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x
( C, ?0 x$ L! r o
1、向量组的秩：rank（A）
: r# ?" Y# }3 G( x6 e$ M1 i8 a# S, U2 }
2、判断线性相关性
2 \6 ]4 P M" V+ U
* k: O; s0 ^/ s- r! X! B; n一般步骤（1）输入向量组7 U7 B4 m$ i% ]/ [% x9 ^
5 a) ? j5 ?- J( }) T
（2）用A’将行向量转置为列向量
6 u. P t5 p! K* C! w! K* l
D: \% t g% y. O% ]·· （3）用rref（A）命令求秩$ Q: e0 L4 J) ?) V$ c+ l9 Z
g. C( P0 o. e
例：判断向量组a1=(1 2 0 1), a2=(1 3 0 -1), a3=(-1 -1 1 0)是否线性相关,并求秩。6 K! J8 Z8 p" E
0 p0 S1 \# f4 n$ x7 m' {2 L2 r) Z* c>> A=[1 2 0 1;1 3 0-1;-1 -1 1 0]; %输入矩阵
' C: M/ Z9 b4 Y W) A& u, Y9 D7 K8 R( C0 ?5 F& B
>>A=A’ % 将行向量转置为列向量再求秩
7 l* K0 W1 O- c' g4 P! @
7 F/ |# D7 ]1 F5 B5 |" \( ?>>rank(A) %求秩
1 p2 i, G1 q b+ [. f2 h6 ?7 V$ q
8 c" k& y" F% ]; ?Ans = 31 k' p6 K5 C, g( t; x& B% o
! V- f3 H" C2 y* x% H0 ? V
（注意：当rank（A）等于向量组个数时，线性无关，否则线性相关）+ r0 S9 j2 ?- U
. i T% P/ \9 q6 L 3、求向量组的极大无关组
4 |& Y! G9 G' b0 S/ Q: \$ C
" t+ W3 i. f7 V! i9 f 一般步骤：（1）输入向量组，并将其进行转置) b. Y" u( U: H9 L! A
& n* R) ?6 b R! E4 K1 ~0 ]8 |
（2）化为分数形式
0 p+ I* p8 H! u3 ]/ L# ]: a7 _* {" Z8 H, W
- |' u, N/ L: a; P （3）将向量化为行最简型
) t& T1 t7 N; R o) V1 z$ {* `9 m. e
3 U" K$ Y) c6 j* R# Z （4）对线性相关性进行判断
% ~# X# H. h) G; z
( K. ?& i# V% {5 R- m 注：将矩阵化为行最简型的命令为：rref（A）或者rrefmovie（A）
5 n# j6 b! I" w0 h; f1 \6 j& D* _' [
例1：求下列向量组的秩和一个极大线性无关组，并将其余向量用该极大无关组线性表示。+ I- J8 b4 }, H
" |8 u$ `. {3 aa1=(2 -1 3 5)，a2=(4 -3 1 3)，a3=(3 -2 3 4)，1 M$ p8 _! n3 H/ [$ v6 F# @
1 N2 [2 c! O [* s1 _a4=(4 -1 15 17)，a5=(7 -6 -7 0)( }2 Y, G- ^0 ?4 o/ W5 M
9 W, `* [) R1 Z3 R8 z! g3 y; n>> A=[2 -1 3 5;4 -3 1 3;3 -2 3 4;4 -1 15 17;7 -6 -7 0];3 A5 _9 w5 M4 x% c
) v3 h9 J K V9 T7 r1 p2 E>> A=A′ %将行向量转化为列向量进行运算
" g r' @- s7 Z. P& A5 F J+ W; K" ^7 E" P5 O" Z7 e' w
>> format rat %分数格式形式. ^% q. {. V; u$ O: |8 M: m+ V
# U) t- U3 O7 D
>> rref(A) %将A变换为行最简型, C; U+ d" m! o2 K. c9 G
) K# f" f4 S( N3 ~$ @3 r) P4 Z$ uans =
* e. m2 |6 q# D1 ]/ k$ @5 W* [5 K2 }) [5 O5 K: \/ N+ B+ K
1 0 0 2 1" c9 R* K& u5 n' F4 L. F, P* m% A
, H4 O; Z& x% t* z5 o' N9 ?8 U
0 1 0 -3 5
1 }3 Q. n' |' o1 {# `- c; c' z* z- ^8 i" o; \6 b
0 0 1 4 -5) ~/ G" s: V1 O4 ^& L
& A, X5 m4 ?1 D1 [
0 0 0 0 0
" u+ ~* N& K3 [4 p; a- `
1 C' u9 v8 {) F1 P 因为前三行的向量均不全为0，且第1，2，3列的均为1开头，所以a1，a2，a3为一个极大无关组。
* U6 y) x9 e( {; \) x, |- ^
; D+ R/ ?, u U8 U 7 w5 n, m/ V! N" T
7 L w5 a5 k: D+ m3 k
例2：求下列向量组的秩和一个极大线性无关组，并将其余向量用该极大无关组线性表示。
2 ~$ r& U3 I* ^a1=(1,-2,2,3)，a2=(-2,4,-1,3)，a3=(-1,2,0,3)，a4=(0,6,2,3)，a5=(2,-6,3,4) w& L, i M; }
( L) f; X2 `* I3 F5 P解：
( F1 E& f: ?" F1 m5 E
/ D* @* \; U* J7 [7 w7 q8 ^: u9 w9 GA=[1,-2,2,3;-2,4,-1,3;-1,2,0,3;0,6,2,3;2,-6,3,4]
* Q7 d _% s# Q! P+ P0 V
, R2 b1 H4 I9 o1 _0 p>> A=A′ %将行向量转化为列向量进行运算
5 E, A7 M, Y: _3 L; w7 m& E: t# n* b# Q5 T$ N. m: y) _1 { z
>> format rat %分数格式形式+ _- N& l3 t+ k" W- e3 H
) t/ {% R/ u) v, b$ V/ G) l E
>> rref(A) %将A变换为行最简型
) s8 w1 s& _3 V8 e# M- p4 R. \# e8 S% J9 @/ h4 H
8 b7 b- d, g5 F9 V2 z4 \$ K2 c. e! w. k
A1,a2,a4为一个线性无关组，a3，a5可用其其线性表示; i" x" [* b$ o$ r V5 Y8 O
2 x+ z% \. l0 h3 R+ y3、线性方程组的求解
: R: B: W" ?$ A" G. d$ U6 ^6 x* P/ ]/ X
（1）使用克莱姆法则求解
5 A& i) o- T5 h# B6 f9 A4 t2 a
2 ^8 E+ w6 A# W5 i
! \2 } o9 V! Y( {' g
. f& R5 @8 q6 ]" K: {2 E7 \
+ r0 ^% P" g3 u; l# |>> A=[2 1-5 1;1 -3 0 -6;0 2 -1 2;1 4 -7 6]; %输入系数矩阵$ d4 m1 T$ Y' p
9 J& J5 W8 n0 U( M; z>>D=det(A) %判断解的情况) i& a# m3 @- O
# ?) `5 c0 g( x9 z7 j4 y1 ~0 ]
D = 27 5 w2 Z$ O" ~$ L c, M/ p
$ x5 M; @% [3 H% c6 @- G5 F
>> C1=A;C2=A;C3=A;C4=A;b=[8;9;-5;0];
# ?* ?# n2 O2 H, b: j0 i
7 s% s( J; o4 j2 N' U( ~1 Y' ~3 }%将A赋值给不同变量9 X4 R9 M+ a1 M- E6 ^
$ {) S* X' L: C6 N, r3 m
>> C1(:,1)=b;D1=det(C1); %将某行替换为系数列# I A6 O# a c) G' O7 a
( A- l1 C) \! B0 Q! `
x1=D1/D %x求解x1
+ N3 x6 ?* j/ _/ V |; R: ^5 j8 a8 e: g: V
x1 = 3% x' S$ l5 H' \
$ m# I2 s4 H2 E
>> C2(:,2)=b;D2=det(C2);x2=D2/D
5 i( M3 O4 N- k+ l- z4 u5 E4 `
C- f+ Y& F' J6 M>> C3(:,3)=b;D3=det(C3);x3=D3/D 1 w: \ {- m+ W6 r; ~
0 \# c X/ Y/ q4 { O8 n>> C4(:,4)=b;D4=det(C4);x4=D4/D
, X" o+ N4 H( _9 c: C$ f) e; z5 |3 `9 P
（2）使用矩阵左除法求线性方程的解, Y7 Y1 g; I. l
: d# L5 w3 ?* [5 g3 u: r) C线性方程组AX=B的一个解为X=A\B。
; ^; W3 R; A- R! O( k- v+ G& }2 _6 R" m& G- e$ \0 N, n% T
例：利用左除法求解上题中线性方程组的解.
- v9 T6 J/ a. f* ]3 s3 O- r" g# _ e6 m" w8 ]1 g4 B
>> A=[2 1 -5 1;1 -3 0 -6;0 2 -1 2;1 4 -7 6];! Z$ S W3 } i; N
/ G/ E# `5 c; j9 [3 I; q>>rank(A)
% R0 S! X: E: N% K r0 C7 g% ?6 M$ {# p r4 D8 b7 l# u8 ]4 A
>> b=[8;9;-5;0];
# J5 g3 w( D0 ~: g3 A, ]
+ b# @3 d' k( F* L# b& X. K3 Q>> x=A\b %左除法
+ l/ v: J- g b. M! a6 }# D( K# ?8 W& R% b
x =8 f& \2 `( P; T9 v" _
! q" s0 l# m4 R o* {9 Q
3.0000/ i0 H& G+ j9 p, R3 X
2 \) n' G2 B& T b: O" w -4.0000; e- N* x7 c8 w+ i& {. y! a
, n" N. Q: k& `8 {0 ^3 P N/ x
-1.0000
: L; o1 _' |" c( F
) Z, [; t# K: }. C( t5 B 1.00000 W# h* }$ ]. n
0 j9 E' |* k7 g) e; w4 ~( b(3)利用矩阵的行（列）初等变换求线性方程组的通解
) @/ Z$ b Z. H6 Z+ h6 g: r" @$ P6 c1 t' t1 M3 q! [2 \ Q
基本步骤：（1）将线性方程组表示成增广矩阵的形式；
8 }; M2 L* M W6 {. ?
) Q4 S6 C/ n, U+ g' n（2）对增广矩阵实行初等变换，使增广矩阵转化为行阶梯形矩阵；
0 ~7 T- s C6 P3 o9 q
2 Z! K) K9 F6 {+ {# s（3）得到方程组的解。: B7 z+ ?; {4 m, @0 r
8 n# w0 P# c" F% o3 [
例：求解线性方程组
3 @, i# A- E" }0 B d0 Z2 s E- q
; B) c" @" K& y1 J. s
) ^$ P- i- y2 y( r( f9 z
9 v2 |" R0 Z! M( H
7 j* n6 `# w+ t( c1 t2 D8 F>>A=[1,1,1,1;0,1,-1,1;2,3,1,3]; %方程组的增广矩阵
/ \% u- Y ?, S% N
, i0 T6 Y5 [' ^! Y>>F=rref(A); %将方程组增广矩阵化为行阶梯形矩阵
9 F& f9 Y \2 X
7 J* u! I" c: z6 m' a! s9 V>>F %输出增广矩阵的行阶梯形矩阵
5 @$ @0 q8 s0 \, w( k$ H& z8 D h/ O6 i# U( o. A
F =
' Q+ {* Z7 A5 r0 ]: q5 g ]1 z' A* u) T* o3 m
1 0 2 0
/ ^& I0 ]+ G4 A" P" s: L. B/ S2 r* Z
2 d4 f M7 D; K0 B0 F( Q 0 1 -1 13 i, r! m0 p. e1 {1 w& o
8 T2 |3 E+ j7 C* M
0 0 0 0' P& S+ E; ^6 c6 A; L) n3 D
5 A9 w+ e8 s& {' ~4 E: b4 i由该阶梯形矩阵，可得方程组：x1=-2x3 x2=x3+14 I( }- |& c2 d0 h+ K% U
# f2 E9 e' f& p
6 K8 j4 a; j4 k) K( x' ?# W% X3 W7 |& P
（4）求非齐次线性方程组的通解
' m" k6 J+ y7 m5 t* a% v- \# q. k6 u" W- o* J9 O% C
非齐次线性方程组需要先判断是否有解，若有解，再进一步求通解。
9 Y6 }: p3 a* w
. F# U( a3 ~* X一般步骤为：
1 I7 C" Z( R3 g( ] A; g
4 m. a9 m6 o) v n5 F第一步：判断AX=b是否有解，若有解则进行第二步；（R(A)与R(A,b)比较，即比较系数矩阵的秩和增广矩阵的秩）
7 i" q3 a' m) F ]8 G8 G4 Y
: O- c7 C' j7 K第二步：求AX=b的一个特解；（矩阵除法）; `& m. S- t* ]9 Z4 }
' ^5 P1 G& }: F. O第三步：求AX=0的通解；（利用null命令）
% c' Z# s- v* t/ I( S0 @3 t1 @7 a, P8 [4 O
第四步：AX=b的通解：AX=0的通解+AX=b的一个特解。
8 d+ w' p# V' {
# _/ W% r( L6 E% A+ T7 e$ l2 u例：判断方程组6 J6 D+ ^% P" N7 n: W
3 F5 Y6 j4 W1 \4 L$ N# @& f8 M3 v
%第一步：判断系数矩阵与增广矩阵的秩
* \7 j" b) |- t ~7 g0 ]+ }
5 z3 i, j+ V/ c>> A=[1 -1 1 -1;-1 1 1 -1;2 -2 -1 1]; %系数矩阵A
$ p9 q3 a8 ~" X" d0 a1 l& D7 y7 M/ ]' @0 N& [
>> b=[1;1;-1]; %常数b
1 ]- H' i' W$ Q; ^ ?" F% M+ Z' ^: w& _4 J8 Y7 g
>> rank(A) %系数矩阵的秩
- V8 I& b) M+ T+ K5 w7 l0 r4 k+ p$ C# W& A
ans = {5 C% b" E' z5 }
! ]+ T4 d3 s% a# f, B3 P! S
2
5 _1 |+ p! L5 U# d2 R& a. j! V1 ] z) L
>> rank([A,b]) %增广矩阵的秩
. ?4 Z4 g% s e+ Q; F3 d- V, V( Q4 e0 T' b7 Q
ans =+ {" ~. v. N9 e, B! G# [% J0 }
$ T, K J3 C2 s; O* J { 2/ x7 e1 e+ ]: \* o
% ?& D& O4 P) h5 @. c%求通解: |0 |2 O9 T* K
- V5 ^1 R9 m- r1 ?3 O
化行最简形，用rref命令' y3 f1 ?" e' ~1 j7 w/ R
) |: `* J1 r Q>> rref([A,b])
! ^" k7 _, l: K$ a
7 i& s5 A5 ?; ?5 g6 vans =' T8 H% ]4 ~6 Q. t+ a. f+ w
' Y/ j. c! a/ |- Y7 {
1 -1 0 0 0
- {$ C' g$ k) w% _( [/ r h8 Z/ a5 u/ p/ l0 e9 Z6 w
0 0 1 -1 1% i) B6 k8 p @9 w) s! g
* g9 y" W; s0 d6 j) } j 0 0 0 0 02 s- S$ E& z- x b% Y3 v. U3 T
; L$ V. n5 [, T( y) \. O$ b6 [
取x2,x4为自由变量,从而通解为：x1=x2,x3=x4+1
, [$ S0 n" o/ [4 C9 E" D! o, C z
2 n" G5 z3 K; V! t& A1 Q（2）先求出特解及导出组的基础解系, 用命令null，例如：
9 v& [2 `& D" Z( z- s6 I: }* y+ o$ L+ z
>>x0=A\b %方程组的一个特解1 u* U3 k6 F" w' d) }
3 C" Y. `; ]% D% ^. K
x0 =
# M8 g9 i G% u Q2 U, N+ g) c6 u" \. [, R) ^9 i1 Q- @9 m! ]
0
' f2 q K v6 w# i0 t
2 U( m$ R1 G3 |) i" f) H0 g# K 0
$ V: w; |) ?5 b1 P0 B* \' g# G, M5 k# j9 V
1) a) M7 C; s2 [
6 \$ n. c' P% G3 g, ^3 Y; N- q
0, L ?; S2 I4 ]5 J
' L) [/ Z* u( T3 e8 q" J>>x1=null(A) %求导出组的基础解系
& \) v6 `( r3 @& Q2 y# i. I- B- L) m. C
x1 =
! T0 d5 {& s1 {& @5 O; ^, K# D1 g3 B* B s. I
-0.7071 01 F5 q( k0 V& ?8 C
7 y7 J0 K" r I4 q C
-0.7071 0
/ I ?" @- M0 _
6 c J6 `0 L+ O# a3 r* j -0.0000 0.7071
2 v1 R5 _- `0 y L8 c0 e) C9 ~% Q
( T; C. q( r0 R' W: G -0.0000 0.7071' o% _+ P( V# q$ N& A4 }
/ O0 y" e! V& _% z, |/ V故原方程组的通解为
7 i% m: E8 Z. P' g: z& E! O
7 L6 Z3 X: v0 r, d( s, b3 @(x1,x2,x3,x4)=(0,0,1,0)+c1(-0.7071,-0.7071,0,0) +c2(0,0, 0.7071, 0.7071),c1,c2为任意常数.
6 ^, M+ M1 C3 j- q* F4 D( Y' y% l1 \0 [, b+ @) D
null是用来求齐次线性方程组的基础解系的，加上'r'则求出的是一组最小正整数解，如果不加，则求出的是解空间的规范正交基。(x1=null(A,'r'))
7 f: q5 |% _: I! \0 f |
|
/1 
发表于 2021-9-29 10:50
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