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x
: \0 r0 C- i( }0 |2 S* n4 @) V先给出离散时间傅里叶变换的简单介绍：. m) K. P+ w. d
( m; u$ I; R* n R, P& m. I如果 x(n) 是绝对可加的，即
+ t4 M$ i- D$ E6 e r. A/ L
/ s, M' o% K& q# E; j1 C& ]0 }( E
8 f! c9 N; ]5 j( `2 F
" m0 M4 {2 j6 X, j- y5 g
那么它的离散时间傅里叶变换给出为：
/ K: }4 \) o0 E+ [
0 V6 R' |# n6 f2 x2 o% T; @, T
& K0 h1 T0 P" `$ [$ ]* X
! q- \4 z1 k- v: N; U
w 称为数字频率，单位是每样本 rad（弧度）或 （弧度/样本）（rad/sample）
. ~% s) \1 ]- o( J: S; X+ l+ c! i
# ]: b; | \7 _/ G7 z5 J7 a案例1：
; p% S( b' V W8 A, r" k' A求
的离散时间傅里叶变换
，并用MATLAB将
在
之间的501个等分点上求值，并画出它的幅度、相位、实部和虚部。; f1 c0 R- X# M* M
* ~ h& r- B: s; W$ ?, H, C+ ?题解：6 b. a' `- f9 l, p8 z
8 y0 O* a! ^7 `. Q2 b1 |由于x(n)是无限长的序列，所以不能直接用MATLAB直接从x(n)得到
。然而，我们可以用它对表达式
在
频率点上求值，然后画出它的幅度和相位（实部或虚部）。
7 ~2 Q H2 B6 U; [8 T, [& i, [% m" W8 T4 J
9 L: G* e' @1 m4 |$ W0 w
/ z/ j4 `5 U$ D2 O3 X
* t: k4 m0 t" x9 \: B
: `0 X) f, c" u% t) r/ S
) f4 U* ?" Q/ R, L. Y4 v脚本：$ Q( y) ~. ^- }# r* G: ^# ~7 h) o
, c' _( b D6 J; \- clc
- clear
- close all
- w = [0:500]*pi/500; %[0,pi] axis divided into 501 points
- X = exp(j*w)./( exp(j*w) - 0.5*ones(1,501) );
- magX = abs(X);
- angX = angle(X);
- realX = real(X);
- imagX = imag(X);
- subplot(2,2,1)
- plot(w/pi,magX);
- grid;
- title('Magnitude Part');
- xlabel('frequency in pi units');ylabel('Magnitude');
- subplot(2,2,2)
- plot(w/pi,angX);
- grid;
- title('Angle Part')
- xlabel('frequency in pi units');ylabel('Radians');
- subplot(2,2,3)
- plot(w/pi,realX);
- grid
- title('Real Part');
- xlabel('frequency in pi units');ylabel('Real');
- subplot(2,2,4);
- plot(w/pi,imagX);
- grid;
- title('Imaginary Part');
- xlabel('frequency in pi units');ylabel('Imaginary');1 k8 m8 V/ q" d: t1 Y- Y
7 V% C2 D2 l2 k% ?- |0 `% m& r* V
9 ^+ u7 `9 f* o4 m
% }% |" J: d( p$ o0 k
; [! K1 u0 d) o) w: I案例2：
8 A3 w" a# c; e4 q求下面有限长序列的离散时间傅里叶变换：
- t" y" E8 h3 j# [: x4 I' v+ x2 u) I1 D# \: }
( r& |: z0 l0 ]* q
- _) y U0 ]" [/ v" F& ~; M) Z4 H在[0,pi]之间的501个等分频率上进行数值求值。* w: ?7 M2 z/ u. T
3 R& U( n3 @( t5 B$ b; ?4 A
题解：
2 E9 p) G0 d" \" c# M, O& ~
' i# {4 P6 w8 P. b, K1 q
5 }' E/ |- R0 w
& ]/ g7 _0 } r% u5 S我们可以直接对上式进行MATLAB编程，但是这种方法在有限长序列的DTFT中不是太方便，我们可以直接由 x(n) 来求它的DTFT。
! `( f" Q" w+ \% T* P
7 M) v2 @% {8 P. x3 K我们使用向量化的编程方法，最后得到一个通用的公式。推导如下：
0 f( o4 c5 O0 {0 r
2 w4 K) c3 C0 ~: c9 B% e0 x* [
; W. g! b% [: k2 H0 D0 c% |( P
8 }1 _7 v' I% d9 K& x
# r, I6 K/ n/ _
用MATLAB实现如下：# n$ n- T# n5 ~6 P
: F" A% E. t7 Y7 [$ l3 @
- k = [0:M];
- n = [n1:n2];
- X = x * (exp(-j * pi/M)).^(n'*k);
3 [' h7 \7 l6 P
' E/ N4 a. q* Z6 X n+ y
, W2 [8 d/ s- |6 A4 F( b7 L给出MATLAB脚本语言如下：" `" o. X0 M1 W
2 `* z* V) v; @4 s
- clc
- clear
- close all
- n = -1:3;
- x = 1:5;
- k = 0:500;
- w = (pi/500)*k;
- X = x * (exp(-j * pi/500)).^(n' * k);
- magX = abs(X);
- angX = angle(X);
- realX = real(X);
- imagX = imag(X);
- subplot(2,2,1);
- plot(w/pi,magX);
- title('Magnitude Part');
- xlabel('w/pi');ylabel('Magnitude');
- subplot(2,2,2);
- plot(w/pi,angX);
- title('Angle Part');
- xlabel('w/pi');ylabel('Radians');
- subplot(2,2,3);
- plot(w/pi,realX);
- title('Real part');
- xlabel('w/pi');ylabel('Real');
- subplot(2,2,4);
- plot(w/pi,imagX);
- title('Imaginary Part');
- xlabel('w/pi');ylabel('Imaginary'); c, E; i7 R: P% x6 ^
5 l1 v# H3 c3 V M v3 ?
% D8 p# W1 J* c4 ~+ ?$ r: i 7 Z1 e* }! ?! A8 o
8 A& j2 R/ b$ q3 a; O
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发表于 2021-4-1 09:49
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