线性时不变系统（LTI）对复指数信号的响应（数字信号处理的特征值与特征函数）

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& o8 O* b: a5 j! B7 R序言
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) `: j/ N: x8 ^4 X4 C* r! x一类重要的基本信号

线性时不变系统对复指数信号的响应

$ J2 _1 j( f! p- M7 {% |  J特征函数以及特征值定义：

证明复指数信号是LTI系统的特征函数

简单运用上述性质

序言
复指数信号有相比于其他信号优良的性质，这使得其在数字信号处理以及信号与系统中（统称为信号处理）具有不一般的低位，例如复正弦信号
- p$ x9 |) f' V9 f: z" r5 m
它不仅是离散信号做傅里叶变换时的基函数，同时也是线性时不变系统的特征信号。

看了一下内容后，你就会懂得上面的描述！

一类重要的基本信号
4 p6 l) a7 u+ |; Q: ^' \在研究线性时不变系统时，将信号表示成基本信号的线性组合是很有利的，这些基本信号应该满足下面的两个性质：

" A+ i, Q& \% E2 K" `5 D$ d1、由这些基本信号能够构成相当广泛的一类有用信号；

2、线性时不变系统对每一个基本系统的响应应该十分简单，以使系统对任意输入信号的响应有一个很方便的表达式。
) U; i0 i7 e' m  e+ U
那什么样的基本信号满足上面的条件呢？

2 }; j- c' U  b& W  O# ]1 T由傅里叶分析可知，连续和离散时间复指数信号集都具有上述两个性质，即连续时间的 和离散时间的 ，其中s和z都是复数。

" S. L( z# X1 v1 [线性时不变系统对复指数信号的响应
: x0 e# M/ @. a基于如下事实：
9 q- p* S  `' J" R% d$ m8 t
+ T! F: y8 u: @4 V) U一个线性时不变系统对复指数信号的响应也是同样一个复指数信号，不同的只是幅度上的变化。

连续以及离散时间复指数信号的响应分别是：
, u9 x$ V  E+ n( M2 y


其中， 是复振幅因子，一般来说是复变量s以及z的函数，但是对于变量t来说，它等价于一个常数。

9 v6 m* ?3 m$ ?% h6 ~这就说明了，复指数信号经过线性时不变系统的响应是它本身，即同样也是一个复指数信号，只不过幅度上有所变化。

5 {: C# k, q: V( L$ ~  L1 A6 G! b5 B6 K特征函数以及特征值定义：
一个信号，若系统对该信号的输出响应仅是一个常数（可能是复数）乘以输入，则称该信号为系统的特征函数（eigenfunction），而幅度因子称为系统的特征值（eigenvalue）。
% q  z- y/ j- g& d( y3 A
证明复指数信号是LTI系统的特征函数
下面证明复指数信号确实是LTI系统的特征函数，也就是说复指数信号作为LTI系统的激励，其响应也是复指数信号。
* u" o: _. ^6 z; c+ k
4 A9 H0 J- E/ Y: v# d+ j手稿：

首先是连续复指数信号 ，求其经过线性时不变系统的输出，假设线性时不变系统的系统函数为



2 S2 V4 C7 X3 t5 f* t这就证明了连续复指数信号 是LTI系统的特征函数，而常数 就是与特征函数 有关的特征值。
% H% A. t9 [& l: R6 y1 }
2 h. y- L3 l- [! ?4 V: k; z下面证明离散复指数信号 是LTI系统的特征函数：
2 J8 S( n% [0 F. {7 R- s& F

- G7 v% \  d6 S1 Z$ m* M7 K
同样证明了离散复指数信号 是LTI系统的特征函数，常数H(z)是与特征函数 有关的特征值。

. ?/ u/ I" v! h7 _1 N; O$ Q% E简单运用上述性质
既然，复指数信号作为LTI系统的输入，其输出有这么简便的表示方法，真是造福科学呀！

我们不禁设想如果一个信号都可以表示成复指数信号，那么其输出岂不很简单？事实上也是如此，但多大范围的信号可以用复指数的线性组合来表示呢？
0 g2 W0 y6 x# ]; f2 D: @5 |
( W5 R( C5 C1 ^3 X/ T! s# [. \) a* ]（我们将由这个思路来引出下一篇博文，周期信号的傅里叶级数表示，任意一个周期信号还真能表示成复指数信号的组合形式！）

1 N( L* h7 w* m5 x# v# r下面以手稿的形式，展示上面叙述的简单运用（模拟情况）：
2 ~, `" M0 e1 l+ j" h
8 J8 t  r" v: Z1 Z8 b8 a: G/ m2 e
) I8 V( o- u* q1 g3 b- `
离散的情况如下：

6 F! P0 s9 `: X  q

这其中的 都是复数。

这就说明：

对于连续时间以及离散时间来说，如果一个线性时不变系统的输入能够表示成复指数信号的线性组合，那么系统的输出也能够表示成相同复指数信号的线性组合；并且在输出表示式中的每一个系数可以用输入中响应的系数 分别与特征函数 有关的系统特征值 相乘来求得。

beachsun

线性时不变系统（LTI）对复指数信号的响应（数字信号处理的特征值与特征函数）