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& Y5 n/ M$ H2 q0 |3 I* b9 e/ |0 w( j
Covariance 翻译为协方差，因此，MATLAB里面的函数cov也就是求协方差了。至于MATLAB语言里面的协方差函数cov的语法是什么样的以及怎么用的，我们稍后再说，这里首先介绍下协方差相关的基础知识点。
' N3 Y1 s' w ^0 M2 A, p4 T. ]$ i) e0 e, v, Q" M2 ?/ ^, |
本文内容参考自MATLAB的帮助手册，有的时候不得不说，数据手册才是最好的教材，不仅对于MATLAB，这里提供的都是原滋原味的官方内容。例如我经常去了解一些MATLAB中的相关函数，命令等，都可以通过MATLAB的数据手册；如果我想了解一些IP核以及与之相关的知识，我可以查看Xilinx的官方数据手册，内容应有尽有，相比而言，如果我去借一些书籍去查看FPGA的IP核，不仅版本陈旧，而已也有可能翻译的有问题，让人一知半解。
/ D1 @& K4 K6 ?1 K) @9 ]8 B
- H# x/ T1 B1 g/ M4 P废话就说到这里，下面正式开始介绍。
5 j* l; H' D! q* X8 x
3 Y9 X0 k) n+ S" F, @7 }目录3 g" @5 d$ @ i( \7 S- `: |' P
( }' L. |+ a# q: {, p
基础知识
+ x- p6 z' Z/ ]$ ]$ W: j2 k) W( e8 J
协方差（Covariance）：
$ H9 S" K' f; N
# z x* C. m! [协方差矩阵（ covariance matrix）：* c9 d; L. C" y
# _$ O+ W, H: R/ h矩阵的协方差：
3 e8 M6 a( a% \9 K4 `. V2 X4 k8 X, d7 v
方差：（这是赠送的）* r6 Z6 |4 }+ [. A* W
* I6 ]+ Y! ]+ l8 yMATLAB中的 cov
+ {2 ` O& g- v) y
7 e2 f' |7 P' h/ H$ U2 L语法格式：
$ d9 B' B, E. B3 j; [0 e2 v- [4 ~! n, _9 h8 i9 {
C = cov(A)
5 V' @) T; [- b% S# O4 ?0 x3 r2 S9 ~- m* h. p$ G9 ?7 S. k: ?6 L
C = cov(A,B)
: U1 C' [2 w( ?5 R8 x T. W
9 f! L$ g! e9 c1 X! `# uC = cov(___,w)9 a- ^- t5 W$ j; b
: r/ p) u5 s' FC = cov(___,nanflag)
; B, E% W+ m- Z$ l: ^' V
* u! Q4 I& p; T- Z- b示例4 j0 h6 n; ~/ e# f5 e
! \ G8 [, k( i' G$ n4 a1 P3 cC = cov(A) 举例（矩阵的协方差）
2 r& |# m7 g8 ^4 _ V, Y3 C2 E' ^) o; o, C# P% g1 k' Q
cov(A,B) 举例之两个向量之间的协方差
% H1 q3 Z# |+ K( Y4 T; B9 H7 w2 _3 m9 E0 z
cov(A,B) 举例之两个矩阵之间的协方差
$ ]# v- A* ]+ p( B+ Z8 E; F4 D) }6 C( y1 d
Specify Normalization Weight
, w4 d# h0 ]' O9 D1 t* e, `5 F$ q# s# R5 k0 u) y# V
Covariance Excluding NaN1 V7 M0 K1 L# s/ Q( d/ g. U4 U
# b% f% s$ Y2 @; e& R4 y% D; `, z8 h% d# L* h2 ?9 t6 ^
, O6 o) E6 B! A$ t
基础知识8 Z- I* G' }7 k) c
协方差（Covariance）：% F K- `3 K+ c4 |) X' |' y
: { A3 v: X8 U9 i8 H' L! y
对于两个随机变量向量A和B，那二者之间的协方差定义为：
7 B) b( B3 ]8 o6 s
- ~( r; y4 S& _
, R a1 _" {' W; P9 x& l+ W7 i, c O# m5 ?4 ^1 r, j
其中表示向量A的均值，表示向量B的均值。- J" V7 ^3 N) `
/ J" f& b4 m9 o! b" @. y* E, q协方差矩阵（ covariance matrix）：. e- ?# b, @9 j; K
1 c% h8 ~, Q& Z. \# `+ C3 }
两个随机变量的协方差矩阵是每个变量之间成对协方差计算的矩阵，+ @( ?/ ? U9 _$ D3 p1 R
) I. E8 b" p }+ ]$ Q, e9 W
; ^7 f! J1 V! [: o" i% }2 V8 \
6 l; \! a Z" x# Q% {$ f矩阵的协方差：
3 h) l# p, P6 |& ~3 d' G7 ?1 P/ u9 n! s
对于矩阵A，其列各自是由观察组成的随机变量，协方差矩阵是每个列组合之间的成对协方差计算。 换一种说法% b/ I6 m- ]) H$ K, I1 _5 o
" I* c% k; u8 Y0 p% n) ~
* P1 `2 x! S+ e: `
3 L0 p) P0 p% Y. i! M* R$ g方差：（这是赠送的）0 f9 x F+ A. |* |6 y& Q; ~* p" A
& A, J6 b V8 S2 ~8 d* }对于由N个标量观测组成的随机变量向量A，方差定义为
+ }6 ^- W$ X l3 _' y
; s) R& Q( Q" p% u- ~* i
' t# U9 P. o; w8 \4 Z& T6 |* l% Q. }7 ]7 B- r
其中u是A的均值：
" i3 M7 a7 z0 g9 x! c
5 n* A' H2 l" v
) ~$ N( ] J& \9 }" |
3 n' U: x; p5 y9 y1 _; h
一些方差定义使用归一化因子N而不是N-1，可以通过将w设置为1来指定。在任何一种情况下，假设均值具有通常的归一化因子N.4 ~- R) s- p/ S0 z
1 D! F/ z% E! c, _（注意：w是后面要说的MATLAB里面的协方差函数的一个参数而已，在具体的MATLAB函数里面可以通过设置w来指定归一化因子！）3 V3 S |: R9 L& F
* K/ K1 O7 G `/ Y1 X9 d
. j; D2 I+ A7 D8 Y O' CMATLAB中的 cov7 Z0 a. V5 B2 B$ J) V* m* v0 f
9 Y* X& c$ f6 C9 k
语法格式：% q# ?3 b0 H1 ~6 H$ {
1 j$ K- a1 q% z0 r
8 L- _6 w1 O% i6 Y
2 l6 J: a1 n8 x' U
下面逐个讲解：
0 F! j- b. r* G% ^2 L. w2 l4 `. l, j( F, {( ?
C = cov(A)
8 x8 G; b F. X0 V, U/ r" s
9 Z( O5 i7 R/ {# ^C = cov(A) returns the covariance.* {9 m& {/ v" Q S: O
# [: H1 @2 p$ J: f/ a% @8 n
C = cov(A)返回协方差。
' o! [. C. O$ r) k( b4 I) c/ G& G0 p
% w6 B5 ]2 u a f% O+ S; f' z- If A is a vector of observations, C is the scalar-valued variance.' J# ^' P* _. x$ z% [, Q/ ?
1 f7 h1 B) p n$ M, ]0 P4 r6 p
- 如果A是一个观测向量，那么C是一个标量值的方差。 L( z' I/ U, m
9 Y8 e7 i7 ?( [, J3 A$ H
- If A is a matrix whose columns represent random variables and whose rows represent observations, C is the covariance matrix with the corresponding column variances along the diagonal.
2 [: J) P. V3 L% }
1 Z( L2 S$ ]1 [1 C# x1 W( T
- 如果A是矩阵，其列表示随机变量，其行表示观测值，则C是协方差矩阵，沿对角线具有相应的列方差。（协方差矩阵的协方差是列的协方差值）4 F: ~0 ~8 ]" d% F" V8 P' C
' m" s; q7 O1 x! `
- C is normalized by the number of observations-1. If there is only one observation, it is normalized by 1.
4 t2 |5 c: s0 C C2 i
/ m( M! _6 N9 ]3 H: ]- C由观察数-1归一化。 如果只有一个观察值，则将其标准化为1。
& {( c% Y3 F/ ?7 |& c* G5 |# k7 b! y
m% n: X; G8 i) t! ?
- If A is a scalar, cov(A) returns 0. If A is an empty array, cov(A)returns NaN.1 x, @. q& A2 \ v+ A5 l+ v2 }
3 d$ v/ H- [7 b5 A+ a- 如果A是标量，则cov（A）返回0.如果A是空数组，则cov（A）返回NaN。" R+ b; H$ m6 y- W/ \% K6 y: M/ r! x
7 J6 J7 s u5 @（你看看人家考虑的多周全！）
8 S2 b$ ?8 V/ s5 m3 X- t7 e# G) Z8 V2 A/ o* h# M
0 _: v- k% X9 s1 s/ c
C = cov(A,B) ) F. n) o* j9 u0 |# A5 @3 T
- E) s# Q6 ]4 V; N2 b! OC = cov(A,B) returns the covariance between two random variables A and B.5 a G2 z3 U+ D1 A) p- G
4 u- k; t9 N4 y8 q4 z; LC = cov(A,B) 返回两个随机变量A和B之间协方差。
$ U1 h e! i- L
- e3 I4 K) p. n- If A and B are vectors of observations with equal length, cov(A,B) is the 2-by-2 covariance matrix.
; U2 u* O. U/ |2 Z* a2 g1 V3 x
( v" m7 J9 V8 ^$ X- 如果A和B是同等长度的观测向量，那么C是一个2*2的协方差矩阵。
: ]/ @9 j, u2 w: N
7 Y8 A8 E/ s( i" z( Q* @- If A and B are matrices of observations, cov(A,B) treats A and B as vectors and is equivalent to cov(A(
 ,B(). A and B must have equal size.
8 j# O& X8 ~( t6 O7 |
, j6 f- s7 V: a- 如果A和B是观察矩阵，则cov（A，B）将A和B视为向量，并且等同于cov（A（，B（:)）。 A和B必须具有相同的大小。
1 O. }0 b a0 l4 ]; A
5 O G4 S; p/ y' i1 P4 @7 J+ y/ F/ _) s
- If A and B are scalars, cov(A,B) returns a 2-by-2 block of zeros. If A and B are empty arrays, cov(A,B) returns a 2-by-2 block of NaN.
: I5 M% q9 L* V) y5 @
6 j1 P- \& E8 B! t) }9 Q$ r- 如果A和B是标量，则cov（A，B）返回2乘2的零块。 如果A和B是空数组，则cov（A，B）返回2乘2的NaN块。
, W! w6 i: j4 V" L( ~# e. T1 r
8 F& G) E" ~- L2 G% \" w
/ e& ^! F; ], c% M$ y* H
" z3 n( `5 o+ g' W! m
C = cov(___,w); w7 u* W- H" q7 C8 G7 w4 ]
( p4 a& h3 _ L9 I9 `3 P7 B. A. eC = cov(___,w) specifies the normalization weight for any of the previous syntaxes. When w = 0 (default), C is normalized by the number of observations-1. When w = 1, it is normalized by the number of observations.
+ t. A- v$ U( N1 S9 M c9 C+ O
0 [$ k: m5 s$ k0 jC = cov（___，w）指定任何先前语法的归一化权重。 当w = 0（默认值）时，C由观测数-1归一化。 当w = 1时，它通过观察次数归一化。4 q6 y- U- U C2 _( v1 _% B
& a( {8 F, v* v
, ]# A. Y0 U' {4 j" h2 RC = cov(___,nanflag)
+ \4 e2 T( n) B5 I/ ]) R, p& G* _$ R: T( M) U" j$ M
C = cov(___,nanflag) specifies a condition for omitting NaN values from the calculation for any of the previous syntaxes. For example, cov(A,'omitrows') will omit any rows of A with one or more NaN elements.
, E4 |8 l% f! |- X9 @4 u
' P3 H, c3 L+ x9 [7 G1 eC = cov（___，nanflag）指定从任何先前语法的计算中省略NaN值的条件。 例如，cov（A，'omitrows'）将省略具有一个或多个NaN元素的A的任何行。
" c, @5 |5 h- s0 \8 @3 `; I
) q4 _4 L W0 m, _/ ]; L; f" Z) o2 D( _) ~% M" v1 i! J
示例
- ] O9 |7 H o* {! P2 q/ y7 A6 Q' i0 _# A# t
下面举例说明重要的语法格式：1 D3 q# o7 L# |# B' u6 C
+ C2 I% c3 h- x. o! w1 S0 i$ ?( lC = cov(A) 举例（矩阵的协方差）
* ~3 E. `) d3 h1 b4 ]# ~$ C! E" D: Z2 g1 Z5 N/ V
Create a 3-by-4 matrix and compute its covariance
6 S! U# }' Q Q9 g. P5 O, |9 |1 H F4 I# R: D; `, k
- A = [5 0 3 7; 1 -5 7 3; 4 9 8 10];
- C = cov(A)
, B. _* @+ ?3 l4 T O+ {6 C" P1 A
2 c2 W0 n/ P% x; I; d; W
+ \$ M' n% I7 j6 l
$ w. Q( K6 E4 \8 [0 m& L- f7 [0 R) _6 w& S7 F
- C = 4×4
Y& `5 Y" d/ `; _- 4.3333 8.8333 -3.0000 5.6667
- 8.8333 50.3333 6.5000 24.1667
- -3.0000 6.5000 7.0000 1.0000
- 5.6667 24.1667 1.0000 12.3333
3 ?# s' {' Q) R0 _( ?2 y. V
/ A* o/ \/ \: p$ A# ]( b# J
2 x* y8 j: o" T: Z
7 V$ H4 H9 p( P8 l- y3 Y
6 m: r) o. m" g, b$ I% G" }Since the number of columns of A is 4, the result is a 4-by-4 matrix.
9 N1 l" X( B$ J4 j4 P, K% J
: [& ]5 a+ m, F2 H7 @" g# H由于矩阵A有4列，表示有4个随机变量，那么协方差矩阵是4*4的。
- T) X$ }; A# M
* f2 M* ^; t- m! V4 ]5 C4 t ]) N% e
cov(A,B) 举例之两个向量之间的协方差2 O, f- b: ^( w
3 l. V7 l/ T$ |. j/ v& `: |) K" |1. Create two vectors and compute their 2-by-2 covariance matrix.
( b# X: B: I" t5 C9 m$ \- y9 A( _! Y. b$ o) A7 ]* [, Q
- A = [3 6 4];
- B = [7 12 -9];
- cov(A,B)/ S4 i& s! \& l0 F/ x
, F& C- C4 t o/ J7 i$ T- m, B
* g( j* E' Q. s: m1 u. F' b+ t0 H7 O+ s/ [% X
# k# v# e/ }% p8 O
- ans = 2×2
- 9 k2 P4 t! t( O: @9 X
- 2.3333 6.8333
- 6.8333 120.3333; I1 n9 [" ]" q4 o
7 c. r$ V, E% I+ Q) \3 M
' K# b9 C# Y7 T7 m6 Y
% D) _5 F) H+ }& r# Y, Q2 a
' ]! | j) ^& j6 E" a6 K! Icov(A,B) 举例之两个矩阵之间的协方差
* O, @! L9 K0 q. X+ I! k, f! ~4 T) }' m
2. Create two matrices of the same size and compute their 2-by-2 covariance.
$ c+ _3 v4 c4 s( f6 e V- _. |- \' j" V( Z
- A = [2 0 -9; 3 4 1];
- B = [5 2 6; -4 4 9];
- cov(A,B)" s% `3 F" _! I9 o* X+ u
: {. o$ U/ p, q& `" a7 S& W
5 Y5 Y4 Q. A, P$ Y0 T1 D
8 u. N* Z' j! J3 J6 B4 _% c* Y) ~9 I4 E; c3 ]1 v
- ans = 2×2
R u6 [+ V& e0 ^: l- 22.1667 -6.9333
- -6.9333 19.4667
, N" t9 J2 `! N1 i' V& K( w
+ N8 [4 H) I$ Q9 O7 j% l: s7 T/ P6 r* Y) R
5 t9 d9 ]& k9 o. |0 t
- `# J9 k+ |6 W: {2 z P这相当于求A(：）和B(：）的协方差，如下验证下：- M1 ?# Q6 s6 N( E$ w- y
' s2 U3 x5 Y) J. o
5 D% j/ V0 D6 A5 D7 G& b& m7 F. B5 x+ t5 ?! G+ v; J
0 f8 y6 b( |$ o6 u u
' J _: e+ x" B% c2 i
" e$ {* |* x* A. n' _* P- H7 x& ]. _+ n; j5 v. o
对比下cov(A,B)发现是一致的：
) b( s" m" f7 y# ?1 T: X1 ], N; W0 U, E
& p# @9 f1 t9 g9 w
* o; I% D2 o# ]1 t. N7 E0 [
+ z! U4 @- \8 N: U( h
Specify Normalization Weight" L, V0 o6 y4 j' e
! v) X6 U2 p" f, J创建一个矩阵并计算由行数归一化的协方差。
. j% H1 W- b' H+ P' x: Z: H% T: F& Q
- A = [1 3 -7; 3 9 2; -5 4 6];
- C = cov(A,1)
, a7 V% l+ J) A0 l) q7 p3 M/ J! p
' K5 \; n& b7 X+ B9 R N
/ Q( `9 J/ j/ D' q" c s- C = 3×3
- % o/ a+ p# V( Q7 u; K' ~
- 11.5556 5.1111 -10.2222
- 5.1111 6.8889 5.2222
- -10.2222 5.2222 29.5556, p/ ~3 B7 d$ m& l4 M, U
/ \8 F& `' t7 K* ^* B, c
* Z9 x) j1 u: Z* J6 h9 \5 `" Z3 }" G5 H" e* W# |
' ^2 X1 l0 R# T1 ~. P/ e$ R& I
我觉得还是有必要比较下不归一化的情况：
/ v/ O5 ?, {$ C% B Q
% D! i" T$ R8 [) j& v>> A = [1 3 -7; 3 9 2; -5 4 6]
5 _5 Z) C4 u/ c) X; |. k5 z8 d; [
A =: ~' r8 ]- ?2 C) Q5 |8 U/ i8 t
9 w/ f" ?8 _. z3 R0 j 1 3 -7
3 T3 w* H9 B- o 3 9 2
6 N3 m, B9 t: g -5 4 6
0 _4 G( ~- B4 Z$ P9 w2 }
7 t3 }6 a6 |& ]& w8 P2 v& ]; a>> C = cov(A,1)2 Y K7 a, g* }. c Z# A3 G: y' T
4 L% }0 G5 ?/ Z+ E4 k: I1 {% h5 ~
C =1 |- r$ f4 n; Y
' X# |5 U* R) ]# d3 r 11.5556 5.1111 -10.2222# [5 w, P1 E2 J B% _! H
5.1111 6.8889 5.2222
( S: |( N' Z# P N+ q1 p# P -10.2222 5.2222 29.5556
- Q! ~/ v: m( Z) X9 O, o7 M/ v, A2 \; m- I, H6 h+ j
>> C = cov(A)
& @1 q1 K% P& N. ], T- }$ C2 U* K: T1 W1 |& m! u
C =
6 H( N8 u9 r; D4 |- V4 N4 N4 F; r6 X: i4 w3 Q
17.3333 7.6667 -15.33335 q: W2 K0 Q& |: h6 S
7.6667 10.3333 7.8333
1 }* S+ G- Q% F2 N9 S& Z7 \ -15.3333 7.8333 44.3333
9 O1 V+ |8 X% x$ w/ O- H* ?& Z6 b& p% X, |4 ^
; P" Z+ Y; s% m6 N, e$ g3 E+ LCovariance Excluding NaN
* k B9 s# k4 R" D4 d8 a1 C! @. j7 F$ ?( F: r% ?
创建矩阵并计算其协方差，排除包含NaN值的任何行。! A3 ~1 h' P) B# |0 V" G$ x+ X9 Q. {. N
7 d. P! x! X$ Z% h4 p9 AA = [1.77 -0.005 3.98; NaN -2.95 NaN; 2.54 0.19 1.01] m. Y% G/ l2 [- i
: V- R* ]8 q5 V, B( ?8 ]
- A = 3×3
- ! H" ~* |. @9 c3 r8 _0 R; x5 h
- 1.7700 -0.0050 3.9800
- NaN -2.9500 NaN
- 2.5400 0.1900 1.0100
9 X; C" ?4 @2 y3 k3 |/ q2 M3 R& A0 D. q6 f
* f. H" X& B- ^3 J4 ?0 h9 D2 a
0 j( Z& @: v1 J& C
C = cov(A,'omitrows')9 L8 ]# g$ v: J% c# g7 z+ C2 j
; Z) m4 e, [2 C" p
- C = 3×3
- : {5 q: O' _; ]
- 0.2964 0.0751 -1.1435
- 0.0751 0.0190 -0.2896
- -1.1435 -0.2896 4.4104
- 2 f4 b9 I* E- [9 L
& A( f/ c6 p2 ]. x6 _. w
4 p6 d5 B6 v K$ T# f8 Z
- _; T# k9 {- O6 u6 T6 Z5 f( U2 ?
1 T; H/ O1 x2 O* d1 m6 k. M D$ J' Q9 g( w3 a2 a0 g
/ V3 B$ N& W2 _& r. s: ]+ l/ P
6 q- ^; E6 `7 s: t) z% u5 V% f2 b1 T5 m8 i
$ _2 M4 n# z/ a( N1 c1 F5 g9 f
5 u# p. i7 ^0 ]# w8 e2 a4 c/ ^) C$ k
. f4 k' Q9 C3 H
, X& x+ z" w- J$ U" |" f6 X- j2 [5 w! f+ t. Z* U0 {0 V3 s
|
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发表于 2019-11-12 10:38
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