Matlab求解线性方程组、非线性方程组

abcde1234

求解线性方程组
solve，linsolve
例：
7 \- E5 x1 \, s$ y& [. yA=[5 0 4 2;1 -1 2 1;4 1 2 0;1 1 1 1];
' m: X" h6 u8 \%矩阵的行之间用分号隔开，元素之间用逗号或空格
B=[3;1;1;0]
X=zeros(4,1);%建立一个4元列向量
X=linsolve(A,B)
$ B- u! K6 m, Z: hdiff（fun，var，n）：对表达式fun中的变量var求n阶导数。

# ~; R6 V; |0 Z1 E# Y/ s! ~, v例如：F=sym（'u(x,y)*v(x,y)'）; %sym（）用来定义一个符号表达式
diff(F); %matlab区分大小写
4 b7 m: j$ U1 P2 J. ~0 L5 Gpretty(ans) %pretty（）：用习惯书写方式显示变量；ans是答案表达式

. o3 N* j$ f/ \  E! Z/ R4 a
+ B. n& Y1 g  Q" L5 P8 r非线性方程求解
1 V' z$ i5 a9 B) J3 O- c+ O( c; hfsolve(fun,x0,options)
其中fun为待解方程或方程组的文件名；
0 T% h0 \, m6 B7 `x0位求解方程的初始向量或矩阵；
option为设置命令参数
& B& r8 V7 T/ p1 p1 s建立文件fun.m：
function y=fun(x)
, E+ @7 Y- ]; ]# z! K# Ey=[x(1)-0.5*sin(x(1))-0.3*cos(x(2)), ...
x(2) - 0.5*cos(x(1))+0.3*sin(x(2))];
7 F* f/ n: V3 M# {
>>clear;x0=[0.1,0.1];fsolve(@fun,x0,optimset('fsolve'))
注：
...为续行符
! e* u# J# F- O% @m文件必须以function为文件头，调用符为@；文件名必须与定义的函数名相同；fsolve（）主要求解复杂非线性方程和方程组，求解过程是一个逼近过程。

. I, n6 w: o% r' W* g5 X
+ Y6 }( e. n+ \Matlab求解线性方程组
AX=B或XA=B
在MATLAB中，求解线性方程组时，主要采用前面章节介绍的除法运算符“/”和“\”。如：
X=A\B表示求矩阵方程AX＝B的解；
4 `& Y/ e2 g/ k/ G( cX＝B/A表示矩阵方程XA=B的解。
对方程组X＝A\B，要求A和B用相同的行数，X和B有相同的列数，它的行数等于矩阵A的列数，方程X＝B/A同理。
) c- C: D; |) ]' u
3 n: }8 g0 F# V, e6 D* M5 c: R( R3 D- P如果矩阵A不是方阵，其维数是m×n，则有：
$ v! Q8 W& [" G0 Z5 h# bm＝n 恰定方程，求解精确解；
m>n 超定方程，寻求最小二乘解；
! A2 a- c1 ^* A3 D+ ^m<n 不定方程，寻求基本解，其中至多有m个非零元素。
& _1 G3 I& [6 b针对不同的情况，MATLAB将采用不同的算法来求解。

( X( a0 }; i$ ^( A( S
一．恰定方程组
3 @; M2 P) B" W: X恰定方程组由n个未知数的n个方程构成，方程有唯一的一组解，其一般形式可用矩阵，向量写成如下形式：
Ax=b 其中A是方阵，b是一个列向量；
: d0 ?7 U1 Z3 q+ s' N3 p6 v在线性代数教科书中，最常用的方程组解法有：
（1）利用cramer公式来求解法；
（2）利用矩阵求逆解法，即x=A-1b；
（3）利用gaussian消去法；
（4）利用lu法求解。
一般来说，对维数不高，条件数不大的矩阵，上面四种解法所得的结果差别不大。前三种解法的真正意义是在其理论上，而不是实际的数值计算。MATLAB中，出于对算法稳定性的考虑，行列式及逆的计算大都在lu分解的基础上进行。
在MATLAB中，求解这类方程组的命令十分简单，直接采用表达式：x=A\b。
在MATLAB的指令解释器在确认变量A非奇异后，就对它进行lu分解，并最终给出解x；若矩阵A的条件数很大，MATLAB会提醒用户注意所得解的可靠性。
* {5 s& n; U# C如果矩阵A是奇异的，则Ax=b的解不存在，或者存在但不唯一；如果矩阵A接近奇异时，MATLAB将给出警告信息；如果发现A是奇异的，则计算结果为inf，并且给出警告信息；如果矩阵A是病态矩阵，也会给出警告信息。
% a; g3 u" ?" L$ |: C注意：在求解方程时，尽量不要用inv(A)*b命令，而应采用A\b的解法。因为后者的计算速度比前者快、精度高，尤其当矩阵A的维数比较大时。另外，除法命令的适用行较强，对于非方阵A，也能给出最小二乘解。

二．超定方程组
! R* t0 o' @7 n7 J; p对于方程组Ax=b，A为n×m矩阵，如果A列满秩，且n>m。则方程组没有精确解，此时称方程组为超定方程组。线性超定方程组经常遇到的问题是数据的曲线拟合。对于超定方程，在MATLAB中，利用左除命令（x=A\b）来寻求它的最小二乘解；还可以用广义逆来求，即x=pinv(A),所得的解不一定满足Ax=b，x只是最小二乘意义上的解。左除的方法是建立在奇异值分解基础之上，由此获得的解最可靠；广义逆法是建立在对原超定方程直接进行householder变换的基础上，其算法可靠性稍逊与奇异值求解，但速度较快；
, z8 j- t5 _' |9 f: F% b【例7】
9 Z' p: y5 \3 r$ H% y3 F求解超定方程组
, ~' X) U) Y# ]6 o. \A=[2 -1 3;3 1 -5;4 -1 1;1 3 -13]
A=
2 -1 3
3 1 -5
4 -1 1
" C: U6 R- A! c1 3 -13
5 ^: ~( v+ q& {. g8 ob＝[3 0 3 -6]’;
rank(A)
ans=
3
6 L9 U# ^1 p0 F( q9 sx1=A\b
x1=
. [% i& p1 x7 B9 g1.0000
2.0000
1.0000
. K) C4 W  {2 r/ i4 N, Nx2=pinv(A)*b
# X4 y, d6 G( E4 n: h. G% bx2=
1.0000
4 N& X% J  u! s: u5 m$ e2.0000
1.0000
: l8 g" {, d# b& nA*x1-b
  h7 _) b- x$ A2 Y7 a7 O! [# U3 Yans=
1.0e-014
-0.0888
-0.0888
-0.1332
0
% y" X, m, w" z4 w可见x1并不是方程Ax=b的精确解，用x2=pinv(A)*b所得的解与x1相同。
, b' r4 W8 m! W- ~$ t) L
  ?+ y  s# |  }! O8 T' Q三．欠定方程组
欠定方程组未知量个数多于方程个数，但理论上有无穷个解。MATLAB将寻求一个基本解，其中最多只能有m个非零元素。特解由列主元qr分解求得。
! U+ H: r- L7 h1 q/ @【例8】
解欠定方程组
& B9 ~- k$ ^) T" @. o! F6 \. eA＝[1 -2 1 1;1 -2 1 -1;1 -2 1 5]
A=
2 Y; M  I+ v* ?( U; _- [( }; i! H1 -2 1 1
1 -2 1 -1
1 -2 1 -1
1 -2 1 5
0 {  W8 C+ ], K" ]1 i0 S  ~6 \+ vb=[1 -1 5]’
4 @. h0 m& }6 px1=A\b
Warning:Rank deficient,rank=2 tol=4.6151e-015
% S/ s* j' i/ gx1=
& U0 s; v/ ~- }- G6 }0
( n& e6 n/ i) p6 @1 S/ f-0.0000
: W1 m% J2 C6 }) t0
, k0 \0 M' W( [. X" f5 i1.0000
; n6 e+ N: k) @x2=pinv(A)*b
3 [( s  J+ S$ C7 c/ Ux2=
( h, ]! K* x9 G* G" Z+ \; u# u0
: ~* N! X1 E+ p- K2 J5 r-0.0000
0.0000
: s# ?1 O, F- Y( C2 _' z1.0000

四．方程组的非负最小二乘解
, M, C5 i# n& I$ x/ w( a$ T& \在某些条件下，所求的线性方程组的解出现负数是没有意义的。虽然方程组可以得到精确解，但却不能取负值解。在这种情况下，其非负最小二乘解比方程的精确解更有意义。在MATLAB中，求非负最小二乘解常用函数nnls，其调用格式为：
（1）X=nnls(A,b)返回方程Ax=b的最小二乘解，方程的求解过程被限制在x 的条件下；
（2）X=nnls(A,b,TOL)指定误差TOL来求解，TOL的默认值为TOL=max(size(A))*norm(A,1)*eps，矩阵的－1范数越大，求解的误差越大；
（3）[X,W]=nnls(A,b) 当x(i)=0时，w(i)<0；当下x(i)>0时，w(i)0,同时返回一个双向量w。
) e: V1 B5 G- c【例9】求方程组的非负最小二乘解
A=[3.4336 -0.5238 0.6710
-0.5238 3.2833 -0.7302
' T* Z& s( z! z& c& q7 [0.6710 -0.7302 4.0261];
; L' T5 {% t1 y  {0 Qb=[-1.000 1.5000 2.5000];
9 S9 T( Z' \5 V! }! w[X,W]=nnls(A,b)
- z6 _, s5 A8 rX=
0
) |! o; q6 s$ ?, A1 `0.6563
0.6998
W=
5 A9 x7 q* i8 r+ ^6 {0 ]-3.6820
-0.0000
-0.0000
x1=A\b
5 p0 H9 \0 q' y; q! W4 r9 p; _' ox1=
-0.3569
; l- A5 R: M/ ~: h& e% F2 r0.5744
0.7846
' z: G2 c5 X2 Q) }4 {( m+ r% P6 w$ x4 bA*X-b
ans=
1.1258
- M+ m: X1 _; m# K, D! ?0.1437
% ]9 v) l: l3 M-0.1616
5 ]. I0 A: a+ o( z  {2 H1 KA*x1-b
! u$ _6 }; Q- d6 ~+ v9 J, S" }ans=
4 a) \' X* c8 k( e( z1.0e-0.15
-0.2220
. M& u9 k* L% H8 O: ^( W. r0.4441
. X+ s5 E+ i; ^4 P4 Z0 ?0

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