TA的每日心情 | 衰
2019-11-19 15:32 |
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目录
5 y' |3 `) t8 N0 ^: l5 ?一元函数的导数
5 B/ ~* {# Z& C& k% i3 c, x- WMATLAB函数语法
& m0 r# P! _* w! J0 o应用举例
! }9 U/ i( m; T/ d3 C例1 ：普通函数求导
4 U6 M5 A, r \8 W' ~例2 ：复合泛函求导
$ k3 q: I3 n& f例3 ：矩阵函数求导# n0 i, X3 \5 K# l1 q& a8 q* ^7 [5 E
多元函数的偏导数( d; j2 `; g0 }7 [
MATLAB函数语法
) `* K: W$ h, Y# b% K- T( @. n应用举例
% M3 _0 i0 V- S- x c例1 ：求偏导并绘图
8 `# o5 b; N) z2 H例2 ：三元函数求偏导
2 ^" s3 I8 _1 q% D# {0 q/ Z
, [) k6 h4 S) k2 _$ e$ ]. J一元函数的导数$ y" I$ @- K8 N3 ?. k
MATLAB函数语法
# I" d! X; s7 {$ L% e- y = diff(fun, x) % // 函数fun的一阶导数
- y = diff(fun, x, n) % // 函数fun的 n阶导数
$ L; j( c+ T3 e5 g( p* Z
: s, q2 \- `% V6 k3 x
) D" Z* t4 ]& ?- U! a: S注：自变量为唯一符号变量时，可以省去 x x x。) K$ d& r3 R- |0 a
x8 l, K% J) w! h% i
应用举例6 {# e8 s2 H% g: K w+ x, c! P
例1 ：普通函数求导
* p& B) J& w- S' D8 j2 A# d给定函数
3 H0 q" j) i3 X+ c
" S$ _0 I4 k, i, b v- _
7 u3 R- y6 l; g$ }0 x1 j
分别求其一阶导数和四阶导数，并绘制原函数和一阶导数的图像，计算求解50阶导数时所用的时间。9 M9 U2 B8 y) M0 J
3 q$ J( ` v2 M0 W' {4 X
- syms x; f=sin(x)/(x^2+4*x+3); f1=diff(f)
- ezplot(f,[0,5]), hold on; ezplot(f1,[0,5])
- f4 = diff(f,x,4)
- f41 = collect(simplify(f4),sin(x))
- f42 = collect(simplify(f4),cos(x))
- tic, diff(f,x,50); toc/ s" N/ T5 C" A7 B! N4 r# k, v# l
3 v1 T* O. d& p0 @) _. N3 a' A; T9 n7 s' G+ C) `0 u
根据结果可知diff函数的效率较高。) Q5 k( f1 o) U
* `5 d/ J7 \& V$ d/ b1 Z例2 ：复合泛函求导
* M; c/ D* P( u" j ?* y6 E已知函数
，推导其三阶导数公式。
. n j9 v1 @! v- D3 X% m5 \5 D, H+ Q; a$ Y: }; a: e
分析：该题难点为如何定义 f ( t )- ^/ c+ S' h; r, R
- K; d# J1 g8 ^
- syms t f(t)
- G = simplify(diff(t^2*sin(t)*f,t,3)) X b* \" A3 h5 l4 C6 M
5 q/ k2 T6 Q7 a& j
" k7 a! W6 T7 l) [, m# W& a当
时， F ( t ) 的三阶导数为; R# P5 T! [5 E
3 u2 `3 ?: A+ Z+ `
- G0 = simplify(subs(G,f,exp(-t)))
- err = simplify(diff(t^2*sin(t)*exp(-t),3)-G0)+ c& g0 B! R2 X! o0 }7 Q# D& K, R
5 Z7 e1 o/ d4 [. M8 s/ p: a3 t2 R7 W( |6 c
例3 ：矩阵函数求导
+ Z4 U6 u/ p; O' c
: l9 s' R8 ^8 M4 Q1 G* v
: j' B1 {9 w. V) ]8 Y# V! N
对每个矩阵元素直接求导* ?2 V* S# b A& }. N
( s( k2 x& B) q; b# U- syms x;
- H=[4*sin(5*x), exp(-4*x^2); 3*x^2+4*x+1, sqrt(4*x^2+2)],
- H1=diff(H,x,3)
2 \& ~7 r8 z) t2 Z# k1 w' I
5 |+ R- h8 Y; S0 y0 ^% m' l
+ T' O7 O, f9 E' @多元函数的偏导数+ w# o7 c4 N3 W. T W0 I6 J
MATLAB函数语法4 I! Z. j* Y3 o4 X, H$ w: X8 Y) Y9 t
高阶偏导数 x+ b$ ~0 x- K' j1 W5 G5 F
9 C* }' J9 m( g3 }的求法
0 m7 B' U7 J" N" @9 W6 r. j
/ g, H {4 [9 H& V _3 u- y = diff(diff(fun, x, m), y, n)
- y = diff(diff(fun, y, n), x, m)
: x$ w+ n8 I% k9 _' C) ~, b6 D L' c
% Q Z4 z6 B( @/ @
1 Q( w( h% s( I$ P, S" ?& H% E应用举例 F. p4 {' E7 w( O7 P
例1 ：求偏导并绘图; \: M0 S D6 G$ u6 z
求函数
的一阶偏导
,并绘图。
! W, A, f, y# ?" R4 q$ a g7 A J n4 j4 o; ~
- syms x y
- z = (x^2-2*x)*exp(-x^2-y^2-x*y);
- zx = simplify(diff(z,x))
- zy = simplify(diff(z,y))
' W9 ~8 N8 _5 `/ q5 ~
% }3 ~( W/ s$ ]5 Z. b9 e
; m+ z2 T3 x! R/ m- a# t- [x0,y0] = meshgrid(-3:.2:2,-2:.2:2);
- z0 = double(subs(z,{x,y},{x0,y0}));
- suRF(x0,y0,z0), zlim([-0.7 1.5])
3 G$ W/ f% F6 A
. h. T/ b, W J1 F+ `
% `6 ^0 W0 w& h) y l! `+ S
( x S- ~9 Q ^1 C2 K. D9 r6 f: ?* r9 t$ k% e0 D' Y) p
- 绘制引力线（负梯度）
. N B) x! y$ O" i$ Y* K" w
- contour(x0,y0,z0,30), hold on
- zx0 = subs(zx,{x,y},{x0,y0});
- zy0 = subs(zy,{x,y},{x0,y0});
- quiver(x0,y0,-zx0,-zy0)# S% ?2 @( m$ W+ [3 [! \
+ u7 _' L! x/ P0 T
; b3 ?/ v& X* K' r1 P0 k0 r2 q
9 P- Z5 ]" a i2 Q
: v8 J, J. i' H# l/ }: Y) t# k例2 ：三元函数求偏导& E% }* n5 V4 a [) s2 z
求函数
的偏导数
: m) A1 k' M0 L5 X5 Z
- syms x y z
- f = sin(x^2*y)*exp(-x^2*y-z^2);
- df = diff(diff(diff(f,x,2),y),z);
- df = simplify(df). w! |6 t7 W D$ W3 ^1 J- [
/ R8 X$ t* L2 ?& [
" j9 j' T# _% C0 r! t/ i
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发表于 2021-1-25 18:25
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