matlab求解极限问题（limit函数的用法）

ulppknot · 发表于 2021-1-22 18:38

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本文介绍利用MATLAB求解函数或序列的极限问题，顺便介绍limit函数的用法。内容主要包括单变量函数的极限和多变量函数的极限。
目录
单变量函数的极限
极限的定义
普通极限
左极限
右极限
matlab实现方法
应用举例
多变量函数的极限
matlab实现方法
应用举例
单变量函数的极限
极限的定义

matlab实现方法

L=limit(fun, x, x0) % //普通极限
L=limit(fun, x, x0, 'left') % //左极限
L=limit(fun, x, x0, 'right') % //右极限" s1 F) Y! m f' ] u- n

应用举例
求解极限：

syms x; f=sin(x)/x; L=limit(f, x, 0)" |& T \* D2 v

求解极限：

syms x a b
f = x*(1+a/x)^x*sin(b/x)
L = limit(f, x, inf): F0 }# g8 G' v/ V

求解单边极限：

syms x; L = limit((exp(x^3)-1)/(1-cos(sqrt(x-sin(x)))),x,0,'right')3 [& r2 w7 h$ R* E E+ L# e

用下面的语句还可以绘制出 ( − 0.1 , 0.1 ) (-0.1,0.1) (−0.1,0.1)区间的函数曲线。

x0=-0.1:0.001:0.1;
y0=((exp(x0.^3)-1)./(1-cos(sqrt(x0-sin(x0)))));
plot(x0, y0, '-', [0], [L], 'o') Z* A5 b* V% E

函数曲线如下：

可见，对这个例子来说，即使不用单边极限也能求出函数极限值是12。

L = limit((exp(x^3)-1)/(1-cos(sqrt(x-sin(x)))),x,0)4 l0 \2 W+ K. K- B! Q+ W$ Q+ a

求函数 t a n t tan t tant 在 π / 2 \pi/2 π/2 点处的左右极限。

syms t; f=tan(t);
L1=limit(f,t,pi/2,'left')
L2=limit(f,t,pi/2,'right')" T: Y ]' l5 V. }7 p/ q0 P

求下面序列的极限

syms n positive
f = n^(2/3)*sin(factorial(n))/(n+1);
F = limit(f,n,inf). R% j6 e! n8 k7 b7 {7 _2 o9 N

求下面序列函数的极限

syms x n
f = n*atan(1/(n*(x^2+1)+x))*tan(pi/4+x/2/n)^n;
F = limit(f,n,inf)
& Y5 \; x# E: _5 {0 p

多变量函数的极限
matlab实现方法
多元函数的极限也可以同样用MATLAB中的limit()函数直接求解。

假设有二元函数 f ( x , y ) f(x,y) f(x,y)，若想求出二元函数的累极限

则可以嵌套使用limit()函数。例如:

L1 = limit(limit(f,x, x0), y, y0)
L2 = limit(limit(f,y, y0), x, x0); P( X: z$ e P. m: ^

如果 x0或y0不是确定的值，而是另一个变量的函数，例如 x → g ( y ) x \rightarrow g(y) x→g(y)，则上述的极限求取顺序不能交换。

假设有二元函数 f ( x , y ) f(x,y) f(x,y)，若想求出二元函数的重极限

理论上不易求解，只有沿所有方向得出相同的极限才可，不可能用累极限方法求解。

应用举例
试求出二元函数极限值

syms x a; syms y positive;
f = exp(-1/(y^2+x^2))*sin(x)^2/x^2*(1+1/y^2)^(x+a^2*y^2);
L = limit(limit(f, x, 1/sqrt(y)), y, inf)
' d# i4 G: m: q) m7 n! o

重极限的尝试，求解重极限

syms x y;
f=(x*y/(x^2+y^2))^(x^2);
L1=limit(limit(f,x,inf),y,inf)
L2=limit(limit(f,y,inf),x,inf)
L3=limit(limit(f,x,y^2),y,inf)
L4=limit(limit(f,y,x^2),x,inf)
8 q, G" w. q s/ w+ K# M0 W

判断重极限是否存在

证明极限不存在比求重极限容易的多，可以沿 y = k x y=kx y=kx趋近。

syms r x y
f=x*y/(x^2+y^2);
L=limit(subs(f,y,r*x),x,0)4 n; H% } f2 V& H, b

NingW · 发表于 2021-1-22 18:59

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