|
|
EDA365欢迎您登录！
您需要 登录 才可以下载或查看，没有帐号？注册
x
! j8 k# S7 t4 r& ^/ V9 {8 `4 C$ I/ w/ ~
离散傅里叶变换（DFT）讨论的对象是有限长序列
，而与有限长序列
相关联的是其周期重复（延拓）（周期为N）而形成的周期序列
，二者之间的关系是：
5 j8 F Z0 n( _0 x/ x2 N1 k" y! V- }) D5 t/ k
(1)7 }0 M9 ~: D1 e! A2 B0 ^# z) ~
: _. X6 f p/ x a2 P m! [4 n
(2): }$ w, @! j4 k
3 M* Q2 ]# m1 m) D R/ ~1 \
5 r0 b* Z2 _4 u! D4 B" W7 [
4 ?' R9 A, N0 l2 ^8 G周期序列
的离散傅里叶级数(DFS)的系数
本身是一个周期为N的周期序列。
l* Y. a1 l8 G
/ a" h, e: N; u0 ^7 a' p6 P& Q为了保持时域与频域之间的对偶性，将把与有限长序列x[n]相联系的傅里叶级数系数选取为与
的一个周期相对应的有限长序列
。
% T& O. t! c9 W# y: b, r6 ?9 x# f& K8 s1 k9 i
这个有限长序列
称为离散傅里叶变换（DFT）。& e6 x5 ^: E! ^; i6 ^
( s1 w9 O+ j; l2 V/ f因此DFT，
与DFS系数
有如下的关系：
6 ?! J5 V& f G( F% T1 y2 M! j- |2 d! ~
(3)* _6 \2 d+ a5 q$ H/ m; [
/ a; V2 C# J5 e1 b u1 z
(4)
1 s4 X" s, F5 [/ V4 G M8 [7 g2 W/ n3 n4 V: f: V. {
我们都知道离散时间序列的傅里叶级数表示以及DFS系数为：
, _8 p+ f6 e; q8 L+ |9 Q- s
0 H: f: Q1 H: _% R. w
(5)
& |. E% g8 W# `* h; [
1 j3 P0 z4 d/ `
(6)% V M, o+ f. y0 M9 x k
; x( k9 x' r7 u% R0 J在上式中，
(7)" |# ^4 Q! n8 p/ Y+ Z- r* P( m( R6 a
' U3 F# H9 N, v0 x. v1 L6 b
由于对于离散傅里叶变换（DFT）只涉及有限长序列，也就是0到N-1这一区间，所以离散傅里叶变换（DFT）可以表示为：4 Q% z; V) M" V! h2 ^. ^% E0 a
) t! H# n, ~8 m+ w2 p: x! H
分析式：9 P" Z) m0 l' F% }/ \5 D7 C
9 e6 ^% N- r8 X" z: ^: u
（8）' M+ R' ^3 [- V! Y( z% P/ x
' L* b/ @% s* x9 \+ |! r合成式：
$ p/ D8 m2 T6 T) ~4 W4 L- G
1 I" c4 E' `/ j A3 F* ?
（9）1 C% u# ?2 ]( e% a) r# h
5 T8 R) \# H1 k- v' k% _也就是说，这意味着一个事实，对于在区间
之外的k，
等于0。
) l+ [5 B1 Q% f$ B/ R9 Z- o" a& O" Q# W' b; F7 }
综上内容，这里有一个简短的总结：* |4 S6 |5 N7 r0 ^5 n- j
8 @7 @/ J5 a6 j% d3 ]2 _0 v RDFT针对地是有限长序列，是对有限长序列的离散傅里叶变换，它的表示式为一个周期的傅里叶级数系数。' h) S5 n6 q. Z/ v! f5 J% p
9 d1 A+ C( F2 M$ S7 ?# T/ Y8 Y5 D这源于有限长序列与周期序列之间的紧密关系，也就造就了周期序列DFS与DFT之间的紧密关系。
: F0 J# s3 p9 w; \8 Q, S6 t8 C. D8 X) U& |
6 \8 y$ y7 \1 P
9 i% L+ C0 i5 s2 @! o我们一起来理解下这段话：9 j6 S& Y$ }; h- f. V$ d3 }2 l" k
1 `" H) V7 [6 B& R+ |
对于有限长序列用（8）、（9）来改写（5）、（6），并没有消除固有的周期性。! O$ J2 s) K2 e& _) w) C
# z; A; i) `8 M如同DFS一样，DFT的
等于周期序列的傅里叶变换
的采样，并且若对于在区间
之外的n值来计算（9）式，其结果并不为0，而是x[n]的周期延拓。固有的周期性总是存在的。
# d, F) O }! W0 Q+ a6 m
! n( E% I1 Y' h4 o2 n( F7 O' n: {在定义DFT表达式时，仅仅认为，感兴趣的x[n]的值只是在区间内，因为
（9）式只需要这些值。$ b* A* `) r8 L. I
) V* M6 L8 Y5 X
q% c/ H0 q6 e. i1 E. u! r3 @6 j, f
|
|
/1 
发表于 2021-3-8 10:27
收藏
淘帖
支持！
反对！