TA的每日心情 | 衰
2019-11-19 15:32 |
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x
+ w* C4 p ?2 `% ~如果被积函数的数学表达式已知，但解析解不易求，可使用数值积分的方法求解积分。
' t8 M4 ^9 o Y! x/ I! B3 G目录
( | h( S' s) p+ e5 |5 C4 A函数调用格式5 z/ z, t9 C3 x3 q, J
应用举例
6 g" ^8 Q* p& M0 V7 h: h0 [例1：求解数值解并检验其精度! M0 v# P5 x+ u: V
例2：分段函数积分2 m" j9 ~9 L7 W9 O; N
例3：与梯形法比较3 a `# n! t' {+ ]8 y9 s" s
例4：大范围积分
/ o/ }7 |$ A9 z) k: \( m例5：广义积分的数值计算" S0 U2 d/ t x" \
例6：含参函数数值积分2 h! {: n- H: r6 K
, l4 ?+ l* \+ I& `) D' O. m' [
5 G# ~/ ]' r/ _" `函数调用格式
- {% Y' \; ~# I6 A" N
9 ~# g6 I$ E! ?/ h: |3 ]1 r
) S) D; A+ ^& I. e0 E, P
( v, ^+ W2 D* U7 ^% J0 A3 ~
8 B* H- n/ z& B9 E* E+ @7 `# X! a- ~6 T: C# Q7 b r
应用举例* }5 z# w& [# f% }1 ~
+ H: C% F* m3 F" R$ w
例1：求解数值解并检验其精度
: N+ |4 b/ f2 k7 N计算积分
8 Y8 E) C `$ x" P
0 L0 I/ A0 v/ K, a2 v2 Y
% M0 p Y, }* _/ V- f = @(x) 2/sqrt(pi)*exp(-x.^2); % //匿名函数
- y = integral(f,0,1.5) % //数值求解
! s& G" C/ [+ C" x) f
+ N2 b9 i! t5 j/ ~" Z2 D0 S* W- A
' u) B- m& ^( S( }, q结果为y=0.96610514647531
+ \; i- ~5 }* c. h# C o/ s) i0 ^" K/ x# j) e% H. W$ t D9 a1 x
求解解析解：
# [" t3 V9 u' t6 _, fsyms x, y0=vpa(int(2/sqrt(pi)*exp(-x^2),0,1.5),60)
& m1 j2 |+ x5 K! [结果为：y0=0.96610514647531
! R9 R2 n& E+ Q8 m) K
) X. X6 i2 v# e+ @3 q v结论：可以看出，默认选项下数值解函数integral()便可保证高精度的数值解。
# w! f7 L* Z- P( Q' y2 ?, A7 I0 |/ S2 S4 E1 s* V
4 J* l9 a9 Z4 @$ l0 `+ J7 W0 z- c' n' O! ?2 ^
例2：分段函数积分7 [6 B$ n" v9 |) F
: ?/ D% k7 p% O1 n, C' u4 O
给定如下分段函数：4 a2 {4 x( t/ [0 ?7 ?
; R3 F w! K- V5 j; C* }- }
' M9 g6 k3 X. u* \. j5 n
- 计算积分值
。
" c6 e. B2 H4 N; q& ^3 B! F
# v$ Z& d" o4 \$ y! ~: r绘制
填充图) h+ D0 S: @0 }& N
9 o* O$ p, k6 N, r5 `# K- x=[0:0.01:2, 2+eps:0.01:4,4];
- y=exp(x.^2).*(x<=2)+80./(4-sin(16*pi*x)).*(x>2);
- x=[eps,x,4-eps]; y=[0,y,0]; fill(x,y,'g') %//绘制填充图
9 H, r, d+ q7 H
% m( D* N3 M9 r0 d. F: {, E/ M' d; [3 u% E1 \* `8 }4 i! _$ `7 L* k9 P
; q7 w( F* p% O- @( m% }6 \# c; C
- |/ A9 D7 F2 e& m! e2 B e ]" n- k( v0 }
2 z# z2 ]" s* x/ s% S# v- f = @(x) exp(x.^2).*(x<=2)+80./(4-sin(16*pi*x)).*(x>2);
- I1 = integral(f,0,4) %//数值解
- I2 = integral(f,0,4,'RelTol',1e-20) %//提高精度
- syms x
- f = piecewise( x<=2, exp(x^2), x>2, 80/(4-sin(16*pi*x)) );
- I0 = vpa(int(f,x,0,4)) %//解析解0 A$ \$ A6 `- c& M1 H
" H/ j9 f9 u4 g. [4 H
9 j% B' H' P% H* _* x结果为：5 |1 m9 Y7 p9 p
4 R5 x$ @/ Q5 I# m9 g7 A
变量 值
3 ?$ ]( H7 v2 U: ]% w1 F4 oI 0 I_0 I
& x3 f; e+ g( O3 F0
7 t, ]9 P* S$ S% z+ M+ N
1 [$ K+ ?4 G7 H4 j& @ （精确解析解） 57.76445012505301 033331523538518
" O4 o/ A1 y" H: j+ MI 1 I_1 I 6 ^' C2 m. k+ y! k+ l5 g0 V0 [% p$ S# o/ t
14 o) r2 E3 L7 a, S
5 b$ ^0 k* \/ v3 f) ?# {4 { （正常数值解） 57.7644501250 4850495815844624303
$ r% {0 ?% h: a+ ^I 2 I_2 I 0 @5 C: ?% i/ K, C* H" C
2* L* b3 R# r) g9 r3 v F! b
; d# q2 R4 f8 N: r2 x; I! A
（高精度数值解） 57.76445012505301 6904530522879219 U* E# l9 {+ v# M
2 u. H9 Q) F3 \
- a2 M% @- G- w8 |' U# J" t6 S
7 j2 E' _0 W4 w1 c
例3：与梯形法比较# T7 H+ Z( u" O3 V! `% I
( T1 o$ Y) D# v5 J3 d8 K重新计算积分
P& v, e" W% T
w! H7 _; E2 J6 s( x
. l+ Z2 h8 n$ \" u
- 梯形法求解链接
- 数值求解：4 U M3 w$ @* `+ f* ]$ I2 ], s( `
7 [5 ~$ L& z( k: l* s' j( ?: ?
- f = @(x) cos(15*x);
- S=integral(f,0,3*pi/2,'RelTol',1e-20)# w$ v% \: w& q) i# n& m5 \: ^
, g5 `, {1 n7 C) |
结论：和梯形法相比，速度和精度明显提高。
: ]2 H* d# k5 F, K7 z" B" f
; J+ V9 a! S# H3 p9 j2 ]2 P9 I& S/ [2 ]! \0 k) p! X6 }4 u
+ B0 S. b+ Z7 B4 |4 m$ F
例4：大范围积分
" v$ W* [( H5 u2 h E
! F( ?2 {1 P7 Q3 z0 ?, l/ ^8 o; k4 x计算积分
6 z! @, n- w/ \+ h7 x: P, H7 N" P9 p/ a
+ T2 h. v9 {. d: j
3 U( D& b* f+ H4 b7 n- f = @(x)cos(15*x);
- I1 = integral(f,0,100,'RelTol',1e-20) %//数值解
- syms x
- I0 = int(cos(15*x),x,0,100); vpa(I0) %//解析解
) r6 V* |% w6 j/ T* ~) ?# J7 U- U
) d- M3 o7 S' _5 p; b7 V- r
0 W1 _. b3 v' q! O* u解析解： I 0 = − 0.066260130460443564274928241303306
" T1 k/ D0 c) ~: v8 C数值解： I 1 = − 0.066260130460282923303694246897066 ]5 ?8 X& f* \/ `
3 r& [% p1 V* U0 ^9 r
, l9 x- ~6 M5 v p, D& c8 I
( z- R, z# T% M p6 L
例5：广义积分的数值计算
8 k6 f- |6 E3 W4 @3 I- {
& A" ]( a& ]$ t7 @1 c e1 R3 R计算
( d$ q( B2 n; H# Q" a2 k' G* L1 ?
8 r5 Z9 R* o j" e8 B$ @) {9 U5 a j
- f = @(x) exp(-x.^2);
- I1 = integral(f,0,inf,'RelTol',1e-20) %//数值解
- syms x
- I0 = int(exp(-x^2),0,inf); vpa(I0) %//解析解! n* t7 k1 O. {! y' ^: j
) Z# ^9 V$ x% z' ?
4 N8 e; J3 N' l) R/ t5 z+ e
解析解： I 0 = 0.88622692545275801364908374167057! }7 ]( R7 K3 ?: e' Q4 l
数值解： I 1 = 0.88622692545275805198201624079957! w! }) j: p1 M9 {& U" q
6 X# v" J' I3 Z# N
7 L7 m) w/ g) E4 u/ ]- O
) S: ~# n0 A8 n1 R! N例6：含参函数数值积分
$ A& M) w1 L, J3 r) t W: y, R8 M4 }8 K( Y; @
绘制积分函数
曲线
* U9 G( O; n6 P: o7 \ c0 g
* Y4 W+ V0 U b6 o2 E: K3 m0 o& {3 ^1 j5 _
- a = 0:0.1:4;
- f = @(x)exp(-a*x.^2).*sin(a.^2*x);
- I = integral(f,0,inf,'RelTol',1e-20,'ArrayValued',true);
- plot(a,I), xlabel('\alpha'), ylabel('I(\alpha)')
- i3 h" k& y: H
& L6 r* g( o" J
7 N: J$ d0 B7 M5 Q
5 Q0 Y. N) @7 q( @% G% A* j, n
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发表于 2021-2-9 14:17
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