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x
M4 Q d: Y3 ?7 y0 C, @/ ~先给出离散时间傅里叶变换的简单介绍：0 F5 z5 Y3 u- [
' y* x4 B- d8 V7 P4 J如果 x(n) 是绝对可加的，即
* P" i7 y1 @# U; \& i, D1 Z! D7 y E: g
1 m9 I$ V+ Z l7 o3 \4 l. }8 L- e1 c
那么它的离散时间傅里叶变换给出为：# @5 H1 F, ?5 R9 k& B
1 r% |; c( i7 S$ n4 `1 X" E
) N8 ~( O& |$ z$ O, ~. b! M5 J
- a( Z8 m% [/ a. k6 Zw 称为数字频率，单位是每样本 rad（弧度）或 （弧度/样本）（rad/sample）$ q n* W* f/ a a6 C
( d" X: f9 D/ T5 O案例1：, t* R) N$ L+ M& B; }
求
的离散时间傅里叶变换
，并用MATLAB将
在
之间的501个等分点上求值，并画出它的幅度、相位、实部和虚部。
3 h. E, A( k5 d( s" m9 O& F& l" n% z y" w
题解：, i- S1 b3 d: U- z8 {
2 ]; n& b5 \: C% W4 N$ L
由于x(n)是无限长的序列，所以不能直接用MATLAB直接从x(n)得到
。然而，我们可以用它对表达式
在
频率点上求值，然后画出它的幅度和相位（实部或虚部）。
: T& o1 r5 k+ m' t; N6 E2 S$ X R2 p; R6 t( u3 z9 J& ?- q
- _& \4 p, k1 R/ p
" i4 W. U: V* X! q4 d7 G
9 D+ P0 F+ G3 _) m3 [- ]
( ]8 h: h7 H( w5 H
; [; c0 `0 }1 \" u
脚本：
- V; _6 _* X$ ?
5 L+ Q6 H1 h |- clc
- clear
- close all
- w = [0:500]*pi/500; %[0,pi] axis divided into 501 points
- X = exp(j*w)./( exp(j*w) - 0.5*ones(1,501) );
- magX = abs(X);
- angX = angle(X);
- realX = real(X);
- imagX = imag(X);
- subplot(2,2,1)
- plot(w/pi,magX);
- grid;
- title('Magnitude Part');
- xlabel('frequency in pi units');ylabel('Magnitude');
- subplot(2,2,2)
- plot(w/pi,angX);
- grid;
- title('Angle Part')
- xlabel('frequency in pi units');ylabel('Radians');
- subplot(2,2,3)
- plot(w/pi,realX);
- grid
- title('Real Part');
- xlabel('frequency in pi units');ylabel('Real');
- subplot(2,2,4);
- plot(w/pi,imagX);
- grid;
- title('Imaginary Part');
- xlabel('frequency in pi units');ylabel('Imaginary');4 I) b5 M4 A& p% F/ a1 U
% t5 r3 `! Y* j1 \) P
0 F R9 N0 `, y. e* ?! V
- C5 a" ?, r, t2 c4 L6 r
8 |: [" a3 M% }# U案例2：! l" f& B2 j3 s& m
求下面有限长序列的离散时间傅里叶变换：. K1 P& H! F9 O2 `: X5 f
& J* P: A$ ~' @
6 j5 y0 @: {+ a. _ H$ }- S2 |( {# T
在[0,pi]之间的501个等分频率上进行数值求值。
: t1 y# X+ T$ k$ l: \ N2 s/ F8 j! @. k8 A( O( V
题解：
, d0 z D; P+ t( d. O3 Q0 v: E& N, d' ^+ @# n7 ^! g# `; ]0 N
/ T1 E/ q. V0 S) D, c f% o) H9 _
1 ?8 I, K& r9 `7 s
我们可以直接对上式进行MATLAB编程，但是这种方法在有限长序列的DTFT中不是太方便，我们可以直接由 x(n) 来求它的DTFT。
) L4 T- p* Z0 R) p. v" ]" e+ s0 T( U. H/ C; |6 d
我们使用向量化的编程方法，最后得到一个通用的公式。推导如下：, ^ i, g% _. c" L/ l8 i- G" F
% o: B1 i1 J6 k0 [( W
5 d& {' k; ?, v9 H$ c8 Z
: o* g4 o2 x F& l' f
7 j+ y. T/ ?1 Y L+ u" a5 l用MATLAB实现如下：3 @! h. R# m- o: C. P/ t
5 o$ {% j& e, F0 o2 G# g; m4 V2 |' E- k = [0:M];
- n = [n1:n2];
- X = x * (exp(-j * pi/M)).^(n'*k);
( z; W# R2 f4 Q1 E$ r- J/ P) w( }
! Q5 Y/ i5 E+ x- q4 ?* j. d2 m4 m; R1 q9 y u
给出MATLAB脚本语言如下：
- ?& H( I2 K! t2 b1 L$ ^/ n* J4 j. e" G! m2 m- N
- clc
- clear
- close all
- n = -1:3;
- x = 1:5;
- k = 0:500;
- w = (pi/500)*k;
- X = x * (exp(-j * pi/500)).^(n' * k);
- magX = abs(X);
- angX = angle(X);
- realX = real(X);
- imagX = imag(X);
- subplot(2,2,1);
- plot(w/pi,magX);
- title('Magnitude Part');
- xlabel('w/pi');ylabel('Magnitude');
- subplot(2,2,2);
- plot(w/pi,angX);
- title('Angle Part');
- xlabel('w/pi');ylabel('Radians');
- subplot(2,2,3);
- plot(w/pi,realX);
- title('Real part');
- xlabel('w/pi');ylabel('Real');
- subplot(2,2,4);
- plot(w/pi,imagX);
- title('Imaginary Part');
- xlabel('w/pi');ylabel('Imaginary');: S; [ E' j8 O! m6 M j
+ W$ k7 U3 M a+ h1 N: n
. H: Y6 w! i6 J( h7 b' n 3 g# [) r9 w: t5 P% N* y
0 C* I. M" E- B- }- C8 [
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发表于 2021-4-1 09:49
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