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, {; T+ f9 H5 }6 M
符号计算的特点：一，运算以推理解析的方式进行，因此不受计算误差积累问题困扰；二，符号计算，或给出完全正确的封闭解，或给出任意精度的数值解（当封闭解不存在时）；三，符号计算指令的调用比较简单，经典教科书公式相近；四，计算所需时间较长，有时难以忍受。% r8 ^4 p5 o7 d! @& S
" T0 H5 L3 ^3 R+ E8 u& N9 [7 s, T1 n
6 ]; O) ~7 V* H4 y) M, p# |% ?" k
" Q1 c7 \! M1 |4 H5.1.1 符号对象的生成和使用
( G. K% I+ O- f2 U【例5.1.1-1】符号常数形成中的差异
3 \" d9 Q% j+ w9 ^" L) A& X
: k' I- o2 m& Y7 m9 Ja1=[1/3,pi/7,sqrt(5),pi+sqrt(5)] % <1>) |- a; }3 h5 u9 s. R) P
9 r/ j' S% G6 `( Ma2=sym([1/3,pi/7,sqrt(5),pi+sqrt(5)]) % <2>
/ ]: L/ t$ d$ K8 N4 L! X- c
! A. |/ y% s z. E8 C. T+ @a3=sym([1/3,pi/7,sqrt(5),pi+sqrt(5)],'e') % <3>
: I, _# }* _" s' h5 ~* ?" l# v6 D1 S! F6 f
a4=sym('[1/3,pi/7,sqrt(5),pi+sqrt(5)]') % <4>
" q% g9 T: R' ^1 d! D3 r! E" B9 [1 z9 R$ Z+ ?
a24=a2-a4
7 n% v: Q. i8 y, c5 n8 X
% P+ _9 o& p6 |3 F- [a1 =) F) W# b4 Q/ N: B8 x E5 m
! z' U" U& r' P; b, E& v: g5 C8 \ 0.3333 0.4488 2.2361 5.3777
0 i6 }- m( ?8 F c7 H; ~) h4 p0 D, ]+ i6 i' V- M
a2 =
9 y' s5 ?* I, h& }. J
' b" a: x3 ?. K2 a- f+ R& q+ W[ 1/3, pi/7, sqrt(5), 6054707603575008*2^(-50)]' `/ r# r9 O8 z% f9 g
* ^1 g, ^; D- i9 La3 =% `8 D# M; L: X- T# y
! G) W q, [1 z8 W( V* m1 \
[ 1/3-eps/12, pi/7-13*eps/165, sqrt(5)+137*eps/280, 6054707603575008*2^(-50)]8 D( e4 Y" y4 ~- `, r6 O7 o# _. F1 |% G) s% b
8 o* Q1 E# G$ @3 n. Ya4 =9 C* U2 I' K' l4 X
' `* B& ~% v4 @; g, h% I: P
[ 1/3, pi/7, sqrt(5), pi+sqrt(5)]
/ q) w r; r. W* Q- M# a' M" x! h+ D
a24 = w7 y5 A6 L; [* h
5 Y8 p7 M% @) X, |- B$ c[ 0, 0,
: ?: D- P6 X) r5 I
6 r U5 `0 P, J. V 0, 189209612611719/35184372088832-pi-5^(1/2)] 3 y. N* K' L( _1 I% |, Q# I! F3 O
3 k3 _2 l' N7 j1 L; d& X
7 S6 Z: C5 j- U/ Q
- g; X5 [9 C- q3 d
. Y# q9 c$ c4 T$ F! q' M" X* A$ S; Z9 F
【例5.1.1-2】演示：几种输入下产生矩阵的异同。( K( n- ? O9 i! `
( ~) f3 R2 e1 v: L: t( O" r8 \
a1=sym([1/3,0.2+sqrt(2),pi]) % <1>
- W ~5 x- g* X' f f% H7 i$ i4 O* Y- M% R1 v2 F C* ~
a2=sym('[1/3,0.2+sqrt(2),pi]') % <2>6 V' p" u5 C q1 l9 s- o9 O
& o4 |# y# D0 J9 s0 y9 p) ba3=sym('[1/3 0.2+sqrt(2) pi]') % <3>1 b; M) K" d( c" |
. ^9 n0 d$ T* E9 P
a1_a2=a1-a2 % 1 d7 z( H) \- p3 Y
2 J6 H5 l' e% q! @6 ?a1 =+ f' ~4 [8 e# {& n# O3 {
8 T0 K) N" { @& U/ O4 ^[ 1/3, 7269771597999872*2^(-52), pi]4 U; Q9 q" R6 q! I
@. D/ w" T w3 {; ma2 =0 n* `$ f/ M' U7 z) m$ u, y/ r, R
; A- W. `! ]' J) Z% D( ][ 1/3, 0.2+sqrt(2), pi]' r; B* J* I% d
; ^) u' j" _/ oa3 =
+ d) b# w) V! i+ {
: S- l7 E6 r/ S, @) `[ 1/3, 0.2+sqrt(2), pi]
$ D/ T, x4 Y, l8 G- B: v3 f
2 [% \8 A0 F# ^! S' [a1_a2 =9 b1 U1 A7 \$ T( ]9 y0 e9 k) J. ]
5 d, `! u6 |: K8 ]5 }! ^: u[ 0, 1.4142135623730951010657008737326-2^(1/2), 0] 8 Y0 x8 D8 e+ {0 \" i5 V1 t
# C# Q; L0 y. V: ?( b4 j8 H
7 i6 y3 Z: y0 z% H
! I C, w2 h/ s6 C% s2 T9 Z ; u5 T( }) v& l1 I4 f
* k, W1 c: M- j+ U" P$ J% y9 D
【例5.1.1-3】把字符表达式转换为符号变量2 e4 u& T# q T' `. u, |
, o2 U+ O K4 q# u" p, r8 _/ Qy=sym('2*sin(x)*cos(x)')
: \9 W R2 Z6 O% K9 V J
" y m9 p; L9 B8 \& m+ I2 P* q2 I) My=simple(y)* _% e, L- s: ?! J# F3 u3 D5 \
" O" a5 S! I) _( y( M: Gy =
3 v; A5 F, ]$ @1 [( U G. S0 |/ X/ Z0 D. E8 K5 c t! ~1 l
2*sin(x)*cos(x) u$ [4 a& y# P7 f1 b# a
0 e. x- m, ^% u; z# Y. }4 qy =
$ t& _& I9 Q5 F* p# K( Y! L, n7 o1 i& G4 T" c" o: M
sin(2*x)
9 A/ |/ G" j8 l7 d5 N, b: |, G5 R9 m7 _, n! G5 M" l) n5 o
! r# P$ e) G5 O' g/ B( `
- p/ T# e& c5 j$ }4 f
0 g$ o; }7 P( a/ f& o9 ?+ F* T# O% ]3 V' [ y% `/ K
【例5.1.1-4】用符号计算验证三角等式 。
$ T0 M$ f& c- m, I! u, T+ L) V
' a! N$ l8 z* C( P. J. ]syms fai1 fai2;y=simple(sin(fai1)*cos(fai2)-cos(fai1)*sin(fai2)) p- Y8 ]" s; s- M, I+ j6 S7 j
* R$ K- M7 j% y; g. `" |/ W
y =* A! x) P5 _9 R; p) Z8 ?
" I, K& s% O7 ]2 y+ F# W
sin(fai1-fai2) ' r1 j: E3 K9 R: J" I [
5 l3 a t- U- H1 }- P4 v
L4 E) h. Z3 o
$ u' v! _+ D! U7 m7 X * ]# x% Q8 j: I" R3 T
3 T( B/ n2 n% w1 ?" n! j【例5.1.1-5】求矩阵 的行列式值、逆和特征根
% i7 D3 ^" v) X" G- T% g+ \: c/ F/ v
syms a11 a12 a21 a22;A=[a11,a12;a21,a22]
. d0 m' A$ b+ m3 R/ C0 e! N& f3 } R9 ~) q3 _
DA=det(A),IA=inv(A),EA=eig(A)
0 Z- \9 H/ v7 \2 e5 u
& i& W+ ^4 p0 _A =
& p E7 p0 t* j) N. r1 G3 {6 E$ S+ a7 b+ `% t8 ^- j& E* J+ ^
[ a11, a12]
! m3 G& l: F3 N! F; Z0 q2 C3 P& Y. W; o# r+ M/ {' r$ h- n
[ a21, a22]' S( {) f( a& d4 B9 r! P' [
; b# j2 X) h" ~3 k$ K) [
DA =+ M5 E& G/ N: N+ L4 q, y
* d. u, z0 |1 w9 I4 I" d4 d/ Ga11*a22-a12*a21/ n+ e* X" U( i* a$ c( d/ T# r
) H2 M, O( \+ b- v7 o4 yIA =
) w/ q# v8 B8 W$ }% J# O6 H2 S! ^5 g5 u! H9 k5 T; b
[ a22/(a11*a22-a12*a21), -a12/(a11*a22-a12*a21)]
$ a. |" X4 K& F$ S. Q, e X( s% @) P& j! P
[ -a21/(a11*a22-a12*a21), a11/(a11*a22-a12*a21)]
3 }! K; a% K& |9 F* E7 I+ L/ N5 n1 K
EA =
; j+ N; I0 t4 n
# t( o4 `. R1 N% Z/ G2 |2 f[ 1/2*a11+1/2*a22+1/2*(a11^2-2*a11*a22+a22^2+4*a12*a21)^(1/2)]
; f5 R& H$ l% M6 R. C
" K4 C2 {- t: o+ l4 @[ 1/2*a11+1/2*a22-1/2*(a11^2-2*a11*a22+a22^2+4*a12*a21)^(1/2)]
9 {# b4 l; ]9 @3 r+ v) G$ S+ N* `3 l0 s; Q9 U4 A
( o& S7 S. C( f G8 |0 Y' m0 `- z
数据对象及其识别指令的使用。* e! V0 f! f, @" X8 N0 E" G: c/ p
! R3 h# t( d/ A- c9 [7 m
（1）' z0 v0 Q. H- C/ {6 T2 n T
9 h1 o! g+ ~ t0 f2 s ~: v
clear,a=1;b=2;c=3;d=4;7 g! y; [& O- L: x8 g3 ~0 E# }
5 ]! Z' T1 z3 U, p5 d4 q' Q* KMn=[a,b;c,d]' }( O! ~& ^$ ~0 ]& Q
: v1 R. H- u$ L! [# n) TMc='[a,b;c,d]'
( l4 @: C$ O4 |; D3 v
1 {# T/ a" r' D# c; c5 h$ ZMs=sym(Mc) 1 i8 F# T' t0 Q E6 P; j0 ^
$ P* k5 O+ U8 l* }Mn =
- M. {) B9 R8 y% s) m& T1 t2 X
9 ]3 ]& u& U0 m0 } 1 2
% P5 @; q5 w" k7 W* r, f& o
4 B, { I3 ~2 \ c$ ] 3 4. ]( O& Z i9 f8 e& r; T# m
$ K/ h9 F. B9 s4 q! AMc =1 G3 y, Z6 ~5 Q, f
7 `3 A/ ]% n$ b# o! o3 y. ?
[a,b;c,d]% n% V* k* U1 R/ Z( ?
. I# T' d7 {3 A
Ms =) w& l! t5 R' i: m6 O
5 i* Y; W V3 N9 C5 v1 v# U/ C* `[ a, b]$ }/ @% M% v/ H; ]+ Q
3 k- ^# @7 z& ]) [
[ c, d] 1 \3 T, B1 E- ] v
2 H1 \4 E: L) b
$ P3 A1 e7 s8 i; ~& j w0 |/ Y6 I1 S2 r" y: P
（2）8 x4 H }% a2 u" k& p
% ?4 o2 V6 P4 X: }; c4 n/ pSizeMn=size(Mn),SizEMC=size(Mc),SizeMs=size(Ms)
1 C2 h: Q' I H" X4 O9 ~5 c6 {
" M8 C( Z0 u- ^: y, e/ USizeMn =* \- ?- I7 U b3 H6 q$ B
3 T, G! l% H# \% L8 [9 v 2 2" [$ E! ~% O) J! |4 F
U: N: T! g7 V& ], `SizeMc =
G+ z C6 Q( r- M2 k7 H. \2 Z4 }$ I! C' o6 n/ y @
1 94 m$ Z# R0 M) V
% }+ s, r/ Z7 O6 U j! p* _: i
SizeMs =+ Z' q5 R+ E) {- I! n
* b }. k( h# H- Z, L, f$ b
2 2
& R+ u' }( G0 ~0 [. O; B; T% z5 J: `1 q
, G9 ^6 u5 y- J& c
$ v/ @. \2 A, q" P1 g) H（3）
|, J5 q6 L& D! I
& k) P w6 K6 b- ]CMn=class(Mn),CMc=class(Mc),CMs=class(Ms)
5 y" ?4 Z! Y0 g# F# g+ q6 J
( d% h) Y% h- s0 N0 NCMn =
9 y' w7 `+ R% K3 `8 b
4 j7 q$ A3 ?4 K/ Y! \% Y8 b3 m! _double
6 }. P9 ^. z, A4 s* ^# a( k" D& K/ ?4 b1 X5 K/ T# V. Z6 z
CMc =
9 Z, |( Q1 Y2 R) t8 b
' N: P) f6 G1 Z" G2 y3 @char+ @& q6 y* W$ A0 l( a
. i4 g/ \. W9 q! x7 j2 L2 x
CMs =6 R1 p7 x. k p% E5 D/ h
# O4 V' z& i' q: S2 [$ @5 d7 f' M
sym . Z# r3 O; S7 O& z1 W1 ~3 N- ~
" l7 D0 k- v; U% x
. _: K- J: t7 ^2 E( ~! b7 y8 u9 T( O, S P+ x9 @2 \: h; L! x- ^# \
1 {, w9 L2 K! Y6 u5 Q
5 e# j( h, U# \, S3 i4 j对独立自由符号变量的自动辨认。' D# z/ A$ b; x3 U3 i
0 K Q5 @. m( T" S6 u! m
（1）& Z4 u; D+ `) h" [
$ @' E- |1 P; q. Q9 h
syms a b x X Y;k=sym('3');z=sym('c*sqrt(delta)+y*sin(theta)');
$ i7 A: g9 H- l0 a) d j3 l5 J
) P3 t1 O9 J4 K+ e# \EXPR=a*z*X+(b*x^2+k)*Y; 5 F' h# z7 U8 b
3 z% j0 u/ h3 z# S" x/ D
; n$ c! y1 F9 u# {4 w H" T+ N* {- K9 {+ z; C2 d
（2）
% P0 W* Y9 D# o- N ^, j
7 Q$ V# J0 u# ifindsym(EXPR)
: _5 o8 O6 C, Q- x' W, O( A& e+ {4 {1 v. d; b/ C
ans = [( T/ K$ `9 M/ d+ v
; I! Z' v1 J! j$ t
X, Y, a, b, c, delta, theta, x, y
3 L, O9 E/ o9 b$ J3 U5 B+ K
' o# a% N+ `# S6 t' t
) l' h& [2 N+ t) d% `* p
/ f' O/ ], ]7 x4 R. V（3）
% ~# q; L- \* p8 I* s4 L8 ?: R3 d/ |: s
findsym(EXPR,1)
+ [ z0 C. }! q M0 d
; w- e. f2 n/ y5 J! i- b4 W- Ians =
h2 m1 \# c! c" g9 [+ W4 `4 v: c3 j* t G: i+ r' i% j
x " U. M: \( T' E
; T4 z6 F% C; }% B3 F" W
A& o& E/ m, E t" z1 v' g
, x( T# s: O0 q（4）
+ ~1 N1 f6 o1 c
9 z, ^) B d8 M* K1 S6 ^" B7 ]findsym(EXPR,2),findsym(EXPR,3)
1 c" H3 @& S/ ?+ s7 [
1 V, a2 ^6 m9 h& S0 l* Z4 \ans =
& x# ?' `5 }& N, A S" ~* ]
- t7 g; Y+ z' Wx,y
) @. W; J! `& x# a: f( O! a0 C6 b2 ~, H2 |6 Q' x7 C% u
ans =! w0 C# W7 H& d4 B, Y" @( ^
7 ~# l4 U2 K7 v7 p' B, V9 V, e# I
x,y,theta 6 Z f+ |. u; G3 ~# ]
@$ j5 N7 i$ X- W5 q
* |6 Q: S, g0 n+ k, x/ I. g. A) e
7 R7 u) k2 j# Z【例5.1.4-2】findsym确定自由变量是对整个矩阵进行的。. o" Y$ D+ D* T( Q2 o
! y s* N1 |( m: Usyms a b t u v x y;A=[a+b*x,sin(t)+u;x*exp(-t),log(y)+v]
1 y: I; H6 F; Z$ v+ [" w, y3 N) G0 V" W1 j* f
findsym(A,1)
: G% R; ~3 I+ S3 {6 O' u/ _' v
! |& I& |0 Q5 v2 m2 {7 LA = l$ W# D2 A5 J2 ?9 ?( K0 Q
$ I% ^5 I) v9 h* r9 r8 I0 n* x
[ a+b*x, sin(t)+u]5 O) H, [# i# f7 A; f9 S
+ J' W" {" B( o* T! X[ x*exp(-t), log(y)+v]
1 i5 ]3 I* Q# r
4 i" r: ~6 Y6 r1 hans =5 K, \/ j! b9 {7 \+ B
8 [* c! R0 O- _/ ^% [
x
! N" y* i' j* S+ n
! d! l6 b& h4 E8 c
+ U/ c6 d8 T0 u1 A# N
F' c8 l. ~; |6 b4 `5.1.1 符号表达式的操作$ j1 ^" y) u. r! x% W# F
【例5.2.1-1】按不同的方式合并同幂项。/ c& g# D* z, o3 O7 ^+ M" Y
7 n+ A) t' M1 G; y2 H" \. q# JEXPR=sym('(x^2+x*exp(-t)+1)*(x+exp(-t))');% _( E; _! s \5 {( Y7 H. @
$ S3 F2 ^) L* Y4 C% Xexpr1=collect(EXPR) N7 {" F+ H. X: f1 i% o; J, @
( |: g6 ]; ?- ]. }; |expr2=collect(EXPR,'exp(-t)') % v. ?' c6 [/ G; Q8 A
$ a2 V- n* m7 H! p: _/ ?
expr1 =+ p- v8 y7 r+ o6 [% Y/ `0 t
* T1 j2 m7 x: P5 b' ^. ]
x^3+2*exp(-t)*x^2+(1+exp(-t)^2)*x+exp(-t)
' W' m3 w$ {: R9 @( P p
5 B( m B( {0 R4 h) K4 _- W& `" kexpr2 =
4 O6 {, ?# e' Q, o. r& ?, }/ l3 [+ |
x*exp(-t)^2+(2*x^2+1)*exp(-t)+(x^2+1)*x
5 [, l$ q$ A% S' O2 V7 F& m& r& Y" f' Z" D" L( |
2 N0 y/ T; Z0 s P. K1 ~: o1 E+ ~! X: L! b4 |3 h: ^7 E' K1 ^
~) @: D q4 y# C
. b# J0 y( |% T5 e4 [【例5.2.1-2】factor指令的使用1 d8 F% [ x+ I& r9 i( a
) o( R7 l1 S7 z1 }. \+ s+ @4 u9 r（1）
: ^) [( N9 Y9 C' |4 b( I# c& ]% G( |8 y% X) j9 Y R; a1 I0 F2 B$ ^4 y
syms a x;f1=x^4-5*x^3+5*x^2+5*x-6;factor(f1) # I4 e% r4 h1 h" Y8 ^6 ]
8 U# u8 y5 U) B5 v" b; rans =$ A* W8 ~0 K. W
|3 `/ s1 ?7 d) S; P. Y- W
(x-1)*(x-2)*(x-3)*(x+1) & L J; ^: ]: G/ O, e
! U3 v3 [- `2 R5 o5 ?- s N6 t' t% x1 ^
( }& ^4 B0 q/ S8 ~- V7 S（2） ! `) B- r$ e. W# x' E* Z; m+ l
& a) Q9 X3 O9 {" G' ~- ]f2=x^2-a^2;factor(f2) 1 Q5 E& l& I% Q( _2 s; S, q h8 r! p
c& B I6 f4 g1 M v
ans =$ L+ X/ t) v U& F W. r
3 J7 t; b' m ]; K& [/ F(x-a)*(x+a) ) F, o% R! K v- U3 A4 U
0 Z' R3 B: ^- _8 N
( J; }5 [ m4 ]! Z1 S' v! g% w& b2 Y! H
（3）
1 f* y: A6 l* U, n* t
* P, l" u; w; w4 H+ S/ Rfactor(1025)
' ^& K2 j2 u. ^! x9 x% d
9 ~" G) W5 }1 e+ uans =
0 C6 ]# x9 u% f9 s" N# l9 K
E4 W* T5 R& }# M! {" | 5 5 41
/ s# l' ~+ ?0 x: x f: S' y! c+ [3 p# S) c4 n* X" H: {/ E7 G0 z
% @4 [" T( t7 n t7 {2 w0 c% E' |1 E9 U
5 n2 R/ C4 c, M5 {9 @+ ]+ V# x4 g+ k2 t$ X) w, G0 B/ i' G
【例5.2.1-3】对多项式进行嵌套型分解1 R1 C( f3 M, }, X
' y. i' e. f+ Yclear;syms a x;f1=x^4-5*x^3+5*x^2+5*x-6;horner(f1) / T+ f! o2 n- [, T
7 U2 R2 D3 e& {' r \
ans =) C# g+ P6 J, l9 Z% I7 d
5 w# ^/ V; i, Y6 \' _
-6+(5+(5+(-5+x)*x)*x)*x 7 `3 k# K+ g+ V! b4 i
- [! A% ?$ [0 \
' Q. [6 L9 |$ z' h! W" j) \ 1 }) W7 [/ q6 B- x: u2 K
, q4 K* Q& c2 ^. \; L6 E$ g; @1 j3 l- V: I$ p" e
用简单算例演示subs的置换规则。2 u, I0 n1 G; Q8 D }
. Z4 o, I* U5 c+ r
（1）, Y; I7 E! B& E- o' [3 p
, k! a% I+ B5 nsyms a x;f=a*sin(x)+5; 5 K8 J4 a) N- t
& G; H& r7 c- M: G# o. h3 P
4 Y7 v7 r/ C* |0 }, D9 x
. C. l( N( |2 |7 c0 g0 @; Y, u（2）: \% G6 K+ i- P( h. l5 i
: r3 R9 ]6 h8 |2 U1 R
f1=subs(f,'sin(x)',sym('y')) %<2>
# r; }0 B5 X9 d& I
! R. Y2 @3 f. d- h& @( i y6 F" Xf1 =9 C% ^. o$ K/ M3 j, V0 X* }
) F5 X4 ?& s0 L; X, }. ga*y+5
& p6 E2 I1 \6 k U5 F2 R a* a- T" n" Q6 G8 \3 y" [7 D
1 J2 f2 E8 n- ^5 n8 C4 O+ E1 C. m6 D& G- f+ e4 ^: W
（3）5 i9 _7 Z" i# j
+ \ j3 p9 W- U
f2=subs(f,{a,x},{2,sym(pi/3)}) %<3>
. S# ]1 I: O; a4 M5 F+ _, |+ ]: `4 F1 I. L
f2 =
* i+ C) e g% ~# m# A& U& y
t: @ q5 {, g1 A4 s5 ]- s1 I- X* i3^(1/2)+5
- }; k/ Q9 ~3 x1 T" f
3 s2 p3 Z' W6 W/ c/ u8 I& v% R \& x. T$ y2 w
& J: k6 |1 ^# K. g, T3 ^* N2 {
6 Z Y9 g. V0 G/ v$ A0 \' Y（4）
1 e% r, T" u# B+ Z* q3 o# x! ~& B9 ]3 L
f3=subs(f,{a,x},{2,pi/3}) %<4>
G1 c2 B7 m5 J/ s: t% X& Z9 Y8 C0 y1 I8 `; l; }
f3 =
. K9 S: D# D$ }* o* |
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发表于 2020-3-26 11:16
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