TA的每日心情 | 衰
2019-11-19 15:32 |
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x
+ m6 S+ U, X3 k4 J
如果被积函数的数学表达式已知，但解析解不易求，可使用数值积分的方法求解积分。0 v0 Y$ Z8 i! t9 a T! o& e
目录
: l, `' V. }1 g; q函数调用格式1 S: u( @: v; y5 Q) V
应用举例. B$ G5 w- D, ], }' T
例1：求解数值解并检验其精度
# B* G1 L q: n7 I" j5 z9 Z3 e! C例2：分段函数积分, \9 f' p0 I' x Q5 H( o
例3：与梯形法比较
% a b2 k7 J. a例4：大范围积分! @8 E' X0 i' X- d8 N. B7 f9 x2 m; g
例5：广义积分的数值计算
7 Y/ s7 L- ?" U3 p例6：含参函数数值积分; H( M `0 }( ^$ Y
1 n# ?1 o7 v( t1 U1 z% A' D+ P5 ~$ G6 U: W; @- ]9 Y4 U# J% e
函数调用格式
5 Y2 p2 x7 N. w( w& Z' P0 M5 v. `0 c' x+ S* s! {: n1 I) \3 V& Z# A
" Q+ I8 e% I1 _* ]' J Z: m: U8 Z
& v& m' ^6 o: ^: {. d4 u% ?2 z% X4 ]
4 x- f' q# @3 ~9 E- |3 E! a
/ J) k) h7 @5 _/ e! C4 K. W应用举例
3 ]! Z) |: S4 B+ F3 F/ l0 K( v8 O# V/ b6 J
例1：求解数值解并检验其精度2 w3 Z/ S1 ?" b: z# N4 |3 Z2 I
计算积分
" ?4 M! ?5 K+ Y; N/ z& y
9 y X7 p: q W4 _. e" z+ Q# E* Q
9 A0 ?7 C; r# M; n# T4 g" P4 _( Y- f = @(x) 2/sqrt(pi)*exp(-x.^2); % //匿名函数
- y = integral(f,0,1.5) % //数值求解
1 M: L& c) O1 H0 v7 Y; q7 [
" Y- ]5 a* Z; N" N8 f
4 ]9 R" n$ L* Q0 _% X) K结果为y=0.96610514647531
3 H# E) `- ~7 B1 J/ N& L3 V4 e1 e* p) v6 F1 q# R2 a5 x
求解解析解：; r, k4 X# |* Y2 p4 G1 L' g6 J% ~
syms x, y0=vpa(int(2/sqrt(pi)*exp(-x^2),0,1.5),60)# j* B0 o* J5 B1 g) y- T( p
结果为：y0=0.96610514647531# O. ~* m* n8 C' I' Z
, @7 q8 g# ~3 X
结论：可以看出，默认选项下数值解函数integral()便可保证高精度的数值解。5 H! n1 C7 j' ]' S
8 ]6 {0 ^8 F c+ v/ V, b! v
- v( B. l' y$ @9 {
: O, }, x! G$ M4 n例2：分段函数积分5 @2 V3 v3 A8 F T
; L4 V" m% [% n' K# v, C0 B
给定如下分段函数：# |$ N" J+ K( y, v
6 m% C- {" r3 S9 w 6 e( v( E5 J) V7 J7 R
- 计算积分值
。
- M: p5 D, `" S) q2 f- W
2 v# A# q' G6 u ^8 k6 M4 B" x1 ~& f/ n绘制
填充图
. e0 f- k# M3 \3 K
! v0 i a4 S9 D0 r- x=[0:0.01:2, 2+eps:0.01:4,4];
- y=exp(x.^2).*(x<=2)+80./(4-sin(16*pi*x)).*(x>2);
- x=[eps,x,4-eps]; y=[0,y,0]; fill(x,y,'g') %//绘制填充图3 c7 [9 a$ x& V2 d; [# f/ ^
; U! E- x' M4 _. {& a2 m3 g: k
3 e6 j" S# S, d) Q3 W: T
3 }0 {( |; }% @8 n, s5 N3 Q; } V' H1 b* z
; S9 S' Z9 D* I: O$ O" n4 ]8 s, J, j& I( U: J. j
- 求解与验证
9 G8 b3 M" \& f3 p% N$ f- U
- f = @(x) exp(x.^2).*(x<=2)+80./(4-sin(16*pi*x)).*(x>2);
- I1 = integral(f,0,4) %//数值解
- I2 = integral(f,0,4,'RelTol',1e-20) %//提高精度
- syms x
- f = piecewise( x<=2, exp(x^2), x>2, 80/(4-sin(16*pi*x)) );
- I0 = vpa(int(f,x,0,4)) %//解析解
7 k, T9 t% R' n1 ^
& N# I) v! X, Q6 i) O* R& a# W# R+ G6 @! k2 K
结果为：6 |% v: W4 I$ w3 F: r% U& _4 J
- ~' p/ T4 Q* ^4 A q" U n
变量 值
. w1 V0 [3 Y! s* _4 }I 0 I_0 I
( ?2 R7 n& U: a3 u2 ~6 k00 i. _: o1 j- h# B' e
9 Y: n8 m! V1 [2 Y
（精确解析解） 57.76445012505301 033331523538518. c0 s F1 h6 g. c0 @ C/ o4 j
I 1 I_1 I 3 P; L9 V p* z
1+ ?2 i# O5 b) L( v& Y ]( y
8 F5 u( b* v) U, u, v! h i4 Q
（正常数值解） 57.7644501250 4850495815844624303
- t2 U* J# o7 T% BI 2 I_2 I
: `& e+ t& R% U% K# Z( H3 D2: h4 E0 G+ O) n
# X7 n. |: p3 I& o/ n
（高精度数值解） 57.76445012505301 690453052287921
/ v6 f( ]) J0 ?* H! z4 c* S7 @" I1 u7 L6 m1 | G x9 [2 g4 X
' m& ~6 K, v) l# q
8 \: O8 Y5 A- m8 @ J8 e) X* w o0 w) f8 L- p7 z' H
例3：与梯形法比较8 H2 f! H& ]" t; z d" I
3 Q: o4 s0 K8 F
重新计算积分6 q& g4 T3 w! M" j; t
; s$ H# I$ l+ _' a" ?& ]% X( P1 Z8 C/ ]0 s! j) h* B
- 梯形法求解链接
- 数值求解：
# L3 E4 V8 n& r% t$ B9 z
1 a1 ~( r$ f* i1 N
- f = @(x) cos(15*x);
- S=integral(f,0,3*pi/2,'RelTol',1e-20)
0 ^# B! D1 ?% u" w* h( B; P8 k4 [
. l* p5 i5 |) t7 l, p5 t8 g
结论：和梯形法相比，速度和精度明显提高。
- k+ M% u! ]! q$ Z' Z3 _
D9 c1 U2 q! ]* f7 b* {5 I m$ {. |! E/ U4 M
1 |$ @3 U! V" ~% G$ D; \8 b" h例4：大范围积分
- E+ T, `7 A" ~/ q3 I, x* Z3 i
9 L# }7 ?! [! z, ?. g' _( ^5 }计算积分 ?8 N4 Z: Y% I5 m$ R5 s
9 k- B" O! a5 n+ z' c
5 W) ^/ z1 D8 C% S1 e0 J' }- f = @(x)cos(15*x);
- I1 = integral(f,0,100,'RelTol',1e-20) %//数值解
- syms x
- I0 = int(cos(15*x),x,0,100); vpa(I0) %//解析解3 A" k1 l% G3 R5 A
3 O6 c. N8 F, G) o1 x
5 g# H) X- W) _& x" C7 S( x# [& K解析解： I 0 = − 0.066260130460443564274928241303306 4 H: s0 B0 J8 X/ P0 T' U
数值解： I 1 = − 0.066260130460282923303694246897066
0 A' E2 c4 h. ?6 B- @& @' W$ W4 U5 |9 M
7 H. x6 a4 t) G, n$ |3 R l+ N3 q
1 r! \4 r2 K7 D9 H例5：广义积分的数值计算
4 @" ]: }* S; D% h3 E
) U$ `# {4 {: _5 w计算* j# v- b1 p$ k# K8 O" o' ?
. @- u3 j+ w; P5 B' j5 v
+ B9 }3 I3 [+ m. Q7 V' `
- f = @(x) exp(-x.^2);
- I1 = integral(f,0,inf,'RelTol',1e-20) %//数值解
- syms x
- I0 = int(exp(-x^2),0,inf); vpa(I0) %//解析解# | ?3 V. P2 v! ~! B" K b+ m
7 R- V' Q) m, c3 k4 b m0 _+ l
- n6 J ~1 f) t解析解： I 0 = 0.88622692545275801364908374167057# c6 R% d( [1 R* X: M
数值解： I 1 = 0.88622692545275805198201624079957
, Q+ B' R. V4 q H
7 A, D- r# V7 w) o' I
, t, x. w( a' T" w3 O
; ?0 `; z% }: L6 r# `& |6 E! |/ Q" O例6：含参函数数值积分
3 N* P+ B8 O/ i; S3 n4 {1 f: b
) |: E( g1 L. ~5 b( f8 `) H绘制积分函数
曲线" O) V0 r& e1 P5 j( C/ Q% C- N+ ? B8 s$ V
: P+ r3 }# G0 q& M0 j- a a3 w
( a( V$ z0 ]+ @/ l: c5 ^ M- a = 0:0.1:4;
- f = @(x)exp(-a*x.^2).*sin(a.^2*x);
- I = integral(f,0,inf,'RelTol',1e-20,'ArrayValued',true);
- plot(a,I), xlabel('\alpha'), ylabel('I(\alpha)')
/ |; u- L' C: ^0 v
' j. L) j8 }3 _# D d( I# w/ h+ u' B3 J) j
# {9 p1 i' g8 A7 {3 H1 r' \
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发表于 2021-2-9 14:17
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