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本帖最后由 mytomorrow 于 2021-2-25 18:47 编辑 8 }+ M! P- ?7 Z6 x+ H
2 Z* y" @; e5 j$ [% _上篇（对离散序列的傅里叶分析大总结(一)）的最后讨论了有限长序列与周期序列之间的关系，首先给出了有限长序列以及由其构成的周期序列之间的关系，具体参看，得出的结论是：* z B8 W1 R. @- \9 q
& f1 y; }" g+ T2 [/ y/ [+ W Z
; I; l, B/ U# g' [7 d+ J
7 D( h: N% \( u+ X# a) Q今天的主题：$ v( O1 o' J# g7 D& c
今天的主题讨论了非周期序列与周期序列之间的更一般的关系：) {" q% \) c3 O& S
8 G) e+ ]6 [8 B1 a' G0 \6 V7 O' [. m先给出非周期有限长序列以及其DTFT，然后对其傅里叶变换（DTFT）进行等间隔采样，等间隔采样后的序列的逆变换对应的序列是什么样的呢？- d" J; A$ @; P2 L1 `
, [) m; ~2 A) y" q' W7 U
是不是有限长序列的周期延拓？# k7 o) M# N( d3 X! `. @
3 ~/ V; h5 U4 q5 R& S看下面的分析：8 K9 S8 k+ j3 Q; `2 |$ \8 B
" ~! Z2 ?3 A! d3 G1 {4 p
6 I$ E" t6 n# y+ G+ F+ J c
, _8 H% @7 O" l# F: d: {
/ R( Q6 {$ n6 P; K3 s3 O7 }/ |
U5 d+ Q% u; G6 y1 F
3 }* t' T9 s! }8 _8 s% |" T5 c, s2 \6 b5 o
4 ]. O5 P# \. c5 H2 k可见，是一个周期延拓关系，延拓周期为N。3 [# o0 W. S0 _
& Q# E% c! {. f9 y
有意义的举例讨论：1 k6 p8 P3 t+ e5 v1 a
下面再给出一个十分有意思的讨论：
* l6 u: K2 j6 T$ o# E! X8 U, R1 |; U) B) F; C( k
情形一：6 o7 U) r3 q9 J) `4 `% M7 k
在下图中，x[n]是长度为9的序列，对其进行傅里叶变换（DTFT）得到
，对
进行等间隔采样，间隔为
，取N=12，也就是间隔为
，得到采样后的序列为
，该序列对应的时域波形为
下图（b），也就是对x[n]的周期延拓，周期为12。
* J% t9 ^6 S$ J: ~3 v4 i# }) I
0 X: b6 k. L$ \' X" R8 }7 |
0 D9 d0 a5 H/ Q& y: V7 ~8 w
& M' e; d" _3 f- ?
& _, m$ o5 _7 y' z情形二：# Z% ^3 W0 A: b0 j9 m( P
同样是这个有限长序列x[n]：
& e/ z2 M8 v1 Y% ]
6 w' B% l9 W3 @2 X
& s( R3 [! f9 }& ?5 E2 E r8 ^* {* U* D8 @8 A7 \1 h
当N=7的时候，对应的
为：
- o3 |) j' ?' {0 P e8 M. T9 K- a) {
, c% s% M% v1 d- D( D) Q/ T" j {: d) U4 r8 ?. A+ z
可见，发生了混叠现象。
+ J- a' O2 N2 E& W$ a9 L1 |" B- Y% T8 V" `7 N# p9 p( l- ^% T
下面对其进行解释：
! d4 m/ u* y9 Y3 J* |/ f" ]
d% p5 ^, z" O8 x0 R* T1 j I情形一的情况，
的一个周期是x[n]，这是没有发生混叠的情况，但对于情形二，
的一个周期就不再等于x[n]了，这是由于时域波形x[n]周期延拓后发生了混叠。
) W# t4 R+ }2 q E m0 j8 L8 A! H; a' q
尽管如此，下式依然成立：
0 e5 s: r C4 x+ g! @
. w& J; ?' Z r' C1 ~- |+ \
' k; L# Y$ i3 v: g4 i# W- \ U
# v, z% l1 c% n& _
也就是说在这两种情况下，
的DFS系数都是x[n]的傅里叶变换在频率
整数倍的等间隔点上的采样值。% Q" o7 W7 }, \' w4 T4 k) Z
* F7 R' t+ o* ^
对于情形一，原来的序列x[n]可以从
中抽取一个周期而恢复。7 h( Y1 T% w) d! m0 a
" _& b- I x8 v% ~同样，傅里叶变换
也可以从频率上以
等间隔地采样来恢复。5 C$ L; S& Z# }* Z# [7 ?( |! B
$ O. |$ X2 x' b0 S d0 }0 _与之相反，对于情形二，x[n]不能用取出
的一个周期的方法来恢复。* ]* e' ]0 }' }, P, ~ ^
. [% E/ w8 [% w" Y1 C; h% A
类似地，如果采样间隔只有
，
也不能由它的采样来恢复。2 k+ ]4 z6 `0 o; v# G
3 ?. P3 V, ^! f8 x6 N- A' Y
实际上，情形一说明的情况是，已经用足够小的间隔（在频率上）对x[n]的傅里叶变换采样，以便能够由这些样本来恢复该变换。而情形二，表示一种对傅里叶变换欠采样的情况。
0 `# E& [! w: \2 I. n7 C' i# F' V1 C% M/ V; A6 _) S
在欠采样的情况下，
与
的一个周期之间的关系可以认为是时域产生混叠的一种形式。
6 p* A5 `9 [5 e' Z1 X1 m: I$ ?. w/ n5 ]7 l) A
显然，只要
为有限长，时域混叠就可以避免，正如信号的傅里叶变换只要是带宽有限的，其频域混叠也可以避免。
8 d$ h. x0 z/ g+ F' u1 W1 T2 t9 A1 S1 V. S) T/ F5 _5 @$ B
( g, @, o# }7 S1 }
最重要的结论：# ~/ E4 N3 b3 B3 }8 X* n3 O
从上面的讨论中，我们已经看出：
% _# W0 {. Z; @! `6 M" S" d. o/ }# Z5 i8 m% b# i E( o
1 A1 M, d8 }! g
3 X9 D _3 E V" [4 C2 F重磅内容：7 X! H7 s" f& |
, Y ~! u: W8 q/ V3 f& H2 c5 E
3 P7 v) y) O. N& V2 Y
1 Z" A8 O( l# u$ y E, c% `在推导、讨论和应用DFT时，我们应该始终记住：通过傅里叶变换的采样值来表示，实际上是利用一个周期序列来表示有限长序列，该周期序列的一个周期正是要表示的有限长序列。
4 i- z# z2 k( @" g+ z, {. n* |$ y2 C3 L+ y2 q. D3 n) O6 |; ?( Z0 J5 t
& I. p8 L: H! W
, N7 A* l. z; U# ?+ A' u. }7 @
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发表于 2021-2-25 18:45
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