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目录
5 z0 J( b5 x6 o- y0 ]总述
" x8 c# r3 M/ a5 j' g4 @$ _函数调用格式
6 Z7 b- o) Z7 j应用举例
$ J5 }- m+ v: S$ T: m) D: n$ a! y例1：梯形法求积分
; Q9 W: i+ S6 i0 F7 L/ g例2：不同步长对积分结果的影响$ g; v$ [1 o, e& k- z4 @# E& N
) [ G4 z+ u7 h- h4 ]' R3 P& n2 C9 s5 {! h
总述 数值积分问题是传统数值分析课程中的重要内容。如果被积函数的数学表达式未知，则需要由实测数据通过梯形算法求出积分的近似值。本文将介绍被积函数的数学表达式未知时数值积分问题的求解方法，即已知数据点求积分。
: a" W; n% J3 G& G' z% Q
函数调用格式7 W! Y9 ]8 \; X+ K9 Y
- S = trapz(x, y);2 f/ Q5 {2 ?7 _4 u+ T2 i- B
4 P. l( [. |) E/ `# x
- S; ?5 l0 Q9 ]- t, i2 J应用举例例1：梯形法求积分
0 u$ i; f/ v' O; ]4 D) x' Q z/ j3 c/ b( Q" ^
" [* H, }4 w9 V! N3 S( g4 z. G& V/ \5 G0 m$ P/ W# J5 K! F+ k! ~
- x = [0:pi/30:pi]';
- y = [sin(x) cos(x) sin(x/2)];
- S = trapz(x,y)+ l; P) f% H0 D% l3 r
" u9 O" O& t- ]0 P7 U! m* ]1 z" i
( x$ J; n( {9 L
结果为：S = [1.9982 0.0000 1.9995] ) b7 N2 }& l: t! S2 l
由于选择的步距较大，为h＝π／30=0.1, 故得出的结果有较大的误差。其实可以将积分问题与样条插值技术相结合，给出 一 个能精确计算积分的MATLAB函数。（待补充） 例2：不同步长对积分结果的影响题目： 用定步长法求解积分
) u5 W1 x, [) s，并讨论不同步长对积分值的影响。 - 首先，绘制被积函数的图像：
1 k" r1 w7 N% R6 W6 H+ N
% Q, v- b3 s. F! K" N$ g X- x=[0:0.01:3*pi/2, 3*pi/2]; % //这样赋值能确保 3*pi/2 点被包含在内
- y=cos(15*x); plot(x,y)$ @# ^ W. J* _; H R0 ^
7 p+ g( ~6 N' [
- N, `& s; j. ?; h: N
* F3 x; }# x7 q* [
由图像观察出在求解区域内被积函数有很强的振荡。! j, G: F; z1 R @ m% w
/ J4 _7 C5 a7 T3 t+ D" i
- 对不同的步距 h = 0.1 , 0.01 , 0.001 , 0.0001 , 0.00001 , 0.000001 h= 0.1, 0.01, 0.001, 0.0001, 0.00001, 0.000001 h=0.1,0.01,0.001,0.0001,0.00001,0.000001 ,可以用下面的语句求出采用不同步长的积分近似结果。
! n# S3 |6 t& |4 a) b( i
- syms x, A=int(cos(15*x),0,3*pi/2) % //求取理论值为1/15
- h0=[0.1,0.01,0.001,0.0001,0.00001,0.000001]; v=[];
- for h=h0
- x = [0:h:3*pi/2, 3*pi/2]; y=cos(15*x);
- I = trapz(x,y);
- v = [v; h,I,A-I];
- end; ]! k, w) U1 c0 I5 c* Q7 ~& m# e! [
. j/ ?) E7 T" i( e/ |0 |- j
. U" D4 i: j' ~/ u
得出结果如下：
, l7 C5 C5 Q7 D5 g
5 g9 X. h& V; G8 S
2 [. @6 F' q$ J) |- \
2 `4 N3 @; b2 ]6 R
可见，随着步距 h h h的减小，计算精度逐渐增加。$ S V$ |8 V1 \5 _8 q
" q3 z& e6 V" j& I
5 `; O9 Z+ u' C, B8 Y6 u- n
9 L S& ~/ _3 H4 z T
5 a+ K( x. V0 P k8 S# b& p
3 b2 E9 r5 u& I% M; w w( g; ]6 ]+ A: M- h# [# X5 }$ O* k+ W' [& X( c
/ W5 N/ t. J" E+ l
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发表于 2021-2-2 10:25
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