模拟信号采样及离散时间傅里叶变换（DTFT）案例分析

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这篇中使用的模拟信号为上篇：使用 MATLAB 实现模拟信号的近似及其连续傅里叶变换
! z1 s8 j$ p9 _# P7 D0 I; Z
0 Y7 A! t8 }0 f' ]) v$ s4 x% k) J中使用的模拟信号：


5 D+ x$ X6 u! w$ Y/ ]9 L- |4 q
为了研究在频域数量上的采样效果，对该信号使用两种不同的采样频率采样。

a. 在 fs = 5000 对信号进行采样，求出并画出其离散时间傅里叶变换；
: e- j9 U: ]! e7 ^
( C& S& d. c2 W/ l% w# Nb. 在 fs = 1000 对信号采样，求出并画出其离散时间傅里叶变换。

题解：
! Q% q1 K: e) U4 m' B
上篇也分析了，信号的带宽为2kHz，奈奎斯特频率就为 4000 样本/s，它小于第一问给出的采样频率，所以频谱混叠几乎不存在。
+ {/ Q7 j; d6 l, [: N9 a  l5 m2 E9 g
3 Y& R3 ^; f5 D7 q我们通过MATLAB验证下：
8 n+ u, T3 r# X$ r( e" ~8 `( I& g
, Z) J8 n6 }7 f3 y

• clc
• clear
• close all
• % Analog signal
• Dt = 0.00005;
• t = - 0.005：Dt:0.005;
• xa = exp(-1000 * abs(t));
• % Discrete-time signal
• Ts = 0.0002;
• n = -25:25;
• x = exp(-1000*abs(n*Ts));
• %Discrete-time Fourier Transform
• K = 500;
• k = 0:1:K;
• w = pi*k/K;
• X = x*exp(-j*n'*w);
• X = real(X);
• w = [-fliplr(w),w(2:K+1)];
• X = [fliplr(X),X(2:K+1)];
• subplot(2,1,1);
• plot(t*1000,xa);
• xlabel('t in msec');ylabel('x(n)');
• title('Discrete signal');
• hold on
• stem(n*Ts*1000,x);
• gtext('Ts = 0.2msec');
• hold off
• subplot(2,1,2);
• plot(w/pi,X);
• xlabel('Frequency in pi units');ylabel('X(w)');
• title('Discrete - time Fourier Transform');
    _- d4 A# g2 C7 ?0 J

   
7 @& s  x8 e% f! {

4 u+ V1 C$ l/ H# p" ?7 }继续作答第二问，将采样间隔改为0.001s，10ms时间区间内能采样11个点。

5 ^" N' {7 T/ M' y5 m+ D. p9 i; G

• clc
• clear
• close all
• % Analog signal
• Dt = 0.00005;
• t = - 0.005：Dt:0.005;
• xa = exp(-1000 * abs(t));
• % Discrete-time signal
• Ts = 0.001;
• n = -5:5;
• x = exp(-1000*abs(n*Ts));
• %Discrete-time Fourier Transform
• K = 500;
• k = 0:1:K;
• w = pi*k/K;
• X = x*exp(-j*n'*w);
• X = real(X);
• w = [-fliplr(w),w(2:K+1)];
• X = [fliplr(X),X(2:K+1)];
• subplot(2,1,1);
• plot(t*1000,xa);
• xlabel('t in msec');ylabel('x(n)');
• title('Discrete signal');
• hold on
• stem(n*Ts*1000,x);
• gtext('Ts = 1msec');
• hold off
• subplot(2,1,2);
• plot(w/pi,X);
• xlabel('Frequency in pi units');ylabel('X(w)');
• title('Discrete - time Fourier Transform');
  

   
3 ^+ m& P1 c: Z8 J2 m
很明显，这个DTFT7已经变了，也就是发生了频谱混叠。
( q- {. W) @. c5 Z4 ~  x$ s
8 X6 @! O( Z, k
+ J9 ?2 \, z' s, Z' X8 q# e/ w

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