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x
. t0 f2 {' p5 c' R+ j6 z, p离散傅里叶变换（DFT）讨论的对象是有限长序列
，而与有限长序列
相关联的是其周期重复（延拓）（周期为N）而形成的周期序列
，二者之间的关系是：; b7 [/ c# l0 f
U; |9 }" l. r: ~' F" _! ?
(1)
7 ^8 ?/ ]- Z+ q$ W# a, q/ D: [ U# k/ Q$ Z7 d' m
(2)
# L+ T; B4 V2 f) T K' E9 C
2 X4 a3 ]; S, X& T) T) q. i6 M" O4 ?
' c" K& m( @2 R& E# ?& m( f m' w, a- x }
周期序列
的离散傅里叶级数(DFS)的系数
本身是一个周期为N的周期序列。
x9 E6 n! Z9 F; m
5 @ ~. n( }3 R2 u* \" G, T$ p为了保持时域与频域之间的对偶性，将把与有限长序列x[n]相联系的傅里叶级数系数选取为与
的一个周期相对应的有限长序列
。# i2 a( p' t" |6 Q. X
# P; c% }* D# r, |- v) h# m
这个有限长序列
称为离散傅里叶变换（DFT）。4 W( n2 g( g( E) r
# r) s$ }( Z+ d# ?! C/ x3 w
因此DFT，
与DFS系数
有如下的关系：8 O, p! k( I. \( L# F# u1 R
# @& Z' f3 z/ C. |+ q9 j! W
(3)
/ C: g' V0 C: A' x4 w: T4 T
+ {# t* N6 M9 o- K0 P
(4)' R1 V9 e, P! S2 B
r) t6 H. z0 p! J+ }3 k( d我们都知道离散时间序列的傅里叶级数表示以及DFS系数为：
* b8 w+ m$ N- T
7 t. X2 P- E3 `
(5)
& [+ H7 k' X- N; ^) \
& x) |* ^7 e: d- ], L
(6)
7 c7 N& B' `8 c$ F9 e/ R" B \* e. h3 x5 @
在上式中，
(7)- y9 q( ^1 n) p1 Y5 f+ @
( r, j& T" I* A* L* y1 `3 z& y由于对于离散傅里叶变换（DFT）只涉及有限长序列，也就是0到N-1这一区间，所以离散傅里叶变换（DFT）可以表示为：! ]% C- C) x( v* t
. x& X2 `, X2 e* e2 I! m9 Q分析式：! z( F6 X3 p; H4 C8 s. U& S
4 @8 d3 @9 B }7 }: X
（8）
2 T* F! r+ {* z9 m% \5 L
- R! Z! ?8 }/ o7 B' h合成式：2 a8 i3 ?, R$ i& f; L$ ~1 Z
3 o% L4 Z2 Q% u6 B* Z4 }# R
（9）7 N& i4 R& f0 X' o' I5 c
& S# W0 U5 \7 u) _# x
也就是说，这意味着一个事实，对于在区间
之外的k，
等于0。% N( A& n. `% R% J4 R$ _
+ w! ~* D z7 T综上内容，这里有一个简短的总结：0 J) u- d* G* R- K% i# X, G% L- u! F
6 w, U% `$ M+ N/ Y5 N
DFT针对地是有限长序列，是对有限长序列的离散傅里叶变换，它的表示式为一个周期的傅里叶级数系数。
5 b, T& z& M, l) p, p H/ o* T5 V' {2 A& U( L; ~
这源于有限长序列与周期序列之间的紧密关系，也就造就了周期序列DFS与DFT之间的紧密关系。. l+ ~% L" ^( v( m
% x5 y; |! t. b: \: H: B# X8 P, g% V 3 V0 l& w" _# G F; Y/ T1 M
/ ?$ s$ N% m8 C8 ?4 N
我们一起来理解下这段话：! d; i. r/ T1 ]8 H! T' r/ P' E! o) I; \
B6 |) K Z8 b9 G3 W% Z( i对于有限长序列用（8）、（9）来改写（5）、（6），并没有消除固有的周期性。
! E, s& N1 R- f d& C: e3 f# _+ }! _+ M. ?/ d% l
如同DFS一样，DFT的
等于周期序列的傅里叶变换
的采样，并且若对于在区间
之外的n值来计算（9）式，其结果并不为0，而是x[n]的周期延拓。固有的周期性总是存在的。& V% H& T: I+ K
& V& h0 @5 p5 s3 H7 }
在定义DFT表达式时，仅仅认为，感兴趣的x[n]的值只是在区间内，因为
（9）式只需要这些值。
) \4 |6 ]- @# W
2 c% [; i x+ a8 K+ B! P
0 K5 W8 u r* ], B
: K+ \) k3 P9 }% F& S |
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发表于 2021-3-8 10:27
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