|
|
EDA365欢迎您登录！
您需要 登录 才可以下载或查看，没有帐号？注册
x
: w+ F+ v4 w$ D3 Y上篇讲了DFS和z变换之间的关系：MATLAB ------- 快来看看DFS 与 z 变换之间有什么关系" U& I0 U) i$ o3 F
" C0 B% ^4 g! q! f* P3 H$ h7 \
这篇博文接着看DFS 和 DTFT 之间的关系，文章同样是从我的其他博文中抽取处理的，目的就是怕这种显然而重要的知识点被淹没。) W1 o1 ]5 o- I
0 C) [& _9 @. J. D7 @为了后面讨论方便，这里给出DFS的系数公式（分析公式）：. l4 g6 l* a: I2 ?+ u
& B* u0 p$ N: w; F6 [
（1）# Y4 b/ p4 j: u! D) o, Y0 } O* c
3 P9 e& q' D' S& N& f$ x其中：* u* h8 t. ~6 |) l) N4 F
' v% R! ]5 W1 I
. r; V1 y$ \ E \1 V2 Q0 P7 y
" O; r( D6 E" ?0 a7 g, m& F综合公式：
: e' e, |6 s7 ^- `9 ]# F' V# L. [$ f& k: ~; h
（2）- O) X, Z, @( `( D1 l
E! b" k$ ]. `/ q: B % [+ ~' P) y# M" t/ g& j
为了方便后面讨论，给出z变换公式供使用。
( b$ m/ _7 `6 Q6 g) ^% P! S# E$ }& s- R* [4 G8 M0 ~
设 x(n) 为一有限长序列，长度为N，即，) ~ _9 Q5 ~% b4 N. f
. s1 y) U5 Q2 ]& b) W, q z. z
（3）- P0 d, I! A" _" [9 O# S
, h8 b' O, B8 p* m, m2 e0 ~那么，能求它的 z 变换为：! h" v' ]/ f4 E' C- h
（4）4 z/ A$ [5 L/ \* e, Y
) T% k$ }/ n5 \0 \0 z8 w X现在，以周期N，周期重复x(n)构造一个周期序列
，即, y: C% R9 H) L7 {
8 [5 W; P8 g5 b, Q. V
（5）3 q0 L* y5 }" A7 P, u' S$ y8 S
! m6 ?" Z K) h5 w" ]0 }7 @+ i
& G5 w# d0 H+ y8 E- u& F4 H! p
接着讨论DFS和DTFT的关系。
) P. i" a2 v5 }$ f& i: U: z) ^+ ]9 E% w+ j- Y
我们大概都知道DTFT和z变换之间的关系，DTFT是单位圆上的z变换。我们通过一个公式就能说清楚，如下：/ x3 H! A) N% B ^7 |0 V. u5 O
4 u8 R8 }* n0 I0 G! n
先给出DTFT的公式：/ |" {7 }% ?0 ~2 b% y
4 ]% i8 E7 ^/ k+ V% u0 Z$ c( \
（6）
Y3 u: N3 J2 L6 w
D8 h! x. Q8 B) O& P对比z变换的公式（4），不难看出：
# [6 Q2 I6 o3 y W+ s- l! E! j+ P" i9 Y( s# o
（7）
: k) H) v6 ~$ @. e8 U3 U
8 K5 @7 p8 V# Y1 J U为了避免某些人的抗议，我们不得不做出声明，这里都是针对有限长序列推导的公式，无论针对其他任何可行信号，推导的关系最后都是一样的。4 z& O$ D3 H: T6 Y
- m2 r7 v Q2 G" A; A+ T. j从（7）式可以看出，DTFT是单位圆上的z变换。
6 m' H% X8 X+ g$ f) D' z7 e3 Z9 F; F
上面又说了DFS和z变换的关系，关系是，DFS
代表了z变换 X(z)在单位圆上N个等间隔样本。: z- w$ t; C5 l$ m+ J
' A# p8 \8 {$ T1 h
结合z变换和DTFT之间的关系，我们是不是可以说DFS
是对DTFT
上的等间隔采样。采样间隔为
，下面我们正式推导二者间的关系。
2 p. g2 o6 j; Z
. {, H1 M) ^+ Y式（6）为:
; m Q! c+ Y4 N( _) {! k# F0 ?! Q( D7 z" V$ s, l. N* i; y
; f, x8 r* j, o3 z6 P- z' H |- g( K( M7 M+ [
DFS为：! r% \" f( g {8 ^; u4 L1 Y
- m; Z6 Z* l# i$ N+ f
8 \! ~' [0 { s: `: K, B" Q' y# q& {
. V* O# ^) H# ]
- j2 R; k5 _# o' ~; t
$ _8 g' ?4 `6 e
可以看出，5 E. _* A h9 d3 R8 b1 F3 J; i; N
4 v' d( g- L# R6 p* ~
（8）% s/ R9 L9 U5 a" I5 v8 g
: o% t4 m) c, `2 u: f; ^
令
* u/ J- L# S$ s& L! ^
4 M; j5 N4 t1 z( L# O
（9） & n/ a( C( b' B c6 l1 t- J8 p
1 t& T! y. q8 n6 I: D V
这样，
+ j2 ?4 ~, C Q r8 v4 j! E- \( C( X- n
（10）2 ]" K$ Z; ]; v8 _7 {9 ~1 ~
7 H1 w0 M' Y5 K/ o4 o/ B
这意味着 DFS 可以通过以
为间隔对DTFT均匀采样而得到。! Z4 `( t9 \0 g- T% A
! H( \$ ]/ r; `) |8 L" E
由z变换和DFTF之间关系：" C1 ~: I2 F" _: _. `
/ U4 E5 K# _9 ?( J
& s2 X/ r1 ~( k7 Z
7 j( _ @5 j# P以及式子（14）：* S% O k- S! s4 R
) t+ n4 d6 A& Z, x
( _2 x1 s6 @8 V' U/ F, o! F" S
+ C% T$ |8 f. q) O
可见，DFS 表示给出了一种在频域的采样机理；而这个在原理上类似于时域采样。
& ~5 J8 d0 H) Y q3 _1 E' A: Y! C4 b7 h+ L4 [& k8 h5 U
间隔
是在频域上的采样间隔，也称为频率分辨率。因为它告诉我们频率样本有多密集。$ [1 N. p R# C* t3 p
- o% n% [3 |' I) Y 4 F" a7 M6 U- ~. q3 x; ?
# }8 H0 ?3 {: v* y& k$ Y. |' v: n
3 j+ w3 y5 y$ H U
6 [/ C3 z _4 J" L
( ]& a/ s/ J5 @) S4 m& G; i( n
6 x% v4 B4 H0 @6 }' m
7 e$ ]; t# p H' \, F# e1 v |
|
/1 
发表于 2019-11-19 10:15
收藏
淘帖
支持！
反对！