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x
: b- C; I8 \& ]6 Y G现在MATLAB的Command Window中进行一组运算3 O8 W: m3 A8 G9 E2 J7 p0 Q
- >> 0.1+0.2-0.3
- ans =
- 5.5511e-17
- >> 0.1-0.3+0.2
- ans =
- 2.7756e-17
, J" K8 f6 f0 H, g( W
( G' ]; [& ^& X5 k ~% }7 e8 Z6 z
' X9 _4 ]: q& c* D2 `为什么上式的结果不为0呢？？且不同的运算顺序结果不一样呢？？下面我们就详细解释这个原因！
0 i* E6 L4 ~; l+ O- x) d; E
9 B1 H, |4 u* N0 g- r9 G在本教程之前推荐您先了解下《1985年IEEE发布了二进制浮点运算标准754-1985》。根据IEEE浮点数运算标准，我编写了两个简单的程序，用于ieee数值和double数值之间的转换。
4 d6 l9 ?$ ], `& }4 S/ U J- function [x_double,s,c,f]=ieee2double(x_ieee)
- % 将IEEE编码转换为双精度数据
- % x_double=(-1)^s*2^(c-1023)*(1+f)，双精度数据
- % x_ieee，IEEE编码
- % s，符号位，长度1
- % c，指数位，长度11
- % f，尾数位，长度52
- %
- s=bin2dec(x_ieee(1));
- c=bin2dec(x_ieee(2:12));
- m=bin2dec(x_ieee(13:64)');
- % 为了保证精度，使用符号运算
- f=sym('1/2').^(1:52)*m;
- x_double=(-1)^s*2^(c-1023)*(1+f);
h5 t8 x0 g7 d$ u3 P. r: |
6 J, @) a) g/ P1 A& l, e E' Y( f
9 |7 s- Y$ O% G. `
- function [x_ieee,s,c,f]=double2ieee(x_double)
- % 将双精度数据转换为IEEE编码
- % x_double=(-1)^s*2^(c-1023)*(1+f)，双精度数据
- % x_ieee，IEEE编码
- % s，符号位，长度1
- % c，指数位，长度11
- % f，尾数位，长度52
- if x_double>0
- s='0';
- else
- s='1';
- end
- n=floor(log2(x_double));
- c=dec2bin(n+1023,11);
- f=dec2bin(round((x_double/2^n-1)*2^52),52);
- x_ieee=[s,c,f];
, G* p, a4 Y) Y9 o% b
3 D! U2 N: X Q
' E. K$ ?1 G/ U4 ^2 ?7 f
利用上面的double2ieee函数尝试得到0.1的IEEE编码
; U2 k8 X+ l' V( O" X- >> x_double=0.1;
- >> x_ieee_01=double2ieee(x_double)
- x_ieee_01 =
- 0011111110111001100110011001100110011001100110011001100110011010
$ z/ F W1 D* G; y) d* j
6 h' T. l+ [' B$ R; ^: ?* n. m
8 _- ?& g6 [; L; X也就是说0.1的IEEE编码就是上面那一坨0和1（晕吧），其实这串二进制代表的真实数据略大于0.1，也就是说
* ]; I$ ]; v* G1 O8 [- IEEE(0011111110111001100110011001100110011001100110011001100110011001)
- <<br style="word-wrap: break-word; ">
- IEEE(0011111110111001100110011001100110011001100110011001100110011010)
8 s2 i, @4 J: C* S$ s
# f5 I7 A& n8 n1 Z
% g/ G" q2 N. t2 R' J( s傻子都知道计算机是二进制存储数据的，由于0.1没有精确的IEEE编码，根据就近一致原则，0.1采用的IEEE编码就采用最近的第二个编码。+ }9 [& H7 s$ k7 x2 l
# f( O( z3 Q7 q4 W现在讨论下上面两个编码到底代表什么数据呢？好，使用ieee2double()函数来测试下
; Z( h2 Y) c ?- >> x_double_01_left=ieee2double('0011111110111001100110011001100110011001100110011001100110011001')
- x_double_01_left =
- 7205759403792793/72057594037927936
- >> double(x_double_01_left)-0.1 % 看到没有，第一个IEEE编码和0.1还是有差距的
- ans =
- -1.3878e-17
- >> x_double_01_right=ieee2double('0011111110111001100110011001100110011001100110011001100110011010')
- x_double_01_right =
- 3602879701896397/36028797018963968
- >> double(x_double_01_right)-0.1 % 第二个IEEE编码和0.1就没有区别了，但是第二个IEEE编码也不是0.1的真实编码，而是距离最近的一个，换句话说0.1是没有准确的IEEE编码的，当然还有很多数据也没有准确的IEEE编码
- ans =
- 0
' i# ~2 l! }3 F% e
6 C' G7 S' V3 R3 U: ~$ p
9 v0 ]( v) e* ~7 [, Z' a
也就是说那一大串0和1对应于上面那两个分数（为了保留足够的精度，这里使用分数显示出来，如果直接采用小数显示，您不会看到区别的）！' w' O2 Y& C' z! j2 u5 P# z6 x
" b' N9 c n" e! ~同理可以得到0.2和0.3的IEEE编码，以及相应的IEEE编码代表的真实数值！" \1 O* B- A8 y# I& |2 h& ^/ r/ h
- % 0.1的编码转换
- >> x_ieee_01=double2ieee(0.1) % 0.1 IEEE编码
- x_ieee_01 =
- 0011111110111001100110011001100110011001100110011001100110011010
- >> x_double_01=ieee2double(x_ieee_01)
- x_double_01 =
- 3602879701896397/36028797018963968
- % 0.2的编码转换
- >> x_ieee_02=double2ieee(0.2) % 0.2 IEEE编码
- x_ieee_02 =
- 0011111111001001100110011001100110011001100110011001100110011010
- >> x_double_02=ieee2double(x_ieee_02)
- x_double_02 =
- 3602879701896397/18014398509481984
- % 0.3的编码转换
- >> x_ieee_03=double2ieee(0.3) % 0.3 IEEE编码
- x_ieee_03 =
- 0011111111010011001100110011001100110011001100110011001100110011
- >> x_double_03=ieee2double(x_ieee_03)
- x_double_03 =
- 5404319552844595/18014398509481984
+ J7 _, Z3 O7 X/ I' ?
8 f g. L5 ~) T+ k, v7 r8 N+ b5 x1 y1 |
! Y! F5 t; i: W6 z+ ^# j9 ^
现在模拟计算0.1+0.3-0.2的结果
8 Y; {! Z+ R6 I- >> x_double_01-x_double_03+x_double_02
- ans =
- 1/36028797018963968
- >> 1/36028797018963968
- ans =
- 2.7756e-17
- >> 0.1-0.3+0.2
- ans =
- 2.7756e-17+ j p( }3 t, \$ M. _: {
+ v0 c) B1 k9 e/ z4 i7 G1 q2 x5 R
8 N$ ^# P* j* M8 ~8 B o$ ^ t; x& x
也就是说在IEEE标准下，0.1+0.3-0.2的结果为1/36028797018963968≈2.7756e-17，显然这个不等于零！！# m$ Z. R' @2 @) l* o3 f1 e
9 s P3 f7 e$ I6 I* p6 Z" Y8 {接下来讨论下，为什么0.1-0.3+0.2和0.1+0.2-0.3的结果不一样？
+ z; d8 p( a8 X5 @. K. T- r0 t5 W6 \% Y# b9 x4 u S/ A6 d
这个主要是由于加法运算是左结合的，也就是说0.1-0.3+0.2是先计算0.1-0.3，得到-0.2；而0.1+0.2-0.3是先计算0.1+0.2，得到0.3。-0.2和0.3的IEEE编码当然是不同的，相应的误差也有区别，于是得到最后结果也就不同了。至于具体多少，大家可以使用本文提供的两个函数进行测试和推到下！ |
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发表于 2020-2-24 10:13
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