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# ~9 N2 S5 O a8 t* c+ |目录
3 G) |) D5 |7 w总述7 h" i; O0 c6 ]* G" M8 R. n, H& ~
函数调用格式) U$ a9 L' N7 P- D+ T; t, {5 M1 P
应用举例
# R6 T) u4 ]& J" b" R% U例1：梯形法求积分9 ]! `4 Q7 C2 K/ i( ~" d2 i2 |
例2：不同步长对积分结果的影响
/ ^3 t* o) A# s7 Y6 [! Z) ^0 N( A$ C. Z6 i2 c
总述
/ a8 E! l4 R7 \4 Z
1 A+ }; f }- Z* I" N1 L' {. e 数值积分问题是传统数值分析课程中的重要内容。如果被积函数的数学表达式未知，则需要由实测数据通过梯形算法求出积分的近似值。本文将介绍被积函数的数学表达式未知时数值积分问题的求解方法，即已知数据点求积分。, T# W+ j5 Z+ V; e* ~' u3 k2 |
& ?4 o/ w- s' K( J
' Z* J* b5 v1 s0 s8 H/ T' `2 H+ e, r
& s, p" b0 s% F1 b
函数调用格式' i5 o: x+ u' u3 B1 A& u
3 v4 P1 ~$ k3 _! b+ S2 g) {' v- S = trapz(x, y);
4 I1 q2 Y2 j/ C f& t g
3 b* T, Z! z) n1 }
: Z% V9 _( p+ L2 q0 Q' @
应用举例/ b7 r/ C! ]" I6 F' F
- n" w* k6 \ b; _, E: J$ O! E
例1：梯形法求积分5 B* D: V/ w3 }1 m# y4 ~
7 N X! [) ~) \2 } a
/ @, A( E: E5 Q7 t0 X J
+ e6 h* z$ ~+ a/ M# [- x = [0:pi/30:pi]';
- y = [sin(x) cos(x) sin(x/2)];
- S = trapz(x,y)" o. b6 c% B) B' U
6 P( ?( U! t3 A' O. s6 {
, _' N( z+ B U) w1 }结果为：S = [1.9982 0.0000 1.9995]- j1 Z0 U% J8 z9 V
! L! f/ N2 H# E8 |. }由于选择的步距较大，为
, 故得出的结果有较大的误差。其实可以将积分问题与样条插值技术相结合，给出 一 个能精确计算积分的MATLAB函数。（待补充）0 |3 t+ M% ?( h, s7 K8 L: B5 z
% `% Z, A: w" y. v" p6 m' `
例2：不同步长对积分结果的影响+ {/ q5 r* d, y$ P% m8 N. t; m
题目： 用定步长法求解积分
，并讨论不同步长对积分值的影响。) Y2 J0 d! c4 W# E% L* b
5 u% B I% o9 }/ U7 E- 首先，绘制被积函数的图像：
8 l. H+ U+ _7 j/ Q% J
3 U6 ]. i1 K8 v& A2 G9 D4 f! y" f8 ?4 ^( ~ A6 E7 D" Q u# Y t" Q
- x=[0:0.01:3*pi/2, 3*pi/2]; % //这样赋值能确保 3*pi/2 点被包含在内
- y=cos(15*x); plot(x,y)
, s8 ~. }% {* M% f9 S
7 b9 w/ U5 d( l3 \: ^
1 p( u8 i2 Q' b b. J# e, Y4 D( f
5 { {) @$ v4 y9 F2 c/ Y* F
; R9 s. b! _0 D/ \由图像观察出在求解区域内被积函数有很强的振荡。3 @6 p- e1 `0 y0 Y! c
# L: h. \. A% h( d) B- 对不同的步距 h = 0.1 , 0.01 , 0.001 , 0.0001 , 0.00001 , 0.000001 h= 0.1, 0.01, 0.001, 0.0001, 0.00001, 0.000001 h=0.1,0.01,0.001,0.0001,0.00001,0.000001 ,可以用下面的语句求出采用不同步长的积分近似结果。
% u" Z+ @* A, m, A5 s
- syms x, A=int(cos(15*x),0,3*pi/2) % //求取理论值为1/15
- h0=[0.1,0.01,0.001,0.0001,0.00001,0.000001]; v=[];
- for h=h0
- x = [0:h:3*pi/2, 3*pi/2]; y=cos(15*x);
- I = trapz(x,y);
- v = [v; h,I,A-I];
- end) q7 H# ^/ [) x- d, k5 I
/ z6 |/ z) E7 l+ `- B7 i8 Z/ @( A: o% {3 u7 \& r* q
得出结果如下：4 z. V( R6 ~$ d, b1 B: e
+ U2 [' e9 b* ^
$ Z+ y9 Q' E9 C3 l) g0 `; h" Z* W/ w
# _! z! t1 L s; w9 }可见，随着步距 h h h的减小，计算精度逐渐增加。# W# t, R4 z+ \/ x+ A
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发表于 2021-1-28 17:52
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