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一、 单一变量的曲线逼近5 u1 ?" y; m( Y3 j
Matlab有一个功能强大的曲线拟合工具箱 cftool ，使用方便，能实现多种类型的线性、非线' n% ~: C1 R: s$ `( N' q
性曲线拟合。下面结合我使用的 Matlab R2007b 来简单介绍如何使用这个工具箱。
5 @: x5 ?# G. U# f6 \假设我们要拟合的函数形式是 y=A*x*x + B*x, 且A>0,B>0 。
8 s; S- t2 u+ P4 x2 d- W$ ^% M1、在命令行输入数据：- \' Q x- p, y6 k: k( X
8 Z# T: g% z8 y9 K》x=[110.3323 148.7328 178.064 202.8258033 224.7105 244.5711 262.908280.0447: g. R1 V6 @7 v1 A: w M
296.204 311.5475]
+ T" E- ?& i. ~; w6 x6 v- g
1 P8 \ e' x6 R8 z4 |6 l; T4 r8 {》y=[5 10 15 20 25 30 35 40 45 50]
# Z6 N0 O$ W& _, \$ Q m
w W e H1 d3 `" L& e* ^2、启动曲线拟合工具箱
4 A3 { q, T2 H. S/ t; L) m》cftool5 j. e: ^) _5 v/ |1 z7 ?0 \
0 |* P7 T. {( O# e6 E3、进入曲线拟合工具箱界面“Curve Fitting tool”& l% G- m4 k. r7 T$ ]9 J( a
（1）点击“Data”按钮，弹出“Data”窗口；
, V% N7 E7 `% P" x+ O（2）利用X data和Y data的下拉菜单读入数据x,y，可修改数据集名“Data setname”，然
. w& q9 O" U( q( K" n后点击“Create data set”按钮，退出“Data”窗口，返回工具箱界面，这时会自动画出数, j4 }; p( F @+ G
据集的曲线图；" I; g4 h/ N. Y- T. t
（3）点击“Fitting”按钮，弹出“Fitting”窗口；
8 R# f+ B) E7 ^（4）点击“New fit”按钮，可修改拟合项目名称“Fit name”，通过“Dataset”下拉菜单$ r; y J7 r; p" L& X
选择数据集，然后通过下拉菜单“Type of fit”选择拟合曲线的类型，工具箱提供的拟合类; S& N& L! \- q% r
型有：" T @+ r4 F+ [ K$ [
Custom Equations：用户自定义的函数类型
# T4 T! o2 J2 \! x* w9 SExponential：指数逼近，有2种类型， a*exp(b*x) 、 a*exp(b*x) +c*exp(d*x)
/ v% V2 A' h, @0 T" {! ~4 Q! Z' bFourier：傅立叶逼近，有7种类型，基础型是 a0 + a1*cos(x*w) +b1*sin(x*w)4 N2 ]+ S& s* R# d3 G
Gaussian：高斯逼近，有8种类型，基础型是 a1*exp(-((x-b1)/c1)^2)7 |) d% b0 T: i# `9 Z
Interpolant：插值逼近，有4种类型，linear、nearest neighbor、cubicspline、shape-+ G- ?/ l: ^" Q# F0 n& Z$ T0 }
preserving
9 B+ d6 e# ]! h: U9 y9 e' f( FPolynomial：多形式逼近，有9种类型，linear ~、quadratic ~、cubic ~、4-9th degree~
7 a: T, r& X( K1 `( v, T1 Z! s ]- Q" x1 hPower：幂逼近，有2种类型，a*x^b 、a*x^b + c
4 P( Q0 |3 S4 `" m2 H$ l8 O7 }Rational：有理数逼近，分子、分母共有的类型是linear ~、quadratic ~、cubic~、4-5th
% o4 m8 A1 m) N; c6 Q5 Ldegree ~；此外，分子还包括constant型
. v7 t% Y# V+ v+ vSmoothing Spline：平滑逼近（翻译的不大恰当，不好意思）
" {+ K' ]: q) S) M! ?/ n$ iSum of Sin Functions：正弦曲线逼近，有8种类型，基础型是 a1*sin(b1*x +c1)
5 w/ ^! q1 }0 ?Weibull：只有一种，a*b*x^(b-1)*exp(-a*x^b)
# m+ x, }% w/ d$ E) w6 D. x( x选择好所需的拟合曲线类型及其子类型，并进行相关设置：
# z0 \& Y- W2 V0 Z9 B" C——如果是非自定义的类型，根据实际需要点击“Fit options”按钮，设置拟合算法、修改9 o; w- }7 m# L1 G: x6 h
待估计参数的上下限等参数；
) q* z, }; a; y. @' D" d, ~——如果选CustomEquations，点击“New”按钮，弹出自定义函数等式窗口，有“Linear
5 [& K( l+ e5 ^8 a( HEquations线性等式”和“General Equations构造等式”两种标签。& b* f+ M1 @- D, n+ s+ \, I
在本例中选Custom Equations，点击“New”按钮，选择“GeneralEquations”标签，输入函
3 f* v* K. H& x% J8 L0 N数类型y=a*x*x + b*x，设置参数a、b的上下限，然后点击OK。
1 q! f% k- v" w: a$ S( C, N7 m（5）类型设置完成后，点击“Apply”按钮，就可以在Results框中得到拟合结果，如下例：
6 ^& \6 S4 p! B1 Z& `9 n& ]9 `general model:- c* L9 @) q0 G9 r7 J4 x
f(x) = a*x*x+b*x1 `+ Z* Z! T h4 x/ G" t, |7 T
Coefficients (with 95% confidence bounds):
& i1 z& V% B$ E' e+ ]. h* Ta = 0.009194 (0.009019, 0.00937)5 A, D( F1 E% i. M/ |4 x
b = 1.78e-011 (fixed at bound)( x4 H0 _% B: o1 D0 h
Goodness of fit:
4 h: J5 ]& Z) P. M5 J/ n, ASSE: 6.1466 [' @( V. o0 S) B1 Q
R-square: 0.9978 }4 y f3 `) m
Adjusted R-square: 0.9978 O7 p- }: z; q
RMSE: 0.8263
; q' X, d; a- _+ S4 K同时，也会在工具箱窗口中显示拟合曲线。2 \8 R) e- T5 s: v# T* r7 P
这样，就完成一次曲线拟合啦，十分方便快捷。当然，如果你觉得拟合效果不好，还可以在“4 x, E+ U: P+ u8 v& j! n
Fitting”窗口点击“New fit”按钮，按照步骤（4）~（5）进行一次新的拟合。. N8 y1 `* T4 q
不过，需要注意的是，cftool 工具箱只能进行单个变量的曲线拟合，即待拟合的公式中，变
0 a3 G( l; O+ Y+ m量只能有一个。对于混合型的曲线，例如 y = a*x + b/x ，工具箱的拟合效果并不好。下一( [6 q% H) d! E( L' `
篇文章我介绍帮同学做的一个非线性函数的曲线拟合。
8 n3 \- K8 L4 U. o5 D- c0 O $ h8 u' U0 l/ X4 Q) K
上边对cftool工具箱做了很详尽的说明，但并没有对各种曲线拟合的性能做点评，在单变量曲线拟合中，如何选取一种最优化的拟合方式是非常重要的，我们在采用CFTOOL拟合后，会有一些性能说明，如：5 j! b/ g( X% {" U Y0 D
Goodness of fit:
& ^ H2 Q0 Y) ~3 f8 D0 x# ^SSE: 6.1466 Z2 D+ F7 u* }' d' J8 |( j. o- @
R-square: 0.9975 Z, V! e. ~+ ?' `$ s# [. w1 Q
Adjusted R-square: 0.997
9 H2 k4 {- m9 U3 m! }; ]RMSE: 0.8263
; s0 k7 U5 L7 s: L ! E3 C" m& ?, N
官方的解释：
* I$ y: ~ K2 mResults -- Displays detailed results for the current fit includingthe fit type (model, spline, or interpolant), the fittedcoefficients and 95% confidence bounds for parametric fits, andthese goodness of fit statistics:
) b% v! s- i. ?0 a
9 j( U5 d8 _, D6 h# uSSE -- The sum of squares due to error. This statistic measures thedeviation of the responses from the fitted values of the responses.A value closer to 0 indicates a better fit. j5 p: f: j/ g) u8 E" O
+ _! N, s& \: v; G0 w* b
R-square -- The coefficient of multiple determination. Thisstatistic measures how successful the fit is in explaining thevariation of the data. A value closer to 1 indicates a betteRFit.
5 S' C0 H8 Z1 w* J
7 f0 ^5 u! b) c( X1 `% b5 K9 ?) BAdjusted R-square -- The degree of freedom adjusted R-square. Avalue closer to 1 indicates a better fit. It is generally the bestindicator of the fit quality when you add additional coefficientsto your model.
. d8 \6 x! ]+ S/ M6 _ " L g' |. [" `5 a$ \
RMSE -- The root mean squared error. A value closer to 0 indicatesa better fit.
y3 `5 R" o, M$ u/ u7 U4 B |
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发表于 2020-4-16 11:28
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