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/ ]- ?. ?2 g0 {目录7 g4 h: N5 g6 F9 x8 _9 G* ]
) T8 R+ L6 K1 ~2 R+ w v序言
/ l7 [$ i; X$ r; h' @
* A$ n+ T; y8 O一类重要的基本信号
+ X. a# D1 J" k$ M+ H0 W! f8 N e4 I- u. K' h
线性时不变系统对复指数信号的响应
( y1 A8 V4 R% Q9 W
: F; O3 ~6 a7 w) V+ b特征函数以及特征值定义：
7 E, T# W. g' O+ s$ j0 |- L: {1 W" l1 Q+ t# n. {: D
证明复指数信号是LTI系统的特征函数
: Z% U F2 l H9 j3 K
k5 @. z% {+ c, r5 v- Y简单运用上述性质
! q4 B* I# s. m! { ?: q1 _* r1 r/ ?9 |2 w
序言
" n6 E0 k6 H' e. ^# C复指数信号有相比于其他信号优良的性质，这使得其在数字信号处理以及信号与系统中（统称为信号处理）具有不一般的低位，例如复正弦信号
' C, k1 @* q6 R, g( @ ]
- Z% i6 V& k+ m- o' ~9 q它不仅是离散信号做傅里叶变换时的基函数，同时也是线性时不变系统的特征信号。
# c3 M+ S, V; i' r0 f
3 P7 A5 S( }" y( x( ]看了一下内容后，你就会懂得上面的描述！" c5 `/ D1 W! W c
' h6 O* H' q3 W: Z: x一类重要的基本信号: o7 v# V) F0 G/ {, v3 y
在研究线性时不变系统时，将信号表示成基本信号的线性组合是很有利的，这些基本信号应该满足下面的两个性质：" }4 y8 [( ?. @" j3 L$ D
& X1 v2 e! {% }* U1、由这些基本信号能够构成相当广泛的一类有用信号；
- [0 O; g1 H# g& _2 t) A3 w: _4 ]' u$ q# i
2、线性时不变系统对每一个基本系统的响应应该十分简单，以使系统对任意输入信号的响应有一个很方便的表达式。
; W, J1 ^+ s: @$ u
, v2 D! L/ v2 l' M- d+ B% ^ V! ~) U那什么样的基本信号满足上面的条件呢？
4 M! G, ], j- A3 K* }9 T% q" h/ x5 g( p& Q5 x
由傅里叶分析可知，连续和离散时间复指数信号集都具有上述两个性质，即连续时间的
和离散时间的
，其中s和z都是复数。5 P% N& I. _1 @% a( n# c1 z2 F q
2 e% `7 |. L: F& v; }, b9 H
线性时不变系统对复指数信号的响应0 U9 P+ I- M# z4 Y' K; Z' F
基于如下事实：* w1 h8 ]) q/ w" x8 S3 l) S- \
0 y2 \- V6 ~ S/ w6 h- Q
一个线性时不变系统对复指数信号的响应也是同样一个复指数信号，不同的只是幅度上的变化。: T4 f- \* i' q0 X9 o: y8 [; s. c) g
$ t7 W2 Z; |3 i/ Q$ {连续以及离散时间复指数信号的响应分别是：+ l% }1 y* l7 |& U, E! r
4 e i: @% ^0 L' H4 o. B. ~' G
4 k0 D" u$ Y! \' H
& W* f1 S( [% ~/ i2 n其中，
是复振幅因子，一般来说是复变量s以及z的函数，但是对于变量t来说，它等价于一个常数。
3 D; C5 v% ^6 s$ X1 W, p+ ~6 K" k d" B) X
这就说明了，复指数信号经过线性时不变系统的响应是它本身，即同样也是一个复指数信号，只不过幅度上有所变化。
7 m H# k7 X( s% e. Z) @* R% I. b+ h0 T9 d* _
特征函数以及特征值定义：
5 [5 q. [; m) `$ g0 K, L一个信号，若系统对该信号的输出响应仅是一个常数（可能是复数）乘以输入，则称该信号为系统的特征函数（eigenfunction），而幅度因子称为系统的特征值（eigenvalue）。5 y# D' N- \. Q3 ^. O
& R0 H( t0 o3 ^0 s5 B证明复指数信号是LTI系统的特征函数
7 ? D; l5 `( R1 N下面证明复指数信号确实是LTI系统的特征函数，也就是说复指数信号作为LTI系统的激励，其响应也是复指数信号。9 K, e. Q& P$ p1 W9 g7 T# Q5 ?
5 L$ I; t- ^# D9 Z7 W/ b
手稿：) f! z V, ]) D5 B1 c0 w
5 G5 n% B) d8 Q
首先是连续复指数信号
，求其经过线性时不变系统的输出，假设线性时不变系统的系统函数为
1 J4 k/ I! \. O( r" _
8 y7 R) q, ^' v6 o, B' c& _
' q, O4 P; a6 w8 {9 P7 z
/ r8 S; e7 m. I: }) d5 K
这就证明了连续复指数信号
是LTI系统的特征函数，而常数
就是与特征函数
有关的特征值。* b; l, P! P+ B* D& l% i! V4 E
# u6 J5 y0 b% @/ T+ D下面证明离散复指数信号
是LTI系统的特征函数：
+ Q. f& h+ @- h4 a7 o7 R" v
1 E5 D" V7 I8 X6 D* Z- X
6 | o2 @' p E" `1 m1 Y6 j8 H6 M
. W9 X* _# G" A' p同样证明了离散复指数信号
是LTI系统的特征函数，常数H(z)是与特征函数
有关的特征值。
9 p1 {' S( ]. s& o: ^9 ~' n0 C" ~; [
简单运用上述性质. V& \9 v+ T3 T
既然，复指数信号作为LTI系统的输入，其输出有这么简便的表示方法，真是造福科学呀！
+ ?6 W; O' w% _+ R' v' c3 Y/ V) b# g. e f1 Z8 F5 N" E( p8 D
我们不禁设想如果一个信号都可以表示成复指数信号，那么其输出岂不很简单？事实上也是如此，但多大范围的信号可以用复指数的线性组合来表示呢？; Y) j `6 g3 f, N4 l8 s
1 R9 U# A, _$ W9 S0 ?4 U（我们将由这个思路来引出下一篇博文，周期信号的傅里叶级数表示，任意一个周期信号还真能表示成复指数信号的组合形式！）
7 `' L, m' I2 K2 S+ [
# r6 y: P0 }9 r下面以手稿的形式，展示上面叙述的简单运用（模拟情况）：1 i9 ~; [1 |- d6 s5 ?
4 P% |& b9 E8 g# |$ v
0 ^' |: n/ l) A
! [$ N8 Y& o$ m5 D3 A9 p) C离散的情况如下：/ Q R2 G7 I3 } }; [! G& u$ J
M! o/ w6 S1 @& G4 `5 a$ R
5 w$ S: Q9 T$ G+ J/ u- z4 n0 x' B% E( \' l5 X
这其中的
都是复数。5 h4 s7 I/ b2 ^; p
8 K) f5 a: S' M- m" `
这就说明：
* x1 |7 |5 ]/ \, Y- I; W7 d" l5 W7 Q& o+ X8 n/ O) M1 H3 M
对于连续时间以及离散时间来说，如果一个线性时不变系统的输入能够表示成复指数信号的线性组合，那么系统的输出也能够表示成相同复指数信号的线性组合；并且在输出表示式中的每一个系数可以用输入中响应的系数
分别与特征函数
有关的系统特征值
相乘来求得。 |
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发表于 2020-10-23 09:59
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