matlab求解极限问题（limit函数的用法）

ulppknot

本文介绍利用MATLAB求解函数或序列的极限问题，顺便介绍limit函数的用法。内容主要包括单变量函数的极限和多变量函数的极限。
) O' U4 W- N1 m% U: r目录
单变量函数的极限
极限的定义
  w7 Z# E) Q2 g6 y/ \7 q普通极限
: Y/ }6 @; {5 u# U0 T% `# Z左极限
右极限
- a( p9 k( q# R) q( s0 W5 ~+ w! o8 J# ymatlab实现方法
应用举例
  x7 I! x, o7 }( q7 \% c多变量函数的极限
matlab实现方法
, q: B* a* p- M/ N, A" V9 _应用举例
+ y* u, d4 I; D2 N8 j单变量函数的极限
; D  t& ^9 E' i. y6 s# {6 N; P5 O极限的定义




matlab实现方法

• L=limit(fun, x, x0)                % //普通极限
• L=limit(fun, x, x0, 'left')        % //左极限
• L=limit(fun, x, x0, 'right')       % //右极限
  7 v1 {8 w" E( |& a& U4 a

" G, Y* s/ O& n, u
& Y; H8 R# i- N9 D4 c' {应用举例
0 ?  h4 U7 w* ]% _% X  Y( E8 l9 u求解极限：


$ Q$ r4 o0 \% }) m& C  f3 w; e3 e​        
4 W0 r' w) S& R; |( T
% [. D. m/ E5 c

• syms x;  f=sin(x)/x;  L=limit(f, x, 0)
  $ M$ ^; C! z% N, f- @# e

求解极限：

/ |* E/ K" ~$ L+ A
( [4 k% v+ h5 A% X
$ I7 H9 z& B/ V( {

• syms x a b
• f = x*(1+a/x)^x*sin(b/x)
• L = limit(f, x, inf)
  ! R7 K4 t7 H: v! T* j" {: q

+ P5 R7 Z5 `/ ]: N0 D0 {. y. A
. K, |  N' Z, S# j7 t2 _; R求解单边极限：
* w7 x' t1 J# l5 G! h

• syms x; L = limit((exp(x^3)-1)/(1-cos(sqrt(x-sin(x)))),x,0,'right')
  $ Z# S0 m! g  q+ a

6 q1 r8 }  l* b* {
4 Y3 h  h7 x7 N* c5 @0 o用下面的语句还可以绘制出 ( − 0.1 , 0.1 ) (-0.1,0.1) (−0.1,0.1)区间的函数曲线。
3 |- l7 ~+ u9 W" M8 G! ?" H

• x0=-0.1:0.001:0.1;
• y0=((exp(x0.^3)-1)./(1-cos(sqrt(x0-sin(x0)))));
• plot(x0, y0, '-', [0], [L], 'o')
  

函数曲线如下：

可见， 对这个例子来说， 即使不用单边极限也能求出函数极限值是12。
! r$ E* _7 J' j) w- f2 ~$ _" Y

• L = limit((exp(x^3)-1)/(1-cos(sqrt(x-sin(x)))),x,0)
  + n- `/ y7 J9 ?+ f8 p* M  K! Q

求函数 t a n t tan t tant 在 π / 2 \pi/2 π/2 点处的左右极限。
. \; G5 p4 W. [1 a! R, }, R, ^. |

• syms t; f=tan(t);
• L1=limit(f,t,pi/2,'left')
• L2=limit(f,t,pi/2,'right')
  6 x* x) B/ ?, `

求下面序列的极限
) A) |& w, U& t( s5 w  z
6 B! J- a$ o9 q# k: ^2 \& R9 `9 r

• syms n positive
• f = n^(2/3)*sin(factorial(n))/(n+1);
• F = limit(f,n,inf)
  0 r9 Q9 V' x$ I5 H, ]( f, k

7 n% k5 K- i* v* B( U
求下面序列函数的极限

• syms x n
• f = n*atan(1/(n*(x^2+1)+x))*tan(pi/4+x/2/n)^n;
• F = limit(f,n,inf)
  9 Y3 v6 |5 Y" j+ |* f

' k; n! t7 h- y6 D# T  w8 L
, `* {1 l4 e- q多变量函数的极限
matlab实现方法
多元函数的极限也可以同样用MATLAB中的limit()函数直接求解。

假设有二元函数 f ( x , y ) f(x,y) f(x,y)， 若想求出二元函数的累极限

则可以嵌套使用limit()函数。例如:

8 e. l) z9 `- V

• L1 = limit(limit(f,x, x0), y, y0)
• L2 = limit(limit(f,y, y0), x, x0)
  4 d+ Z2 i; ~1 V# z

$ p+ J3 J3 [8 W3 x2 ]& c
4 [1 |5 x! j" X! H# K. @如果 x0或y0不是确定的值， 而是另一个变量的函数， 例如 x → g ( y ) x \rightarrow g(y) x→g(y)， 则上述的极限求取顺序不能交换。

" j) k6 X4 R8 ~假设有二元函数 f ( x , y ) f(x,y) f(x,y)， 若想求出二元函数的重极限
% q9 Q/ J, r6 O
: _& v# k9 I6 Y3 K

2 M$ H$ S; O" v理论上不易求解，只有沿所有方向得出相同的极限才可，不可能用累极限方法求解。

/ C( U) k" L+ U2 f2 F* g8 U, p应用举例
试求出二元函数极限值

• syms x a;  syms y positive;
• f = exp(-1/(y^2+x^2))*sin(x)^2/x^2*(1+1/y^2)^(x+a^2*y^2);
• L = limit(limit(f, x, 1/sqrt(y)), y, inf)
    c  Q3 p1 B9 r+ U( A4 Y

, u  |  e. m4 [4 D% j! c# b  r" ^5 R# q) d
重极限的尝试 ，求解重极限

! k3 P6 U0 w) ]

• syms x y;
• f=(x*y/(x^2+y^2))^(x^2);
• L1=limit(limit(f,x,inf),y,inf)
• L2=limit(limit(f,y,inf),x,inf)
• L3=limit(limit(f,x,y^2),y,inf)
• L4=limit(limit(f,y,x^2),x,inf)
  7 o, h* |7 H9 i( o/ N

3 ?6 k! f2 n, z5 y# U1 E3 F) I
' c+ i: @+ F  L# ~1 c! j判断重极限是否存在
# P8 p5 S6 [6 }" Y, A5 V3 y0 I
- z; ^5 n; @# l' t0 c3 M证明极限不存在比求重极限容易的多，可以沿 y = k x y=kx y=kx趋近。

/ }, o8 q9 a8 ]8 ?; r* `

• syms r x y
• f=x*y/(x^2+y^2);
• L=limit(subs(f,y,r*x),x,0)
  

NingW

matlab求解极限问题（limit函数的用法）