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MATLAB ------- 看看离散傅里叶级数（DFS）与DFT、DTFT及 z变换之间是什么关系
. V T/ H6 Q% {" h
5 m4 m$ n- |/ N% w# ^, |5 s+ s' ]6 g8 ~. i
上篇我们简单的讨论了离散傅里叶级数DFS和离散傅里叶变换DFT之间的关系，简单地说，DFT就是DFS在一个周期内的表现。/ z% v: e# l0 ^3 W9 U8 C. y+ y3 |
9 a/ Z( J; c6 ~* r1 uMATLAB ------- 用MATLAB实现离散傅里叶变换（DFT）和逆变换（IDFT）
9 V% _( D; @" C- R: ~& }; U& H! d9 F4 R" i
为了后面讨论方便，这里给出DFS的系数公式（分析公式）：
( p5 s0 p+ C) q; b. e$ {4 @# F7 j6 v, b! r8 z
（1）/ s; p# z8 t0 Y& _' T2 g$ e% Q
0 K, P) Q5 ^ U$ \: ]+ ]其中：
$ X; B" }( Q, _2 D1 J; B
6 @4 L! g+ }% u4 O" s: ?! f
+ Z6 e% @! w4 {, I; o
. O+ H8 r3 s% h0 s
综合公式：
0 y4 Y6 `/ B. Y) \
2 X& @) |9 Q3 E. H& {
（2）
/ g, w h5 D$ E; s: e
3 B: v1 \3 L" @; g3 f为了对比，给出DFT的分析公式：
, m) ^ M6 p4 f3 k) D$ D& c: g, X
/ ^7 e# m; \3 S& [# Z( O
（3）
% X. ?& ?0 p# q2 K: v$ {$ v) Q% R/ X Y) s& s1 [ a& Y& l5 k
（4）" M+ N7 m) t& H2 a0 X% U! |3 ?
$ S$ j9 Y. o% Y$ ]) f
$ ^# l2 p; o, B# O
综合公式：, y d2 z- M2 O6 B3 e
! N4 e- `) u) r' }% y H0 e
（5）
' u+ |& J0 x% }5 h6 \0 ^/ ]+ `' a7 {# a1 V
（6）7 a/ W1 ]( b7 E/ s( F) |0 L
" C( u, ^! \$ _9 `+ a
下面讨论DFS和 z 变换之间的关系：
6 m3 I) k6 p) Q0 J$ Q1 N8 ?3 j0 ?. p) g" ?" e' A: [- r' [
这部分内容提取到文章：MATLAB ------- 快来看看DFS 与 z 变换之间有什么关系
8 ?: v3 D2 ?" l3 G0 D5 W/ R& C1 h8 i
, z/ @9 K( t1 l& }+ z" C" @4 r1 O设 x(n) 为一有限长序列，长度为N，即，
* O& D" T( [. b( s" ^4 O- G- h" R) Q1 v' `6 d2 y0 b, ]
（7）
; k8 n f; x& i/ L
! ]5 t- ~7 p6 K7 g6 L0 U1 `3 a那么，能求它的 z 变换为：7 _" ?. W8 d" l. z6 r0 m6 S
1 `# @" p0 S3 p7 h! K3 l' n1 E
（8）- s& M- y$ q: z
6 c) V) w* B, d! O. E现在，以周期N，周期重复x(n)构造一个周期序列 ，即 N6 u- m6 X8 s8 f- |
3 [' g0 x6 k- i" z- O% g
（9）
; e' h, c' V6 A7 `7 l- U
% R8 O8 V( {6 L1 Y
的DFS给出为：
8 g8 o% K% j. S* ^' c& Y5 z7 U+ J6 l, m8 p" Q" L6 c
（10）$ g0 N( ~% j a" I
% c) {. j8 s0 g将（10）式与 z 正变换公式（8）比较后，得到：/ `4 {/ j8 U, q' x
" b6 i& ^3 ]5 i% P) @1 ?
（11）
0 F. @4 ^; c! X1 Y6 E1 t
3 L u; n1 L. m9 @! I这就是说，DFS
代表了z变换 X(z)在单位圆上N个等间隔样本。$ j$ g- Z) e; v' |
' u' {( y9 g% V* F/ }+ G# @
接着讨论DFS和DTFT的关系。% K; w8 N& p1 e9 F
$ D- w- i* a8 y这部分内容提取出来到：【 MATLAB 】DFS 和 DTFT 之间的关系# o! a g+ U1 d( b
3 W; I( m# X7 {$ H7 `: y
我们大概都知道DTFT和z变换之间的关系，DTFT是单位圆上的z变换。我们通过一个公式就能说清楚，如下：6 {6 T, W2 o: Q* Z
1 z" Q. Y! O$ @! {先给出DTFT的公式：' p H# ?' X1 X f& U m, V, w
7 x/ F4 v/ m: M$ l
（12）, `0 I5 R5 Q/ @: y/ S
" p! S$ l! T5 I6 |2 _1 V+ }对比z变换的公式（8），不难看出：
9 e0 b& x2 G# d, W) {& w# ^. _. }
5 c3 L/ x4 b- ^% Z3 x. x- B
（13）
& k3 o1 T4 t8 k5 C( f z. y* U4 ~ `6 Q0 g8 G( A
为了避免某些人的抗议，我们不得不做出声明，这里都是针对有限长序列推导的公式，无论针对其他任何可行信号，推导的关系最后都是一样的。
9 E2 f% |9 W) c9 i6 p; T( d$ e2 i7 p" B7 W! E, y
从（13）式可以看出，DTFT是单位圆上的z变换。2 u: N6 f9 |4 u. F/ Y, N' {
* { a6 `5 V7 A上面又说了DFS和z变换的关系，关系是，DFS
代表了z变换 X(z)在单位圆上N个等间隔样本。; I* \1 i2 T4 x
% d3 R" R. v! ~ v2 ^# Z结合z变换和DTFT之间的关系，我们是不是可以说DFS
是对DTFT
上的等间隔采样。采样间隔为
，下面我们正式推导二者间的关系。
0 \) W5 Q. E$ X0 s+ `$ A
3 \$ P! {. ?5 C* S5 c式（12）为:. M% M* w0 m$ ?" n% U
* {) a5 R/ \+ [ ^
% {+ \6 u; n+ u3 I p! v
4 g2 _# g4 s5 `! K$ t: Z% [DFS为：+ e% ?, c. f0 i H/ Y
' o- H& F* I1 Y: I7 Q2 k
% e9 _* M9 m$ f" Y! U/ j4 B: s6 j7 Z, `
* z. i+ Y# ]3 u2 o# J& S4 ^
+ w" g8 l2 F. y* @! W3 M7 B' H可以看出，1 ^( g( p7 Y0 T* E% N- h7 f# \
: B% [! k$ c( V- e
（14）
: q o5 j& L, ^, ]& W' X
+ ~$ N. N( @2 W: S( f1 S令( ^6 V& R8 Z6 T) }7 `6 S
（15） 7 K: f& z/ v: {
( {& u" B$ Q! z0 i0 i
这样，
; |( p9 X9 b; v* ?
2 [/ Y5 }( |5 }0 U$ F3 M1 a
（16）
8 B5 G9 Y! U& ]% Y
- I2 L( H' f+ c这意味着 DFS 可以通过以
为间隔对DTFT均匀采样而得到。
1 `. U2 ?9 w9 q+ {- m+ n+ t: |! v5 t$ R
由式子（13）：- O: U7 T8 a4 I& d, c
! Q, j; Q# r/ ^: g7 p
( F: E6 P5 h q9 x8 Q
9 c) A+ ~' ^9 k
以及式子（14）：) J5 F0 a: L7 @/ y5 M+ ~
3 I/ J7 l8 \3 L* R
& D }4 Q0 }2 x
3 \8 L2 y% p0 W9 v# w: Y可见，DFS 表示给出了一种在频域的采样机理；而这个在原理上类似于时域采样。
# b! S+ y+ I0 i. d) s# E' y% \" z. A9 R2 k5 S: j: A
间隔
是在频域上的采样间隔，也称为频率分辨率。因为它告诉我们频率样本有多密集。
$ R9 x5 w+ |: `. L8 r5 k' V* U% K. s0 l F
* [* {/ T0 B" F1 ~( |
+ S5 s' c/ x# m: |$ L0 X( u$ N8 p+ @7 I% {4 Z% d
1 \, {4 u# E" b/ \: b- W* r9 V. C& w& m( c6 z3 b4 x3 y
# _4 h+ ]2 [* u
$ L+ G5 F. m: i" N* f! o2 [9 j9 |
# U: k+ T. C2 X# ~ |
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发表于 2019-11-27 14:52
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