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% o% e! c2 ]- b2 k目录, l2 D- D6 o6 R
总述9 u I, h" @8 z7 ?
函数调用格式
5 k; O! e @9 V* Z应用举例
, H) b y+ U& F例1：梯形法求积分
7 }' t3 _ B# G% J7 B8 |. S3 G例2：不同步长对积分结果的影响
. i1 a# P0 P2 e$ d% j2 g4 g5 Y: g- a5 V, m# O \& {4 P
总述; ]1 v+ v+ f0 W
" h: K+ O& f b: C 数值积分问题是传统数值分析课程中的重要内容。如果被积函数的数学表达式未知，则需要由实测数据通过梯形算法求出积分的近似值。本文将介绍被积函数的数学表达式未知时数值积分问题的求解方法，即已知数据点求积分。
& G& R( P7 ^0 E" E, o
, d" `* r- e1 g' V% u: ]$ z
" N" H7 Q" ^; z% y: x
$ q; _# [: e6 M0 _
. s3 s( y8 w- j2 O函数调用格式' B2 r [5 s4 r/ Q+ j6 ]
0 e5 k' N2 f( D
- S = trapz(x, y);! \% j* J" p9 h
8 P, a; T6 g& H b+ S& f
$ `! g2 K$ c V: Y& I& O应用举例/ H+ ?# S. A" k0 U
) Q' ]' r. U6 [4 k8 @例1：梯形法求积分% N# @# q' E0 e* A2 W- ]2 T- \
2 b% b; j* \; Y7 Y, R
6 c7 J) \; \. {6 \& a# Z5 \6 v1 E' u8 c9 v4 a
- x = [0:pi/30:pi]';
- y = [sin(x) cos(x) sin(x/2)];
- S = trapz(x,y)
. Z) g( c& w+ M+ E+ ~
5 z; P6 n( u5 e
: {7 R( \ g. E6 h2 W# n9 e结果为：S = [1.9982 0.0000 1.9995]
7 a5 {1 K) b5 `5 t- o
' X% @; z) n5 N% M' r: e由于选择的步距较大，为
, 故得出的结果有较大的误差。其实可以将积分问题与样条插值技术相结合，给出 一 个能精确计算积分的MATLAB函数。（待补充） i2 Z+ s4 z+ V: U& D, t7 M
- B2 ]( j2 }! h- x
例2：不同步长对积分结果的影响
' f) P; X8 x# I题目： 用定步长法求解积分
，并讨论不同步长对积分值的影响。" ]# i$ ~5 p! D
! y0 @7 m; B3 Z1 c# r m- N- 首先，绘制被积函数的图像：3 D) y1 P6 Q) o! l# j2 h
o, ~% d- p" o o* P0 T
7 I1 R/ j: ~, P& V6 w8 I8 l- x=[0:0.01:3*pi/2, 3*pi/2]; % //这样赋值能确保 3*pi/2 点被包含在内
- y=cos(15*x); plot(x,y)7 M: S7 r0 S0 h
$ {6 R' F1 T& j) u* Q! w6 l2 w* x
3 s7 w7 |3 v2 R5 r' @7 ]' m
" m0 g# }/ |, t+ U' V! S$ g9 i
: v$ a9 X0 a. c7 B% G由图像观察出在求解区域内被积函数有很强的振荡。
- W0 K9 ]/ n+ r2 w
% d p0 R, P) k7 }* A! h- 对不同的步距 h = 0.1 , 0.01 , 0.001 , 0.0001 , 0.00001 , 0.000001 h= 0.1, 0.01, 0.001, 0.0001, 0.00001, 0.000001 h=0.1,0.01,0.001,0.0001,0.00001,0.000001 ,可以用下面的语句求出采用不同步长的积分近似结果。
/ h$ M/ z3 ?( C( u8 p
- syms x, A=int(cos(15*x),0,3*pi/2) % //求取理论值为1/15
- h0=[0.1,0.01,0.001,0.0001,0.00001,0.000001]; v=[];
- for h=h0
- x = [0:h:3*pi/2, 3*pi/2]; y=cos(15*x);
- I = trapz(x,y);
- v = [v; h,I,A-I];
- end
# ^8 v2 q! {; M i
! D1 G. X2 }& r, j) L! d. u0 d
% P* E+ [/ F/ ^/ N
得出结果如下：% U) w& p8 L, q1 Y* `+ Q
C' [! G% x( U$ @ V' a7 _
~: |: z1 ~: l3 I5 k! ~
- O; J5 g7 g! M: \8 w可见，随着步距 h h h的减小，计算精度逐渐增加。0 {5 ]) O1 `! _* W
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发表于 2021-1-28 17:52
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