Matlab 符号表达式和符号函数的操作

relchhiclty · 发表于 2019-1-7 06:00

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x

Matlab 符号表达式和符号函数的操作

6.2 符号表达式和符号函数的操作
6.2.1 符号表达式的操作

【 * 例 6.2.1 -1 】按不同的方式合并同幂项。
EXPR=sym('(x^2+x*exp(-t)+1)*(x+exp(-t))');
expr1=collect(EXPR) % 默认合并 x 同幂项系数
expr2=collect(EXPR,'exp(-t)') % 合并 exp(-t) 同幂项系数
expr1 =
x^3+2*exp(-t)*x^2+(1+exp(-t)^2)*x+exp(-t)
expr2 =
x*exp(-t)^2+(2*x^2+1)*exp(-t)+(x^2+1)*x

【 * 例 6.2.1 -2 】 factor 指令的使用
（1）除 x 外不含其它自由变量的情况
syms a x;f1=x^4-5*x^3+5*x^2+5*x-6;factor(f1)
ans =
(x-1)*(x-2)*(x-3)*(x+1)

（2）含其它自由变量的情况之一
f2=x^2-a^2;factor(f2)

ans =
(x-a)*(x+a)

（3）对正整数的质数分解
factor(1025)
ans =
5 5 41

【 * 例 6.2.1 -3 】对多项式进行嵌套型分解
clear;syms a x;f1=x^4-5*x^3+5*x^2+5*x-6;horner(f1)
ans =
-6+(5+(5+(-5+x)*x)*x)*x

【 * 例 6.2.1 -4 】写出矩阵各元素的分子、分母多项式
（1）求矩阵各元素的分子、分母多项式
syms x;A=[3/2,(x^2+3)/(2*x-1)+3*x/(x-1);4/x^2,3*x+4];
[n,d]=numden(A)
pretty(simplify(A)) % 为方便阅读而设。请用 simple 代替 simplify 试试。 <3>
n =
[ 3, x^3+5*x^2-3]
[ 4, 3*x+4]
d =
[ 2, (2*x-1)*(x-1)]
[ x^2, 1]
[ 3 2 ]
[ x + 5 x - 3 ]
[3/2 -----------------]

  |, s# _$ L+ z2 U) q
[ (2 x - 1) (x - 1)]$ t( s+ g. \7 q; H7 ?$ X1 g, P, k7 B
[ ]
# t! r5 h3 x& z[ 4 ]
  P* D% @% K. l' m[---- 3 x + 4 ]
" X+ _/ K/ m4 x2 c% w6 E# S7 S* D0 X[ 2 ]# ?! [5 s- R. I+ ]$ X6 r% w0 B" T! b+ c
[ x ], a+ Q2 K2 d- _0 ?% O9 h
7 n! R! v) E' N# V* i2 a
（2）请读者自己运行以下指令，显示结果应与指令 <3> 相同。+ {' l) ^: ^& u0 A
pretty(simplify(n./d)) % 注意这里用的是“数组除”，而不是“矩阵除”. P3 _/ W" {2 [) Z  `2 b
[ 3 2 ]
$ K; o3 R9 ~, L. K' W  O[ x + 5 x - 3 ]7 C* p- i5 B, d5 U( m5 N
[3/2 -----------------]% R+ H) T1 q' q+ W3 S5 i
[ (2 x - 1) (x - 1)]7 {6 V3 K/ X# E7 h
[ ]
2 R9 K6 y$ U* `" B8 _% `) ?, S[ 4 ]5 g0 m7 d8 ~- L) ]
[---- 3 x + 4 ]5 l  S9 y$ c! D9 V
[ 2 ]6 K- G) y& Q" y, U5 |' P4 Q
[ x ]: ~6 h! ]. `( r4 W. U; \

# L( K7 o; t( V# m: ?7 \+ [- A4 c" q% r1 ]' j  L
【 * 例 6.2.1 -5 】简化
% _# L+ T4 }/ F: g1 Q2 N（1）运用 simplify 简化（即使多次运用 simplify 也不能得到最简形式。）5 O1 ?& x7 @( P* a; W' G
syms x;f=(1/x^3+6/x^2+12/x+8)^(1/3); " t# h8 v% ^$ v$ ]2 t/ q
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1 b) C% U: U2 b) u& |2 ]( v* S* i# Z
sfy1=simplify(f),sfy2=simplify(sfy1)
8 O$ P+ ~2 x4 _4 Ksfy1 = 6 W# V- N8 v3 n/ _8 D! M* ]
((2*x+1)^3/x^3)^(1/3)$ c( d6 H/ J/ p
sfy2 =+ h, F+ S9 o# |+ @
((2*x+1)^3/x^3)^(1/3)2 A; B; W. v2 O% k/ m
* @3 Z3 k# B3 ~& ]+ [) C
（2）运用 simple 简化
/ y2 l, X  H& l6 a, l- @9 ]g1=simple(f),g2=simple(g1)
: l1 ~) |9 x( f- `+ Kg1 =
; d5 p; X9 O$ l% B/ j(2*x+1)/x4 g: u! u% ]7 Z; _! K
g2 =
, Y% b1 e3 ]! j3 l2 j2+1/x' r% l" Z& M* N$ z" {+ d% f& Y
- l. w8 C& ~$ V. @
# H8 j9 m& U' y# F1 t
【 * 例 6.2.1 -6 】简化
$ z+ f+ P3 l+ A) G* c8 ^syms x;ff=cos(x)+sqrt(-sin(x)^2);
' j1 }: v9 O2 Y' ^' issfy1=simplify(ff),ssfy2=simplify(ssfy1)
9 t3 e4 X* p) I7 Zssfy1 = ! n0 D4 \. k% [" `
cos(x)+(-sin(x)^2)^(1/2)
* p* @0 Q( f  pssfy2 =
9 Q+ {6 Q3 @4 s* Z( B: ^- vcos(x)+(-sin(x)^2)^(1/2)* b( c& y" ^  I
gg1=simple(ff),gg2=simple(gg1) . E/ e4 @: U, i* u! R
gg1 = / k8 K5 o$ U! D- g- w4 X
cos(x)+i*sin(x)
9 I" \5 g& }5 y$ w4 ]! `+ W3 Vgg2 =
/ q7 Q8 j6 h, W( r2 c2 V5 W- jexp(i*x)1 j" U3 B& e; H2 {

) G, L3 ^. {4 ]( Z0 s
! C( L; p3 O2 E$ [+ A: w6.2.2 符号函数的求反和复合

, j5 G3 D. y) d3 A# Q& X/ d8 g( I/ q
【 * 例 6.2.2 -1 】求的反函数
( o1 _# ?( p4 T. x- F6 ~syms x;f=x^2;g=finverse(f) % B# {: k8 H7 q* \; \% O
Warning: finverse(x^2) is not unique.
8 M& d9 w+ k; n! m% x* @7 m> In E:\MAT53\toolbox\symbolic\@sym\finverse.m at line 433 l: L: A2 F$ J6 G9 G  x5 T* d
g =
' D5 a5 ]( k: _1 |0 s4 V' Ex^(1/2) . O9 `* L2 ?+ ^0 C4 s' a7 y4 ]3 D

6 H8 J3 h5 i2 Z" k( z1 jfg=simple(compose(g,f)) % 验算 g(f(x)) 是否等于 x+ x. n' B; N, O
fg = % d9 I1 @8 M0 _1 G
x
, \/ {; g; m5 o/ r
- i9 f2 `$ b( t4 t% K. s【 * 例 6.2.2 -2 】求的复合函数
: o8 X) D! R: ^  \+ K5 n- [+ a  S
- @# l5 Z& P3 J. Y/ n' t（1）自变量由机器确定: \) K- n+ s% z9 ~7 }
syms x y u fai t;f=x/(1+u^2);g=cos(y+fai);fg1=compose(f,g)
4 ?) g: [& g; F/ Z' ?  h+ M* Rfg1 =
5 g. s! K+ Q+ k# ucos(y+fai)/(1+u^2)$ ~9 P3 }( R- \' {2 A
" \$ Z2 a7 t. R4 [% Z" a1 W( W
（2）指定自变量( Q' M8 s+ h6 c) G5 p0 B
, X9 A/ r% w, s& e% E; s$ R& `
fg2=compose(f,g,u,fai,t)
; m9 e6 K6 z- @% G! M; Dfg2 =
* p/ |% [/ c) K- A7 B3 |) Y9 vx/(1+cos(y+t)^2): O0 A* d* b; _# }" `$ A
- _$ i$ X/ z/ z- z3 T) B* K

" k- Q5 v; _) T: c6.2.3 置换及其应用5 W, L/ \& m- ]& _1 K
6.2.3.1 自动执行的子表达式置换指令& n6 Y. I/ B" s* n- E& j

! g0 m9 H) X4 r% d  {# e  |【 * 例 6.2.3 .1-1 】演示子表达式的置换表示。- Y* ~6 |5 {  R# V' W' U: R/ s. u
clear all,syms a b c d W;[V,D]=eig([a b;c d]); 3 n( w, [) E7 h2 `: F5 J
[RVD,W]=subexpr([V;D],W) %<2>
* h8 K7 A: s5 r( nRVD =6 r; Y8 y  k# S
[ -(1/2*d-1/2*a-1/2*W)/c, -(1/2*d-1/2*a+1/2*W)/c]0 J, l& K5 a; S2 L) n4 x
[ 1, 1]9 g; z0 }+ g9 \! C: z
[ 1/2*d+1/2*a+1/2*W, 0]
: v" P6 R4 X4 f8 j! T9 \5 J[ 0, 1/2*d+1/2*a-1/2*W]" p  A# @8 Z# M' g0 q) R: j* |& m
W =2 M, @' J0 @, y2 B' M, A% L* H7 D
(d^2-2*a*d+a^2+4*b*c)^(1/2)( E2 r. x5 L* C- ?* L, A

- R8 |6 y# Q. }! V7 y# B; ?2 K' T
- f9 w+ Q9 ~& Q. _: y6.2.3.2 通用置换指令9 U% f) c* Z# n  f8 o  k

) I; A/ g9 }, P; Y* T. D" _【 * 例 6.2.3 .2-1 】用简单算例演示 subs 的置换规则。5 y) T; `; Y% }" n* S
（1）产生符号函数
( p6 K6 v- I6 _syms a x;f=a*sin(x)+5; 5 \/ W, g. u! P  b6 X7 e

$ m4 Z' w  p. q; ?) \（2）符号变量置换# _' n6 t' M8 i- h) z7 d* x
f1=subs(f,'sin(x)',sym('y')) %<2> 　　

( Q) e! A1 o4 x6 U$ t$ ff1 =
8 m0 \$ r. R" r4 M& ia*y+55 k; L+ q2 A( m1 l4 h

$ N1 Z2 T6 s9 X1 {& s5 O（3）符号常数置换
$ v* W6 o$ J# }8 ^f2=subs(f,{a,x},{2,sym(pi/3)}) %<3> 6 H' X5 v: ^: ?) t
f2 = , I" o. T1 [* x1 D% w
3^(1/2)+55 x3 ]: h! b' X  U- V
! f; V- z6 Q$ R, O; l8 n
（4）双精度数值置换（即所有自由变量被双精度数值取代。取 a=2 ， x=pi/3 ）
# \# P9 S$ Z6 B* Hf3=subs(f,{a,x},{2,pi/3}) %<4>
/ }: J, r# ^+ @3 y0 ?/ D& Sf3 = ( u, r1 ?/ ]6 m4 n* f3 H& [
6.7321 ; {; w5 k+ r6 m# A- _( B( {' u- z

- J; O4 q# d. p: b8 v  p（5）数值数组置换之一（取 a=2 ， x=0:pi/6:pi ）
- {2 v' Y1 }0 c# t' k/ O% nf4=subs(subs(f,a,2),x,0:pi/6:pi) %<5> & M! E! w+ v7 M9 }' H* g  o9 y
f4 =
$ d, k( [& o! e" m' v1 ^5.0000 6.0000 6.7321 7.0000 6.7321 6.0000 5.0000
2 n! v/ _, A" D% U# \
) h2 y) x% K( q7 a/ K0 D, V+ }+ |（6）数值数组置换之二（取 a=0:6 ， x=0:pi/6:pi ）
, G: T1 ^: q4 W* \: J7 tf5=subs(f,{a,x},{0:6,0:pi/6:pi}) %<6> - M: y2 E0 L( U8 v
f5 = # f4 ]7 Y2 O2 ]# t0 X$ e& B$ R6 n; U
5.0000 5.5000 6.7321 8.0000 8.4641 7.5000 5.0000
2 U9 o& _! e" ?; ~* F5 p$ F& M% G
0 x9 g. e6 M4 g0 R
6.2.4 符号数值精度控制和任意精度计算
$ {  Z8 N; w4 _6 h6.2.4.2 任意精度的符号数值
2 O* Z5 h. V/ A4 A7 N7 K- t' u: \. z1 i& K/ }& x" h
【 * 例 6.2.4 .2-1 】指令使用演示。* Q9 R, Y1 \7 R& V
digits % 显示省缺符号数值计算相对精度
$ k9 q7 `9 c4 iDigits = 32 1 T( w5 h; ]/ V. C) ?4 X4 x. d
p0=sym('(1+sqrt(5))/2'); %p0 为 (1+sqrt(5))/2 准确值
& p3 h3 F+ l) M( G: ip1=sym((1+sqrt(5))/2) %p1 是 (1+sqrt(5))/2 在数值环境下的近似值
/ R) }. p6 e! [) [e01=vpa(abs(p0-p1)) % 在符号环境 32 位省缺精度下，观察 p0, p1 间误差
% g2 M* @8 n9 l, V% _2 Fp1 = 4 s9 g" k* @/ B1 h! ]
7286977268806824*2^(-52)
( k) \+ u& J3 re01 =% W$ u/ o% G/ V' `/ w) {5 N
.543211520368250e-16, _3 P8 O# {5 h# i
p2=vpa(p0) %p2 是 p0 在 32 位相对精度下的近似) E; s; O) I/ o  W* D: f8 `
e02=vpa(abs(p0-p2),64) % 在 64 位相对精度下，观察 p0, p2 间的误差  W# D6 ?0 M; P7 U6 A' a
p2 = ' }/ A9 H  J2 j# R+ A
1.61803398874989484820458683436574 o+ k* i- d0 Y" q5 J3 d* P1 d5 `$ P
e02 =6 y" V  C" M: |4 }3 X
.61882279690820194237137864551377e-31/ n" u: M2 K4 E; J
digits % 验证 vpa 变精度计算不影响全局的符号数值计算精度
$ d4 g6 T% j8 rDigits = 32
1 {) q, H; y% R
- t8 w7 L2 w: Z( K9 p' X* c
( D2 q8 X3 P# B# {$ R) D6.2.5 符号对象与其它数据对象间的转换' J9 Q( w. Q( ]* V- ^: K) X2 N1 I2 x

7 z7 p7 L. e. r1 U

# f+ l& V8 L5 b6 t2 q1 z【 * 例 6.2.5 -1 】符号、数值间的转换。8 P1 G  E6 B1 g8 E
phi=sym((1+sqrt(5))/2) % 把数值对象转换成符号常数
! [. Y/ [, R  V7 F! r# qdouble(phi) % 把符号常数转换为双精度存储的数值
( F" K" y6 ~* H, L. a6 I; V. hphi = 0 k2 r5 R3 {3 Z
7286977268806824*2^(-52)
9 e0 l& s& J, Eans =
5 B$ j/ m) ]5 v1.6180
0 c' q. Y: t  o! [0 f
6 s) c3 k3 ]) U- i【 * 例 6.2.5 -2 】各种多项式表示形式之间的转换
8 \8 o/ M& z7 _' e, W! rsyms x;f=x^3+2*x^2-3*x+5; % 生成符号多项式% j# z, r9 k. K$ f
sy2p=sym2poly(f) % 由符号多项式产生数值系数行向量: t! Z  o7 a  n1 a: s
p2st=poly2str(sy2p,'x') % 把系数行向量变成易读表示式0 f! _# x! c5 Z9 `; ?' v; z" P
p2sy=poly2sym(sy2p) % 把数值系数行向量再转换为符号多项式
- T/ |& \# Y& F4 h1 O2 B& R6 Bpretty(f,'x') % 显示符号多项式的易读表示形式, T& c( l6 @0 p0 h$ ?+ [9 |
sy2p =   k( J& V' @( s+ j* G
1 2 -3 5; e2 t* i2 W" t3 a+ ?
p2st =
. T. Z* R% y+ l+ }& ^. r7 ?x^3 + 2 x^2 - 3 x + 5
- @$ W2 U2 q; H2 gp2sy =
+ Q7 H9 Y$ x, F( S. n. Q1 {x^3+2*x^2-3*x+5
" ~- \6 S: J  H  b3 2- N8 Z# V. z0 C
x + 2 x - 3 x + 5

xuzwg · 发表于 2019-1-7 17:02

谢谢分享

gaoxings · 发表于 2019-1-8 11:12

这个不错

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