I- W+ }" b2 Z% D
0 0 0 04 c# Z+ j& d5 }8 x4 S% v* u
( t' K) ]4 d9 ?& @- W$ d由该阶梯形矩阵，可得方程组：x1=-2x3 x2=x3+1( _/ W0 L* T4 D2 F
; I. p8 N) E5 j7 l8 c3 n7 u6 U. d3 O2 O- u. o7 D. q
4 z6 v4 P. }3 b; h _- |（4）求非齐次线性方程组的通解
0 B: Q& ~/ n6 R' G# u. h# X# n
+ s, }, u4 o' s/ b非齐次线性方程组需要先判断是否有解，若有解，再进一步求通解。
1 N! R# r" ^9 i8 c
- J/ h( w5 m7 I8 G% v8 X0 n: X0 r h$ H一般步骤为：
4 [/ Q' o' W% g! |2 L5 O0 H' c. A% ]
: O8 U) M8 X2 _* |$ b( _. U1 [! q第一步：判断AX=b是否有解，若有解则进行第二步；（R(A)与R(A,b)比较，即比较系数矩阵的秩和增广矩阵的秩）
% }* M1 G" E; a2 F1 w) m
: |, B( e) w9 ~, `3 l' g" f第二步：求AX=b的一个特解；（矩阵除法）9 R3 I, O: \% t: `" x* B. f
( N9 j x5 K2 C3 H6 w第三步：求AX=0的通解；（利用null命令）
# k! u6 l4 }- r3 i) t% V5 Z* K6 a
/ U, C& ]3 Z$ M) y% e/ ]" D5 O第四步：AX=b的通解：AX=0的通解+AX=b的一个特解。
$ ?- `, z3 K" R% N9 `" D
+ Q1 C$ G3 g$ C3 f% I例：判断方程组
. F1 G0 k4 q Y
, r/ d* |, d! [' m% C! N3 F%第一步：判断系数矩阵与增广矩阵的秩
: Y) b8 ]5 B0 |+ d' d, }+ g$ F- H d- [! ^
>> A=[1 -1 1 -1;-1 1 1 -1;2 -2 -1 1]; %系数矩阵A
$ O* `0 I1 U& I n# F
4 u3 Q" Z0 z% I4 X2 @>> b=[1;1;-1]; %常数b
9 i- _* x( M+ Z% n+ O: j; B- y7 v) d
>> rank(A) %系数矩阵的秩
( y1 ~) ]- Z5 S2 x, c2 x: o3 q# c: J( D" g% R3 C( ~! W
ans =
) ^& q% l2 A; m9 `, L" d& G# ?
6 [7 x9 K0 P% r$ v: S+ {7 S 29 u9 x/ w* {, G+ M6 f, X
% [" _5 C) A2 E. x' L- b) c>> rank([A,b]) %增广矩阵的秩# [3 d8 _7 O# [, Q1 m$ f1 h: ?
2 C7 E- w Z. Q \/ S zans =
4 ]" s( {6 F n w: q
/ M! c. C9 { ?2 R% ? 2
: C( l/ Y) G8 L# ^ T( b, C/ G4 h) E6 b% M
%求通解
, D6 M+ h, I' D3 u. X5 d8 Y) h p7 v( q F) j% F4 p
化行最简形，用rref命令, i# n/ R2 a3 V% b3 G Y
/ o5 I' D6 a, T5 ^) W, J
>> rref([A,b])7 E6 D d- q( R$ ~3 i0 w! `
" u! T, F L! s
ans =
8 R# K* a5 |5 x7 y4 g& A8 P6 J/ l. t, U% a% U
1 -1 0 0 0
7 D6 a% G1 j" c! {: E8 @
6 N4 d* @3 D$ D1 q 0 0 1 -1 1! K4 Z! c r/ X' i
% b3 j4 b- L/ H+ b7 ~
0 0 0 0 05 ^. f( t* k5 a6 Z8 s
$ ]3 D8 _0 V% h: x8 t取x2,x4为自由变量,从而通解为：x1=x2,x3=x4+10 ~9 S% W, ?, R6 f/ A3 {' `' ~8 M: z s
6 _. n9 S1 G# M/ T/ ^（2）先求出特解及导出组的基础解系, 用命令null，例如：+ o8 `: s" M* O* b# R5 Q
2 m1 {3 q& V/ g$ g" B2 C
>>x0=A\b %方程组的一个特解
( H7 n& H, ^" X0 u! e- q
+ X( O& m* w+ j2 }8 vx0 =
/ y6 A2 J& z' ^' T$ W/ R$ ~7 B
: J$ s4 G b2 X% a9 D 06 G9 C6 d6 b3 h) R v& g
" `/ z! U/ k5 X3 x 0
) f G$ a# e/ a/ Y8 h! P3 q# s4 R; r2 a
1
) i E( ^3 ?% a& f
( j6 z$ ?" t' g* Q/ i! ~$ r9 { 06 ^8 P" j) j/ q5 |8 M
+ ~7 Q d. A5 O9 M>>x1=null(A) %求导出组的基础解系( e- q0 v) L" R5 \+ u- q. s
) Q6 R/ z# u2 x7 f1 tx1 =
" l6 A/ x/ R6 ^- ~
. P4 M7 |/ ~. n6 D( y( P2 G) N -0.7071 0
/ O2 e# u5 ?( O; y m
! Z" z# e) @- _1 R -0.7071 0. S* g: e1 F% |% S
; U! u8 z' z' j -0.0000 0.70711 H& e9 i& Z. Q+ u3 c% I9 {( h
/ i- u |; d; K$ i
-0.0000 0.7071
/ t7 J! O- v! o/ C* Z7 S
7 I$ |9 H# |$ r2 p$ a5 h故原方程组的通解为
. A S. V+ D5 m
+ Y' }7 i' d9 i. h8 s8 X7 Y5 l(x1,x2,x3,x4)=(0,0,1,0)+c1(-0.7071,-0.7071,0,0) +c2(0,0, 0.7071, 0.7071),c1,c2为任意常数.% h% X2 z @: O' T0 c' z
2 x& m/ M/ ]# N) h
null是用来求齐次线性方程组的基础解系的，加上'r'则求出的是一组最小正整数解，如果不加，则求出的是解空间的规范正交基。(x1=null(A,'r'))* Y0 Q+ [ H8 h5 H- [, R
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发表于 2021-9-29 10:50
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