TA的每日心情 | 衰
2019-11-19 15:32 |
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目录" T8 c7 f& f9 K+ m3 E: ~1 I
一元函数的导数# w# L! L7 u, A) Y
MATLAB函数语法- o& O4 N1 k& G: `7 o
应用举例
+ p1 p, ]! Y4 j) d( U% a例1 ：普通函数求导
* z, f3 M4 j6 b3 k# i) ?5 [例2 ：复合泛函求导
! U' v. e' k3 c* {9 k5 V例3 ：矩阵函数求导
6 }4 `! d5 h7 ~$ @3 t$ {. ^多元函数的偏导数
! c5 f7 f; [; w9 K( W: rMATLAB函数语法# I2 P0 O( U/ Q
应用举例4 z: r6 _+ I' Y' s" W* e$ t. @4 q
例1 ：求偏导并绘图4 D ^1 D( F- N/ e, f% k/ ?
例2 ：三元函数求偏导9 ~$ O4 b- O6 x' K/ F; x5 a) e5 b( w
) a9 j* o% s0 T8 ?) c8 G一元函数的导数
6 b& o; ~, g; I/ M' c) u6 o# ]MATLAB函数语法# v' t7 Q% D1 {" `; `, }
- y = diff(fun, x) % // 函数fun的一阶导数
- y = diff(fun, x, n) % // 函数fun的 n阶导数
' t8 e: J, z' b
* o: u+ C* {8 c& N- a( }) b2 L7 s# e+ X
注：自变量为唯一符号变量时，可以省去 x x x。
# `. B6 G! Y1 ~; o
* Y, A& i$ j* o6 N+ N应用举例
: ~+ I2 \" i, H: C8 X, c4 n. ~例1 ：普通函数求导
7 Y |0 Z8 B! E4 P3 K8 d" W5 N给定函数! n1 U3 f1 l, j+ o
9 s ~( {( K5 p( k0 Z, C: V- R
4 c: n2 W0 s) `4 e. _$ H+ P; @分别求其一阶导数和四阶导数，并绘制原函数和一阶导数的图像，计算求解50阶导数时所用的时间。
, H+ X- _' [! W" \2 `8 S4 c6 p, J. |' ?2 z2 t
- syms x; f=sin(x)/(x^2+4*x+3); f1=diff(f)
- ezplot(f,[0,5]), hold on; ezplot(f1,[0,5])
- f4 = diff(f,x,4)
- f41 = collect(simplify(f4),sin(x))
- f42 = collect(simplify(f4),cos(x))
- tic, diff(f,x,50); toc+ E+ m. [! r3 P: p* O5 d) r
5 W$ E0 j; f( w0 e5 k, o
$ t% I0 x1 M$ O( K根据结果可知diff函数的效率较高。7 N* ^( [0 N1 V9 U6 J8 I1 c# k
8 e3 s# s- g/ _0 z
例2 ：复合泛函求导+ G( n! u. ]% W# C# I+ j$ R
已知函数
，推导其三阶导数公式。; J7 T# s, S' C
4 _- Y* m% ?( Z+ |5 L
分析：该题难点为如何定义 f ( t )
, h- f6 Z, t1 Q1 j. A0 p8 {' w. H: n
9 N( c: L* S4 f0 M- syms t f(t)
- G = simplify(diff(t^2*sin(t)*f,t,3))4 L' d6 |: Y/ Y
4 ~1 O1 D( v9 N9 F E- _/ m8 y7 \6 _/ S4 Y) j
当
时， F ( t ) 的三阶导数为 Q: T0 ~5 }5 K) E4 p! e; w% w) y$ J7 n8 k
, y) v9 V; M# ~0 {- G0 = simplify(subs(G,f,exp(-t)))
- err = simplify(diff(t^2*sin(t)*exp(-t),3)-G0)
p, b6 W$ m/ t: e
2 M1 j" s& }; r8 X9 O8 i
4 ?( _* j/ q9 G$ p) V- @
例3 ：矩阵函数求导
! A" ~, D2 m7 f9 r0 J: _4 c
$ E \- X" e! b- O- X. t2 c% [9 N9 _4 m# N" Y4 S
对每个矩阵元素直接求导
$ h E# D0 s, d u6 {3 b
9 t& y+ m: X# y# d/ s1 j- syms x;
- H=[4*sin(5*x), exp(-4*x^2); 3*x^2+4*x+1, sqrt(4*x^2+2)],
- H1=diff(H,x,3)) O' m" T0 b% h7 J( K( w
/ u- X; \; E y. i% o' l( V9 d5 U1 {0 m. t; c) o0 k) I( E
多元函数的偏导数
' i! I6 g! p' i* m4 P/ t8 ?% rMATLAB函数语法: C/ y8 U2 c& U7 P5 R% ^- t0 d
高阶偏导数
1 }" @3 V4 W6 w3 d
" [. U: Y; Q) _' ^. d
的求法# S2 x4 J8 v: Q# T+ w) d0 q
& h* q' z5 q5 c9 }. n
- y = diff(diff(fun, x, m), y, n)
- y = diff(diff(fun, y, n), x, m)3 O/ g" Q4 o* g J) a& W3 m/ T1 I
6 n$ A/ ?5 s, f. z# D# j. p
: c* ^" U0 A7 A7 U' u: V6 ^) u6 S D应用举例5 v6 D1 L+ Y/ C4 \2 u0 v
例1 ：求偏导并绘图
: {& r1 e; ^% H- R" J% u' F f求函数
的一阶偏导
,并绘图。, e( @5 v: A% k3 _& j# O
2 {7 L/ k5 v, g ~# t0 s$ P- N- 求偏导数
% _5 X; n# ]& d, k- b( z
- syms x y
- z = (x^2-2*x)*exp(-x^2-y^2-x*y);
- zx = simplify(diff(z,x))
- zy = simplify(diff(z,y)); z/ Z# g5 V+ D N# ]
5 F1 W' e7 n4 b6 _8 X/ c! O7 I; o/ m& M$ y4 K8 a2 h y0 b
- [x0,y0] = meshgrid(-3:.2:2,-2:.2:2);
- z0 = double(subs(z,{x,y},{x0,y0}));
- suRF(x0,y0,z0), zlim([-0.7 1.5])! M" I5 ^- e0 W; b- p; @7 y2 W
; B- |+ P- @' M1 d/ Y
5 W/ w, f. L: k- [! [" E5 Z/ N8 U
/ X- j7 k4 T" N! v5 O$ S/ V1 I; u; A: `
- 绘制引力线（负梯度）! J7 C$ O" \/ m
- contour(x0,y0,z0,30), hold on
- zx0 = subs(zx,{x,y},{x0,y0});
- zy0 = subs(zy,{x,y},{x0,y0});
- quiver(x0,y0,-zx0,-zy0)+ y" p) B& Z9 ^; \- i3 `5 u# _+ B) z
9 g/ `. l- l3 W. K
h0 S9 F' z Q) \
* U0 f8 h, }+ \9 b0 u/ O
8 S/ S. G+ X8 O9 B! R4 F5 B例2 ：三元函数求偏导
`4 l9 O6 W. C, P8 T求函数
的偏导数
1 l4 A* v) `' D% @* y2 }$ ?/ }- Z
- syms x y z
- f = sin(x^2*y)*exp(-x^2*y-z^2);
- df = diff(diff(diff(f,x,2),y),z);
- df = simplify(df)
, f+ n7 U# z4 Q% a# c a% _6 a2 _
- @8 k' {' c0 r- x- b
8 o; @( F# [6 \" `# a5 y
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发表于 2021-1-25 18:25
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