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本帖最后由 mytomorrow 于 2021-2-25 18:47 编辑 5 ~ {- S4 Q* z4 e1 }# U0 z; w( b$ Z
! x! u: |: G4 u* b* _9 u上篇（对离散序列的傅里叶分析大总结(一)）的最后讨论了有限长序列与周期序列之间的关系，首先给出了有限长序列以及由其构成的周期序列之间的关系，具体参看，得出的结论是：
! `' }3 z0 S/ n( y
" i7 B) E+ v/ O N V2 |
4 ]0 V* H9 k- G' {$ j1 {: j. b
5 f- M/ N0 J# R5 \' }9 L今天的主题：
G; d- ]& r" ]" T: H2 \3 B今天的主题讨论了非周期序列与周期序列之间的更一般的关系：
7 p* y3 h7 @/ `# n+ b
: H, s* j7 v" A5 h先给出非周期有限长序列以及其DTFT，然后对其傅里叶变换（DTFT）进行等间隔采样，等间隔采样后的序列的逆变换对应的序列是什么样的呢？
1 U u {5 Z! v+ g! m7 |; R c; I7 E9 C( P$ D3 x4 h8 f
是不是有限长序列的周期延拓？$ |8 G% f' _5 r
& O" d, b5 ~) n) r- n5 h7 A看下面的分析：
v2 c5 E U9 I. G( K; K5 m* O0 l8 p" D( P
7 n, r3 c: U2 { h. a
9 L; ~# c; j9 ?# k6 r
" K8 M) B6 G. i
j( K' {9 W- E V5 r! f
# e* [3 ], e i6 m# r
* ~5 ?- g% E: l& W+ e* B$ k5 {) G- X( g+ [. J m& m: A
可见，是一个周期延拓关系，延拓周期为N。% c. n* _0 ?* ~. f) K" [; {
0 V! X9 r _) J9 L4 O有意义的举例讨论： M) S8 e$ [% S- l1 L
下面再给出一个十分有意思的讨论：; b/ c6 s! B- L- F! l, O
5 G# y7 I% k. K情形一：. r- b% Y! u3 `
在下图中，x[n]是长度为9的序列，对其进行傅里叶变换（DTFT）得到
，对
进行等间隔采样，间隔为
，取N=12，也就是间隔为
，得到采样后的序列为
，该序列对应的时域波形为
下图（b），也就是对x[n]的周期延拓，周期为12。8 a7 s( p$ c, N7 ]& m' _$ Y
- P$ y1 D+ W* x# x3 H6 C. h7 G1 Q
/ N& g' q6 F- [% B0 o/ q6 g8 E, ?
, t* g g1 a, m+ @3 a
3 r3 D0 U1 o" n情形二：
F8 t$ U6 T: L' u同样是这个有限长序列x[n]：+ I- l2 Q, n: T
% w+ H# G1 H: w9 i& _6 i
9 r' y$ Y! w, m A* ]
3 I7 I) i- p3 X, @0 }8 \9 T+ W当N=7的时候，对应的
为：
. O- ]& O8 X: X3 D+ N0 e5 W! F
9 J3 Z6 G6 G2 \! h4 ~
! Q9 f& N" _' {% O o
% k, g# [4 ?1 J0 v# Q
可见，发生了混叠现象。. d( b4 }/ M6 g- r) }( N
* X' j/ c- c3 G) c下面对其进行解释：
U! L2 @, q" ^9 x% C$ O$ G, R& |1 o4 G$ p$ F" R
情形一的情况，
的一个周期是x[n]，这是没有发生混叠的情况，但对于情形二，
的一个周期就不再等于x[n]了，这是由于时域波形x[n]周期延拓后发生了混叠。
( W+ p% I( q, m- N
5 r( C; o3 D; [) \* T尽管如此，下式依然成立：4 a* E: \* L7 F9 a. B6 z( o
. D. D# G' e' W2 N. ?- `
/ T2 ^ ]' o9 d% @
! [* n, S) ]* v: a R也就是说在这两种情况下，
的DFS系数都是x[n]的傅里叶变换在频率
整数倍的等间隔点上的采样值。) k `0 w# t+ B+ T; |0 _
+ d4 ~4 o `* K: Y4 `9 _2 b对于情形一，原来的序列x[n]可以从
中抽取一个周期而恢复。
/ ~" X: `7 I! j8 I* Q
& z' G- s- v% Q$ X同样，傅里叶变换
也可以从频率上以
等间隔地采样来恢复。4 X8 G; z$ _- y& J! M: C
8 y0 ?! V' K( Z5 N8 g5 l- z) K, p
与之相反，对于情形二，x[n]不能用取出
的一个周期的方法来恢复。
: {$ Q" n% T+ Z9 n4 N
: ]' I1 D e5 \) Z' q- \' j类似地，如果采样间隔只有
，
也不能由它的采样来恢复。
6 u* }' E3 q2 D2 d$ n t! t0 N. b8 ?% o4 u5 c0 ~) B+ P1 k
实际上，情形一说明的情况是，已经用足够小的间隔（在频率上）对x[n]的傅里叶变换采样，以便能够由这些样本来恢复该变换。而情形二，表示一种对傅里叶变换欠采样的情况。
2 K* z" {5 a9 G. \1 s; X% F2 e2 C/ @
G6 I6 \1 }+ J5 Z; m$ @: l在欠采样的情况下，
与
的一个周期之间的关系可以认为是时域产生混叠的一种形式。1 X, a2 o5 x* _: g! W) c+ d& F- M$ u
3 X0 z5 X, d' X* n0 Q9 I& Z. Y. I7 G显然，只要
为有限长，时域混叠就可以避免，正如信号的傅里叶变换只要是带宽有限的，其频域混叠也可以避免。' Y8 N' Y7 L2 |# c, |
/ c8 R1 G6 V0 _4 a i. a$ [9 U+ l
/ y- _% X( [' o( r u最重要的结论：0 J. r$ u$ [( t# j
从上面的讨论中，我们已经看出：2 u0 x) r2 ~ I N8 ]
5 y& J f; j5 {
& k, Q! \ o/ A0 X* O( O/ s
1 n+ M$ D+ m9 |8 y. F5 C' j* f重磅内容：. a4 r; h F8 n
$ `7 S4 J, G6 x. B8 A
/ ~1 g M( \; |+ w9 I
; h, I1 R3 @/ v! q5 }在推导、讨论和应用DFT时，我们应该始终记住：通过傅里叶变换的采样值来表示，实际上是利用一个周期序列来表示有限长序列，该周期序列的一个周期正是要表示的有限长序列。9 |9 v, k) E w6 O2 u. p* A5 i$ p
$ O- j9 E3 z* z4 Y8 O6 X
+ n5 L5 u9 G( d i+ n! t g2 @3 u- ?7 G: e3 ]
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发表于 2021-2-25 18:45
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