|
|
EDA365欢迎您登录！
您需要 登录 才可以下载或查看，没有帐号？注册
x
$ w0 {/ u/ K& l {5 O; g4 e+ N如果被积函数的数学表达式已知，但解析解不易求，可使用数值积分的方法求解积分。9 S2 W+ c; Y# f# k& K( S
目录' n2 X5 b5 u- A2 o8 q1 q9 e2 B
函数调用格式7 C k* c4 s w# _
应用举例
, d9 q- I- O9 _2 ?% N$ x例1：求解数值解并检验其精度) S) O+ c" _# c2 _- f. F( R- W8 M8 [
例2：分段函数积分5 }8 d R1 B0 h6 p: c
例3：与梯形法比较
" _" U/ S8 j) f$ R; X例4：大范围积分
6 y, K, F3 E% n0 K& m例5：广义积分的数值计算. P( B; b& r. t5 T* t
例6：含参函数数值积分1 B* X( a. W1 ~! L
, ]* Y! N! J5 @: V2 {0 ]- H8 I" X' X& ^) R" d& Y9 X
函数调用格式# N# d7 c0 {! _( n2 w0 V8 }6 h1 l
, M3 U9 A9 ?; H7 \6 N
: d5 t5 s2 O7 t
7 H: _) x% B: v3 o) O% j: R- C2 @ b# O& ]
应用举例+ C- h3 Q) |/ q& M$ W. f
例1：求解数值解并检验其精度
( X4 j( u; f7 u2 S! E+ b计算积分2 D- W U! e1 Z8 @, E5 N& Q0 H2 ^$ o
. |" C8 }4 X1 A- H0 A: k5 i3 x
0 {& V# e3 }/ l# S' @- f = @(x) 2/sqrt(pi)*exp(-x.^2); % //匿名函数
- y = integral(f,0,1.5) % //数值求解- _' L& v/ [; {: T L
M+ z: Y/ j0 r( s, Y
结果为 y=0.966105146475312 J" k7 Q. J. y/ N5 u- s1 v+ @
5 r5 V& N% L p/ k9 |求解解析解：
+ \ A2 ?! _7 e* osyms x, y0=vpa(int(2/sqrt(pi)*exp(-x^2),0,1.5),60)
9 D; Q) l) x: f% t& L3 J+ n2 ?结果为：y0=0.96610514647531
" S% i% s: Q* r5 O3 I
1 t# w9 p. |/ i- {结论：可以看出，默认选项下数值解函数integral()便可保证高精度的数值解。
8 D- F+ R* C* w+ u! J
' i9 D a/ o% d8 k, e& Z2 p3 p; s7 `: v8 u1 n
例2：分段函数积分
- i' M) M! U& o3 x8 d# g; h" s5 u3 \- i( r
给定如下分段函数：6 r2 J% M7 n( w' U i5 M# n7 d! l
# ^ d1 ~! p7 c6 B: Q. f, I计算积分值
。8 l t. P- j8 H$ c: B% X9 Q
) p( N" Z+ W, O+ w, s
- 绘制 f ( x )填充图+ @0 Z0 M: v! g- |; |# V
- x=[0:0.01:2, 2+eps:0.01:4,4];
- y=exp(x.^2).*(x<=2)+80./(4-sin(16*pi*x)).*(x>2);
- x=[eps,x,4-eps]; y=[0,y,0]; fill(x,y,'g') %//绘制填充图& k( D$ d. F5 @+ ^. S3 [ C6 ~
& E1 d7 T" t5 w' N
/ n4 V9 m: r D3 `7 m l' Q
7 _9 n) u* @2 [0 [. R. _9 U# b# y
/ ~, A( O' e; t: N0 p- 求解与验证
( w$ u) h X5 \! `: b4 a# e8 K
6 Z6 Y7 R- Q9 P ?: h' [- G6 A" U( T
- f = @(x) exp(x.^2).*(x<=2)+80./(4-sin(16*pi*x)).*(x>2);
- I1 = integral(f,0,4) %//数值解
- I2 = integral(f,0,4,'RelTol',1e-20) %//提高精度
- syms x
- f = piecewise( x<=2, exp(x^2), x>2, 80/(4-sin(16*pi*x)) );
- I0 = vpa(int(f,x,0,4)) %//解析解/ X0 a, c$ F* \' K& Z- a: {
5 d/ B# n% L: T. j- o+ {- B
1 g7 c6 G9 q+ c! c4 T8 l结果为：' {$ ?4 q0 ^: B, n" B( Z+ ?
! }% p8 T/ I6 N9 _3 H$ n
7 c) I `) J. \' Q/ J
& f" G, H; G. R4 O2 [* O
' w: k' ~# \# j1 I7 @4 m! K! z例3：与梯形法比较. Q5 i( u9 i0 w
2 L# S9 S3 V7 Y* C4 W9 Z重新计算积分3 {( F4 B" L) D$ O0 `$ D- ~
( r% X" K5 O F" k1 t
8 Q# ?5 v# [% h% e$ X& J, O& K
- 梯形法求解链接
- 数值求解：
7 a. q5 _% b1 f1 W! ]' _
- f = @(x) cos(15*x);
- S=integral(f,0,3*pi/2,'RelTol',1e-20). _5 J5 w( K) c
U" T: q2 N* I) O9 m" ]7 K
& ~& A, S- a5 p# e" x% u9 q. U
结论：和梯形法相比，速度和精度明显提高。2 P8 ?6 {/ T5 y
, w6 |5 S; X+ o5 X! `
& O/ Q2 u4 o2 N: U9 g' b2 Q
例4：大范围积分% H% i0 ^3 U5 `' ~1 M* h
4 P$ f; R/ Q/ E; S/ \' S: I8 \计算积分
; K& j4 A) |" l& @3 z+ d
: W! a6 {* f% o% u, Z) J# @% J5 p5 P. Y- ^4 f! v! Z6 G4 O
- f = @(x)cos(15*x);
- I1 = integral(f,0,100,'RelTol',1e-20) %//数值解
- syms x
- I0 = int(cos(15*x),x,0,100); vpa(I0) %//解析解) A0 P" m0 D" d Z7 _' t
# z) v+ V3 I: R/ r5 ~+ R! F1 f ] k( F, i( f' d& v
解析解： I 0 = − 0.0662601304604435642749282413033069 a/ @+ e5 U0 }: Z7 T
数值解： I 1 = − 0.066260130460282923303694246897066. Z: I/ T+ @# w J( x
( c) x! G0 s1 V, U: [5 k% i, K3 X# M
例5：广义积分的数值计算
6 X' @1 y( O6 B& ]( U" j; o) I0 r计算 f% j" @+ r$ H* g9 ^) ~8 b
- H3 d8 F$ x2 J, b, g
+ g7 S3 j$ s8 X- f = @(x) exp(-x.^2);
- I1 = integral(f,0,inf,'RelTol',1e-20) %//数值解
- syms x
- I0 = int(exp(-x^2),0,inf); vpa(I0) %//解析解
! x1 L" P' P* J+ m, H9 m! [1 O r
( V1 h5 x2 y( e& m2 Z6 L9 n+ ~& s* }4 Q) ^- u
解析解： I 0 = 0.88622692545275801364908374167057* s H( n9 t2 k ^' L8 K+ D5 ^
数值解： I 1 = 0.88622692545275805198201624079957
* X# ~' Y$ D' Z! ]: t5 v
' Y: e+ t/ {$ x. z5 P# B9 Z
" n3 w% S; b! N1 c例6：含参函数数值积分2 K- |0 Y+ d& ]* ?
: N/ ^8 @, d& E6 c+ I' ~
绘制积分函数
曲线5 I) y: _2 m1 r! n
3 _* R2 ]% m/ s6 C% E* ]+ f* h: g! V* S
- a = 0:0.1:4;
- f = @(x)exp(-a*x.^2).*sin(a.^2*x);
- I = integral(f,0,inf,'RelTol',1e-20,'ArrayValued',true);
- plot(a,I), xlabel('\alpha'), ylabel('I(\alpha)')& e( F1 D: R+ J7 ]
$ @7 P6 W1 W1 W* U: b2 C9 v- d! v( V4 n5 a% t# z9 Q$ @% u
3 _7 m- ^$ H. _* F% d7 b$ |5 f+ _# E" b- V4 f
+ }) z# e0 x( n T) M4 C |
|
/1 
发表于 2021-2-5 10:20
收藏
淘帖
支持！
反对！