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* S4 B( ?3 Z* H+ e( L! J; T* f: e
目录$ o* F( _4 u1 E( [
) K% H7 w C8 f. B! o6 m5 O0 a; Q% Z. [
序言
9 k% W0 X" i4 V6 R; e* ~$ u3 ?0 W2 N* `4 [/ ?7 m) [% s8 c
一类重要的基本信号3 v# B& E6 |( S# E7 e+ X
" z" J9 ?1 O$ Z2 U7 m' d
线性时不变系统对复指数信号的响应
. E' v4 O9 n- g. O, K
0 E$ R5 |9 Y6 \1 }; W4 R" d# u特征函数以及特征值定义：7 {3 b2 v4 C2 [7 S0 y
0 I) J7 g C/ P- Y4 |证明复指数信号是LTI系统的特征函数
) w( i* ?) U7 j
% c- }8 d7 C- J" S简单运用上述性质
! E; ^- T) `3 I" i' U3 M
$ d8 Y& T. y7 S2 N4 t序言( l% H r/ a$ X3 j4 ~. J% d
复指数信号有相比于其他信号优良的性质，这使得其在数字信号处理以及信号与系统中（统称为信号处理）具有不一般的低位，例如复正弦信号
7 Y7 A1 X) \) g, z* X% W- P: r& n5 m0 R" F1 ~
它不仅是离散信号做傅里叶变换时的基函数，同时也是线性时不变系统的特征信号。
) [4 S% w4 |) G: }4 f4 B2 Z' N% T% {. w) y! p3 [
看了一下内容后，你就会懂得上面的描述！1 S/ q: G$ u8 j
1 O+ q7 z6 e* `# T& t
一类重要的基本信号
5 h- |0 Q5 b* |% M. b3 @& [在研究线性时不变系统时，将信号表示成基本信号的线性组合是很有利的，这些基本信号应该满足下面的两个性质：0 Y% h) Z9 |* q' e
0 `, d$ @: {" p1、由这些基本信号能够构成相当广泛的一类有用信号；7 M0 A1 E# U0 [7 a3 W
5 D6 k( W$ R; Y3 O0 v% I- i
2、线性时不变系统对每一个基本系统的响应应该十分简单，以使系统对任意输入信号的响应有一个很方便的表达式。
* J; {. R" l- y
* N. {7 q/ r" t, }/ T那什么样的基本信号满足上面的条件呢？& O1 W8 g& c2 [: O4 Q6 T& c
. J# @ k0 D8 W& V, w! l) J
由傅里叶分析可知，连续和离散时间复指数信号集都具有上述两个性质，即连续时间的
和离散时间的
，其中s和z都是复数。7 o% _: C1 W7 A0 Q
8 @( J: x" W" E1 v% A/ n: ?线性时不变系统对复指数信号的响应
3 ~; w) H% A7 c! X% H- h2 p基于如下事实：
1 N+ D! P1 }9 `* }7 A0 i7 G1 A9 Y8 I& t; V' N5 H
一个线性时不变系统对复指数信号的响应也是同样一个复指数信号，不同的只是幅度上的变化。
6 |, t! |1 B% p3 [: \! J0 w$ n0 `! ^
连续以及离散时间复指数信号的响应分别是：" V6 d$ H, b: |* R' g$ X$ p
2 Q: X& S3 m% {5 o
* t+ M% s9 T0 `+ H
+ L! t, ~% T9 j9 X0 _
其中，
是复振幅因子，一般来说是复变量s以及z的函数，但是对于变量t来说，它等价于一个常数。1 a# K2 o |" G9 i0 {
( {) U. C9 `! x% I( j) ^这就说明了，复指数信号经过线性时不变系统的响应是它本身，即同样也是一个复指数信号，只不过幅度上有所变化。. Y. ?8 i2 G- Z
1 j* U( i1 H0 F特征函数以及特征值定义：
I' l% E2 o5 i) t4 v, b一个信号，若系统对该信号的输出响应仅是一个常数（可能是复数）乘以输入，则称该信号为系统的特征函数（eigenfunction），而幅度因子称为系统的特征值（eigenvalue）。; l1 b. R. M5 @% P
$ U2 ~3 _( i/ g9 ^, p
证明复指数信号是LTI系统的特征函数% H( Y5 l0 \) j! Z
下面证明复指数信号确实是LTI系统的特征函数，也就是说复指数信号作为LTI系统的激励，其响应也是复指数信号。
' r3 j% K4 \ ~; x. E2 v
, a7 H, t" n# Y$ H0 `4 j$ ]手稿：
: g5 i1 [' N1 C# H+ H
* c) t9 e6 d6 @首先是连续复指数信号
，求其经过线性时不变系统的输出，假设线性时不变系统的系统函数为
& V$ j) Y- X# B$ _& A, \$ l q6 o+ X4 X
6 N: h% N9 X# T0 }1 k7 I! O* N! H) s% \2 g$ Q$ l- z3 {
这就证明了连续复指数信号
是LTI系统的特征函数，而常数
就是与特征函数
有关的特征值。
1 x9 I* p! \) s6 C9 X9 j- O3 S1 ?7 d8 I+ Q8 c, K3 M @$ ^1 R
下面证明离散复指数信号
是LTI系统的特征函数：
1 [5 ]6 v' O6 r' Q" c
: _/ B) a& M* T! d6 G, ^9 t% u/ G
6 p+ W9 m' }! m) P5 c( K
5 V+ n. U1 U0 B' \$ j6 w( U1 C, A同样证明了离散复指数信号
是LTI系统的特征函数，常数H(z)是与特征函数
有关的特征值。) R' p# B) Q) _- A4 T
: Z5 Z. F# z3 d3 r% X简单运用上述性质4 B- E. c) A e; _8 d; j2 B( W
既然，复指数信号作为LTI系统的输入，其输出有这么简便的表示方法，真是造福科学呀！
/ e8 D# q/ r/ f
3 P' g/ `) s1 D7 I/ t. o5 L我们不禁设想如果一个信号都可以表示成复指数信号，那么其输出岂不很简单？事实上也是如此，但多大范围的信号可以用复指数的线性组合来表示呢？
3 p. f' _7 M, K; ~! M6 u7 I& G% ]0 m j9 \( u, w# v7 K9 X2 o
（我们将由这个思路来引出下一篇博文，周期信号的傅里叶级数表示，任意一个周期信号还真能表示成复指数信号的组合形式！）3 n% i1 r* P4 \- T" b- R/ ^
7 E0 H1 Q5 r- O2 H. a下面以手稿的形式，展示上面叙述的简单运用（模拟情况）：2 E( B X7 |: q4 ]
5 C. K) {6 t( h9 g* t0 c6 j
5 X' A, L9 M: @
% B/ Z; g& l) ?离散的情况如下：8 C+ K# `, k f l6 X: t2 q) |/ h
* ~9 l. g( ?. r8 `) t
: h( Q7 x, L/ L" ]5 Q
. ^9 M+ `! N: }: m- K
这其中的
都是复数。
( [# M2 x3 {0 d# _3 V) a/ L3 }. M$ t5 r. f7 p+ O$ A& ]
这就说明：
. m7 S9 H# \1 N3 V' p. _7 ?
1 ^' c" i' W/ ?对于连续时间以及离散时间来说，如果一个线性时不变系统的输入能够表示成复指数信号的线性组合，那么系统的输出也能够表示成相同复指数信号的线性组合；并且在输出表示式中的每一个系数可以用输入中响应的系数
分别与特征函数
有关的系统特征值
相乘来求得。 |
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发表于 2020-10-23 09:59
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