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非线性曲线拟合是已知输入向量xdata和输出向量ydata，并且知道输入与输出的函数关系为ydata=F(x, xdata)，但不知道系数向量x。今进行曲线拟合，求x使得输出的如下最小二乘表达式成立：' `" G. D5 o; d% I0 X5 S
A; X; Z% M9 [9 j3 Vmin Σ(F(x,xdatai)-ydatai)^2
2 A3 v' H" G' Q* C( V2 K+ e* Z; J( G+ @
9 D" `' E- w* { b8 ?3 c- L7 D j4 g7 Y$ ~' V) q
函数 lsqcurvefit
2 n: C! w' R' t' {' B
" w& a7 v$ B: {/ I4 u. c格式 x= lsqcurvefit(fun,x0,xdata,ydata)
$ _: R; K5 Y6 M* t+ G M; k- i" @8 _! I* Y
x = lsqcurvefit(fun,x0,xdata,ydata,lb,ub)
$ y# y0 {6 K7 J6 i7 S9 Q
" J0 k# g* \- _1 ox = lsqcurvefit(fun,x0,xdata,ydata,lb,ub,options)3 M0 z& N: V/ s/ R" t' A3 i1 I0 u8 ]& u
! S+ R7 F4 u$ I5 p[x,resnorm] = lsqcurvefit(…)
3 t% m) D) _% R) W" h. b2 H. ]. A& k- J! ` q# q; c o) F w7 N/ M+ }
[x,resnorm,residual] = lsqcurvefit(…)5 X; m0 _% j8 ?$ R0 P }
4 \' I4 m7 @, m) w
[x,resnorm,residual,exitflag] =lsqcurvefit(…)) M0 }1 T, o3 N1 E% Y5 U
* m# Z7 |, y) f% U! i2 b
[x,resnorm,residual,exitflag,output] =lsqcurvefit(…)8 u2 T0 p4 g0 B' \
8 i) k; o' [0 @! J) a) R6 j/ z* I[x,resnorm,residual,exitflag,output,lambda]= lsqcurvefit(…)- i# z7 E. z7 @2 T4 a7 e1 ^
7 _( W. r4 z# B' N# T9 d; ]/ ^ K[x,resnorm,residual,exitflag,output,lambda,jacobian]=lsqcurvefit(…)/ W( W7 [+ A( {$ I8 s& b
: w, B: y) }" K9 N! n4 u
参数说明：
( m3 K+ `' }0 S/ K. n. w' J! u+ P9 i ~$ f$ V& p
x0为初始解向量；xdata，ydata为满足关系ydata=F(x, xdata)的数据；2 \3 K% s9 n3 z( j3 X
- G" Z8 o% V$ e6 N6 ~ Nlb、ub为解向量的下界和上界lb≤x≤ub，若没有指定界，则lb=[ ]，ub=[ ]；
6 i6 W) F: |: w2 z8 O
- ~8 o2 g s2 y5 z3 \options为指定的优化参数；
( c( ~! _* D# ]( ~
/ M8 U, F5 E6 d3 _8 Q5 J* efun为待拟合函数，计算x处拟合函数值，其定义为 function F =myfun(x,xdata)
+ F4 N2 B! G: M: y# ?: |0 S% G( O: H/ x# R' X+ h7 o
resnorm=sum ((fun(x,xdata)-ydata).^2)，即在x处残差的平方和；' o. F. L& E, m. f" }& K
* j$ E1 D8 c' h7 {residual=fun(x,xdata)-ydata，即在x处的残差；
- u, N7 R- E- ]0 B- j+ k5 v% G, ~! r' f3 Z/ ?) f% q3 _
exitflag为终止迭代的条件；
3 K" N' Z2 a* t% ~
6 n' P. F: j( O1 poutput为输出的优化信息；
# U; [7 E4 M# j
( ?7 _: x$ z0 K4 c- G( @# plambda为解x处的Lagrange乘子；
5 x( }; I( j9 P' O1 s2 J& w% Q3 J
) I% q) E+ |2 J1 \' vjacobian为解x处拟合函数fun的jacobian矩阵。1 \0 d8 C5 I/ H$ U7 j, K% o
- w& Y% V) z: _) W+ c
* o- u% [% o! Y( x9 ]0 B! j6 u- x5 i( _+ [$ P: o9 W
例 求解如下最小二乘非线性拟合问题
& I; t7 e; O+ `% R" v' X/ E
" s9 H* l: g+ r0 e4 O$ i/ K- R0 ~已知输入向量xdata和输出向量ydata，且长度都是n，待拟合函数的表达式为0 B: p, J+ V2 J
* L7 V" S, u5 [/ x5 W
ydata(i)=x(1)-xdata(i)^2+x(2)-sin(xdata(i))+x(3)-xdata^3$ l9 s) I4 P- ~6 D+ g. o
7 W+ V' j7 W/ t0 l5 H5 x8 L
9 F- n2 S9 C4 e' p! b2 J; _: W2 q3 I7 w
即目标函数为min Σ(F(x,xdata(i))-ydata(i))^2! j$ }8 Q! D. g) S; A
/ `" ?9 \( ^: |' P q其中：F(x,xdata) = x(1)*xdata^2 +x(2)*sin(xdata) + x(3)*xdata^3
' A t' V4 i$ _, [* P, K- g) F: O: F! }4 p" t
初始解向量为x0=[0.3, 0.4, 0.1]，即表达式的 个参数[x(1),x(2),x(3)]。5 `! T) S4 F" g) l4 f$ H
8 ?1 a$ H; j$ g解：先建立拟合函数文件，并保存为myfun.m
& t& A; c" t" |4 m1 |4 r6 I4 a X' Q" A$ U5 A( ?2 \
function F = myfun(x,xdata)
6 v. \/ N4 F7 S8 S& v
- O* D" |6 N# n E5 U# `% r/ l. SF = x(1)*xdata.^2 + x(2)*sin(xdata) +x(3)*xdata.^3;4 U1 h; Y+ y" S" X
1 z% s, L3 G2 S) i
然后给出数据xdata和ydata/ f2 u: n! {2 s! p3 } p' x! j: j
" R0 ] H; ` h& Y% c. n>>xdata = [3.6 7.7 9.3 4.1 8.6 2.81.3 7.9 10.0 5.4];: |0 q" q k: P# k7 B' j2 r% Y
; h5 }' A5 S/ u$ |
>>ydata = [16.5 150.6 263.1 24.7208.5 9.9 2.7 163.9 325.0 54.3];; f! o! _' D- _% m$ g
7 V; _+ w7 t* k4 G2 Y; i
>>x0 = [10, 10, 10]; %初始估计值
- J5 @- \2 n$ q n9 r& v2 @ M. s& ^5 O2 M3 O& @
>>[x,resnorm] =lsqcurvefit(@myfun,x0,xdata,ydata)& v2 }" Y5 Q0 V1 }$ n
; {) a5 l3 W$ a! w( ?9 w \结果为： J. O: O! W! Q9 ]! k( i7 ~
i& @& I5 l$ \: G& W" HOptimization terminated successfully:& N; H3 @. e& [, u6 F
- N5 V S; I2 T3 B* t8 B
Relative function value changing by lessthan OPTIONS.TolFun3 R5 b, q' @& b8 Q( }# {9 \
/ N2 D2 C- d5 G* Qx = 0.2269 0.3385 0.3021- d; m4 E) y6 _$ C1 z2 j+ A" A
5 }& l7 E4 ?' H4 B=>即解出的系数最优估计值; A: y `. }% E7 e: Q4 U
( Z6 F( h2 Y7 M! y" ]resnorm = 6.2950, z0 i* p- E. r! H p
1 b5 P$ Q0 C( E2 A, x( N1 ?＝>在x解值处的目标最小二乘表达式值。即所谓残差。 |
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发表于 2020-7-17 17:30
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