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8 D. G' }" c3 h8 {5 I本文介绍利用MATLAB求解函数或序列的极限问题，顺便介绍limit函数的用法。内容主要包括单变量函数的极限和多变量函数的极限。
+ X2 T4 w5 i* U6 L8 X$ n7 \目录
( L) V g# ^8 K" `# P# T单变量函数的极限" ^3 l6 s8 v5 l$ H/ j. T
极限的定义, E. k. L- j. I
普通极限
& k3 d+ ^! f9 f' L3 D) l左极限
7 t+ _" R4 ]1 b8 w- @右极限
- V! T7 H2 R c" nmatlab实现方法2 q$ K0 K" n$ Q% V$ | ^& i
应用举例" X) e' h7 t6 |9 Z, W* b
多变量函数的极限( ^7 Q) [7 A5 n9 ^
matlab实现方法
; V) a- O0 c! d( |" F/ t4 r应用举例. E1 ]8 H1 B, B8 q
单变量函数的极限
' ]5 z \. ^" R* M; J极限的定义: J. ]) F6 ^7 p- _5 w
- N" Q* ~7 q1 C z: q S
- l' }3 f: I% R8 l
! Y9 x) A9 M+ K) p
- [6 [7 d- @0 Z3 ]2 }" w$ B4 tmatlab实现方法
& A) v9 x9 y$ C& e) x, `- L=limit(fun, x, x0) % //普通极限
- L=limit(fun, x, x0, 'left') % //左极限
- L=limit(fun, x, x0, 'right') % //右极限6 H4 C* f5 ~2 [' c
; P& Z! H$ L$ [' K
1 t" E9 ~# ]3 V/ h: ]应用举例3 J' n# L/ `$ S5 y5 ^2 R) {/ @
求解极限：
0 I( Z0 r$ p+ {' \8 y/ n8 k
: J; u3 T2 `4 m6 {
7 k8 L* G+ I J7 B5 v8 ^0 l) a! {
w/ u! m& c4 g# ` d1 x4 e
2 W- G0 ]! }( @2 B- syms x; f=sin(x)/x; L=limit(f, x, 0)
$ J0 K$ [& _% x, `: P% S3 x
2 g* B' `0 O* o/ Z9 [& [
. L& B( Y& _* A/ Y& j
求解极限：5 W7 N4 x; T, b
; z0 m% |& i9 c+ ^- u9 G
0 u. ?2 m2 H/ R9 M$ } ) C' N% F2 d4 o/ M1 Z
- syms x a b
- f = x*(1+a/x)^x*sin(b/x)
- L = limit(f, x, inf)
0 a; D f# m1 A' ]& \7 F9 u
# a8 b% F. U* h* D8 G! r1 [
! }8 Q8 q! v4 G7 ?+ I9 q: E求解单边极限：# L) Z* k/ v k4 k. I6 M+ b
" X8 G% A9 G+ m. Z
* c& N6 Q1 O2 V, \( K
, b2 q7 S# n( t! A* D; c
- syms x; L = limit((exp(x^3)-1)/(1-cos(sqrt(x-sin(x)))),x,0,'right')
: m* K3 X5 ]. n1 T7 M* P
* D% D* t. w9 @& Y0 p* J; c
/ _" L: Y: n$ u用下面的语句还可以绘制出 ( − 0.1 , 0.1 ) (-0.1,0.1) (−0.1,0.1)区间的函数曲线。
! j" d |8 j2 t7 W5 i& }# W0 z+ C
- x0=-0.1:0.001:0.1;
- y0=((exp(x0.^3)-1)./(1-cos(sqrt(x0-sin(x0)))));
- plot(x0, y0, '-', [0], [L], 'o')
o$ a" G- { J, I; H6 |0 n# t
4 p8 g! G, A: O' V- y# F! S+ v) H! x2 c9 d! d( Z' [5 b( P! S- l6 W
函数曲线如下：: M! r3 G7 w! {( y
! J; d: ]1 E+ q) P
可见， 对这个例子来说， 即使不用单边极限也能求出函数极限值是12。
% k3 |, {8 ^, e& c9 {
- w! e2 a2 p3 C8 l6 h- L = limit((exp(x^3)-1)/(1-cos(sqrt(x-sin(x)))),x,0): Z1 b4 A/ w0 |$ L9 {" q7 m6 d
1 w: A. l) Y' Z7 u" P, V, n
8 D G) J& O3 a1 {' o7 e1 K求函数 t a n t tan t tant 在 π / 2 \pi/2 π/2 点处的左右极限。; Z9 a' s; A8 ?* y% N: u) v0 A; K
- syms t; f=tan(t);
- L1=limit(f,t,pi/2,'left')
- L2=limit(f,t,pi/2,'right')
5 q4 W. C' d% y
/ F; c; Q4 y( b' R' t' R( D5 w) ]' a
求下面序列的极限; |# R1 _( K7 {5 @. m- L
; M* @& Y4 Q7 `( h; Q
- syms n positive
- f = n^(2/3)*sin(factorial(n))/(n+1);
- F = limit(f,n,inf)
, {; I5 m6 m2 } d# y8 w
e: ]/ q8 e P) U1 s. ?+ C1 y
) _2 K; g. ?2 k# y8 O求下面序列函数的极限
! E7 z+ n+ C9 A5 ]( s0 u: V
1 x6 B+ o0 _* z4 G' g
- syms x n
- f = n*atan(1/(n*(x^2+1)+x))*tan(pi/4+x/2/n)^n;
- F = limit(f,n,inf), T3 U3 @+ o" o0 d4 w
5 T- L( u' z. I% Q6 V
+ h: U2 v, A6 }5 K4 v5 ?
多变量函数的极限( n2 \, g3 q; k9 b" A7 N- E: y
matlab实现方法
7 J( H! @8 n( Y% `) {- b, ~+ Y多元函数的极限也可以同样用MATLAB中的limit()函数直接求解。% ~8 i1 k; J. z/ U& R6 Q. T( \
1 m6 C) p% P! T假设有二元函数 f ( x , y ) f(x,y) f(x,y)， 若想求出二元函数的累极限
1 Q* }* i0 T) U1 R0 B# G6 O
, T6 C& i& D: Q, H/ a0 R
则可以嵌套使用limit()函数。例如:
. a( p: n/ G& z" V8 `' A( t+ U) ~4 ?
- L1 = limit(limit(f,x, x0), y, y0)
- L2 = limit(limit(f,y, y0), x, x0)
8 \4 W7 g P. \/ s1 s
2 v1 H0 P" f' T4 Z8 O$ Q
6 G$ q, y" u. S$ Q$ [如果 x0或y0不是确定的值， 而是另一个变量的函数， 例如 x → g ( y ) x \rightarrow g(y) x→g(y)， 则上述的极限求取顺序不能交换。4 \; u: m- ?3 K6 J4 k o* i* ?
2 q4 u& b# x* u. ~( |( h' y
假设有二元函数 f ( x , y ) f(x,y) f(x,y)， 若想求出二元函数的重极限/ n( F# t7 }$ |8 E8 G8 a, a. A
5 x9 z5 V+ K* }5 k- P) K% F( [
9 h/ r) I" ?4 E" `
3 v2 L8 U B0 L理论上不易求解，只有沿所有方向得出相同的极限才可，不可能用累极限方法求解。, f5 s0 B) Y+ n- P" A1 t
. ~, b# u. l( q2 c
应用举例
V9 Z8 B# ]4 X. S3 ^/ W试求出二元函数极限值
* q6 J* ]! |. U; m7 k
" g) I/ n+ Z( B8 ^% h& t- syms x a; syms y positive;
- f = exp(-1/(y^2+x^2))*sin(x)^2/x^2*(1+1/y^2)^(x+a^2*y^2);
- L = limit(limit(f, x, 1/sqrt(y)), y, inf)
* ^4 ~& A3 m1 i1 p; R6 X( n- O
2 Y, |4 [3 y7 s* a6 E x
9 T1 ]# {% t, ~; A% A8 R重极限的尝试 ，求解重极限. E+ |3 a% E% t7 Z7 t: G
: o" L' s9 n: H: N' g" B6 K5 W; x
& m) d* c1 G6 w- syms x y;
- f=(x*y/(x^2+y^2))^(x^2);
- L1=limit(limit(f,x,inf),y,inf)
- L2=limit(limit(f,y,inf),x,inf)
- L3=limit(limit(f,x,y^2),y,inf)
- L4=limit(limit(f,y,x^2),x,inf)' g" p! `4 g7 J2 ?4 M H, N, k
2 s$ ^$ n% o3 h! B
) y- y5 C' h* V) u3 I判断重极限是否存在
* G* a" {0 ]; e2 v5 q
+ E( I+ X* G% a3 I证明极限不存在比求重极限容易的多，可以沿 y = k x y=kx y=kx趋近。
" f p4 r6 S3 K% q; g6 ?2 r5 K( B7 E# t9 G, r5 l; x/ s! I
- syms r x y
- f=x*y/(x^2+y^2);
- L=limit(subs(f,y,r*x),x,0)
" b. ] d M0 t5 b3 q
' }8 V, E \' d$ y- k5 Z3 P$ B
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发表于 2021-1-22 18:38
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