MATlab过一点作已知曲线切线。

DIOADE · 发表于 2020-6-23 11:31

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求大神指点：MATLAB 过（1372，0）作方程  (x+y)^2*h/(G*L)]+(b+0.07*h)*(x+y)/L-0.85*x+0.07*G*b/L=0的切线最好知道切点坐标。
方程图程序：G=1400*9.8;
               h=0.55*1000;
               L=2.24*1000;
               b=1.24*1000;
               ex='[(x+y)^2*h/(G*L)]+(b+0.07*h)*(x+y)/L-0.85*x+0.07*G*b/L=0';
               ezplot(subs(ex),[0,8000,0,3000])
请教大神，非常感谢！

House · 发表于 2020-6-23 13:16

方法一：
先对曲线方程(x+y)^2*h/(G*L)]+(b+0.07*h)*(x+y)/L-0.85*x+0.07*G*b/L=0两侧同时对x求导
得到x,y(x),y'(x)的关系，并求出y'(x) = F( x,y(x) )的表达式
然后将切线通过点的坐标(x0,y0)带入联立方程组中
(y0 - y)/(x0 - x) == y'(x) 即 (y0 - y)/(x0 - x) == F( x,y )，几何意义是，通过已知点(x0,y0)以及曲线上一点(x,y)的直线的斜率是曲线在该点处的导数
(x+y)^2*h/(G*L)]+(b+0.07*h)*(x+y)/L-0.85*x+0.07*G*b/L == 0，几何意义是，点(x,y)在曲线上
联立方程组求解，可以求得两个切点
(7203/4 + (136073*sqrt(7/374))/8, -(1715/4) + (50519*sqrt(7/374))/8)与
(7203/4 - (136073*sqrt(7/374))/8, -(1715/4) - (50519*sqrt(7/374))/8)
数值解即(4127.74, 435.179)与(-526.244, -1292.68)

House · 发表于 2020-6-23 13:17

方法二：
对坐标系做旋转变换，新坐标系为原坐标系逆时针旋转pi/4弧度，在新坐标系下，原曲线转化为标准抛物线方程
y(x) = - (816954656 + 223979*sqrt(2)*x + 55*x^2)/(653072*sqrt(2))
原切线通过点( 1372,0 )变换为( 686*sqrt(2), -686*sqrt(2) )
类似上面，解方程
(y0 - y(x) )/(x0 - x) == y'(x)
得到新坐标系内的切点坐标，反变换后得到原坐标系的切点坐标，数值与方法一是一致的。

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