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x
4 H1 L0 Q9 M' _' `1 A6 {9 p如果被积函数的数学表达式已知，但解析解不易求，可使用数值积分的方法求解积分。
3 l+ q, |& s6 i目录: q) q5 t& r8 \( g
函数调用格式) h: L7 m4 N6 Y7 `* n
应用举例
! ] f R) \0 t, m( k. ]7 J C$ ]例1：求解数值解并检验其精度6 u& c7 v- A% `
例2：分段函数积分7 J1 Z2 J% d6 Z* K( s
例3：与梯形法比较* J8 g; L1 k+ Y( b6 o6 x
例4：大范围积分
9 b$ N$ }) r" F! j9 ]例5：广义积分的数值计算
. }2 o$ `& x: V9 D, ^例6：含参函数数值积分. @. G6 v6 R& ^: n% W" V' }5 w" c
# y! T, c; B1 {+ u% m( b6 v; b7 A* m5 L& h3 B' N6 ^1 q
函数调用格式
7 a8 d! W l" C, p; x3 P9 L3 j7 u7 _# U
, Q; C( o+ D+ q$ l" w. @) ]
0 }0 g: Z3 \3 U$ J) V- ?
0 U4 E. m3 _1 H0 [. z8 L应用举例" o! \! X5 X! Q1 F6 o, G; n
例1：求解数值解并检验其精度, a/ U- I5 O5 @2 O6 T8 w7 b
计算积分
( F+ w9 \, ]8 p* k$ |3 h$ x
' Z6 l+ _2 Q# k) z5 T7 P: m$ L
* i3 Q. d. e( Z
- f = @(x) 2/sqrt(pi)*exp(-x.^2); % //匿名函数
- y = integral(f,0,1.5) % //数值求解6 A; }! I& K% T5 {9 K
( i* B; B9 i1 h) }/ @结果为 y=0.96610514647531, d8 \1 s* b! ^( \: Y2 z
7 Q* Y8 k; u5 `( S i5 T3 Z* @. O
求解解析解：
( H* O& Z6 i- Dsyms x, y0=vpa(int(2/sqrt(pi)*exp(-x^2),0,1.5),60)
5 \6 ]0 K2 l! m7 @: k; w结果为：y0=0.96610514647531
$ C. w! @' K* F9 q; l" z( _5 O2 v( r1 k1 M* s
结论：可以看出，默认选项下数值解函数integral()便可保证高精度的数值解。
" C/ J: j. l3 Q" v3 X o( `& Q, q8 m3 I: a4 X0 w) W% O8 h$ H
+ \6 T! O Z% l
例2：分段函数积分; G+ o$ E/ g6 m' G
' v! \* ]: U" w2 V
给定如下分段函数：
* _, Y6 W w6 A, }/ ?0 \
4 v& X2 x3 O) b1 [! I计算积分值
。& Q/ E. R- H3 U: N% `5 K! D @
4 S4 u' ~9 i& o" \, }- f- 绘制 f ( x )填充图
" J& V7 ] ?! c, c
- x=[0:0.01:2, 2+eps:0.01:4,4];
- y=exp(x.^2).*(x<=2)+80./(4-sin(16*pi*x)).*(x>2);
- x=[eps,x,4-eps]; y=[0,y,0]; fill(x,y,'g') %//绘制填充图 N. y) T: ?$ f. k! a
% q9 N# z* E. E+ x8 o3 D
+ r6 Z L7 t: C1 D6 P; I5 }, f3 B) m8 w1 y
6 R& N4 J7 V5 u& S! v/ R
( V3 a& p4 J$ p* u @$ C& P2 n; w$ r- X9 t
- f = @(x) exp(x.^2).*(x<=2)+80./(4-sin(16*pi*x)).*(x>2);
- I1 = integral(f,0,4) %//数值解
- I2 = integral(f,0,4,'RelTol',1e-20) %//提高精度
- syms x
- f = piecewise( x<=2, exp(x^2), x>2, 80/(4-sin(16*pi*x)) );
- I0 = vpa(int(f,x,0,4)) %//解析解
) @4 Z5 {$ t. Q# {# C
. ?0 O5 m' m0 y
6 [. y$ O6 k) {结果为：
0 q# k/ |! U; c7 R! f' d$ B
' f Z R4 u) G) P% v
- d3 R6 B. e5 A* g
' U5 y& q# D; p7 E2 X$ m. m, `' o* x: [7 B8 J( x
例3：与梯形法比较
$ o& K# \' E9 d9 f; H. Y
/ s- h; O- r/ p' N重新计算积分
7 |8 y! g8 u( `5 [ I9 T
( p- Y* T8 j# F5 s& S3 X
/ Z1 o( K- x. U$ T6 y7 _6 @( `
- 梯形法求解链接
- 数值求解：% _; g; P6 J Y/ L4 [2 |( O, [# t- P: W0 _
- f = @(x) cos(15*x);
- S=integral(f,0,3*pi/2,'RelTol',1e-20)
2 Q$ Q. @" c- Q! y' t
2 r4 u K8 v# J
. O0 A, ]; l7 Q4 u5 h
结论：和梯形法相比，速度和精度明显提高。
; n, o7 Y) J0 V! |- E
; ?0 h& y$ A9 I+ T5 a% N; _
4 O; Y$ \5 ~3 ] ~例4：大范围积分
% `, m& q6 ?; w' T' `$ P- X9 f; n# ]7 V* ~. `
计算积分
" F% B- q# C! ~$ f l* h1 Q
& l8 l0 @* ~# W" h2 c& j. n3 O& @
* u% D4 I" m; l4 s# L2 ~- f = @(x)cos(15*x);
- I1 = integral(f,0,100,'RelTol',1e-20) %//数值解
- syms x
- I0 = int(cos(15*x),x,0,100); vpa(I0) %//解析解5 z8 | Q6 @( i
1 M* j- ~% n5 O, @0 v1 ~( C4 [; H. Y% R1 o1 t; L! w
解析解： I 0 = − 0.066260130460443564274928241303306
S1 @7 B* [! g: t数值解： I 1 = − 0.066260130460282923303694246897066
4 q( @! ?& j5 S' D- r. |* l8 h
/ l4 g1 l$ H! M7 o8 _9 _! ?1 u6 o! f' w8 J
例5：广义积分的数值计算
8 }# X/ c6 `, K计算5 g* ` }0 f% d; ]: r
! y2 Q+ R! k: c1 p; s9 s8 o
. L: |$ G# P+ j1 M( a1 H
- f = @(x) exp(-x.^2);
- I1 = integral(f,0,inf,'RelTol',1e-20) %//数值解
- syms x
- I0 = int(exp(-x^2),0,inf); vpa(I0) %//解析解8 Y- ]! |1 u$ n- h6 \8 k
8 Y- x4 X; a ~& ^! p4 z8 L u4 Z; [7 r( X' H* \2 _0 ~# e
解析解： I 0 = 0.88622692545275801364908374167057
, c& U; e, N9 @; K' @. @4 p数值解： I 1 = 0.88622692545275805198201624079957- h* a4 e6 f- c* v3 I1 R" a6 F
7 O. W8 P/ \. O2 o" V: [9 Q
' z2 b |3 n* E9 M
例6：含参函数数值积分
( N( e3 t' `6 q/ Z9 p
, ]+ R' @& g, K' i绘制积分函数
曲线
5 X' z6 F8 q) n4 A
; E j- J' t% R+ ~" ?) v- E4 H
j, G6 G- w+ J7 U2 V9 t- a = 0:0.1:4;
- f = @(x)exp(-a*x.^2).*sin(a.^2*x);
- I = integral(f,0,inf,'RelTol',1e-20,'ArrayValued',true);
- plot(a,I), xlabel('\alpha'), ylabel('I(\alpha)')
* A0 f4 { Z. B% K
5 {6 W: g, u# F2 L" G" f. l3 j" m
w1 S6 t9 G/ g
( l0 y0 X' E) x# A
7 y- ^/ i8 N6 L; j5 O' y, F2 m) e( S q9 Q; b! ^0 G- m% `
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发表于 2021-2-5 10:20
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