控制图原理

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控制图原理

第二章 控制图原理
2.1 什么是控制图？

2.2 控制图的重要性

2.3 产品质量的统计观点

2.4 控制图原理

2.5 控制图原理的第一种解释

2.6 控制图原理的第二种解释

2.7 控制图是如何贯彻预防原则的

2.8 稳态

2.9 两种错误

2.10 3s 方式

2.11 常用休图

2.1 什么是控制图？

控制图（control chart）是对过程（process）质量加以测定、记录并从而进行控制管理的一种用统计方法设计的图。图上有中心线（CL，Central Line）、上控制界限（UCL，Upper Control Limit）和下控制界限（LCL，Lower Control Limit），并有按时间顺序抽取的样本统计量数值的描点序列，参见图 2.1-1。UCL、CL 与 LCL 统称为控制线（control lines）。若控图中的描点落在 UCL 与LCL 之外或描点在 UCL 与 LCL 之间的排列不随机，则表明过程异常。世界上第一张控制图是美国休哈特在 1924 年 5 月 16 日提出的不合格品率 p 控制图。

2.2 控制图的重要性

控制图的重要性体现在下列各点：

1、是 SPC 与 SPCD 的重要工具，是质量管理七个工具的核心。

2、1984 年日本名古屋工业大学调查了 115 家日本各行各业的中小型工厂。结果发现平均每家工厂采用 137 张控制图。这个数字对于推行 SPC 与SPCD 是有一定的参考意义的。可以说，工厂中使用控制图的张数在某种意义上反映了管理现代化的程度。

2.3 产品质量的统计观点
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产品质量的统计观点是现代质量管理的基本观点之一。推行这样的观点是现代的质量管理，否则就是传统的质量管理。

产品质量的统计观点包括下列内容：

（1）产品质量具有变异性。

这是众所周知的事实，但在工业革命以后，人们一开始误认为：现在由机器来进行生产，生产的产品应该是一样的。经过一百多年的实践，随着测量理论与测量工具的进步，人类才终于认识到：尽管是机器生产，但产品质量仍然具有变异性，公差制度的建立就是承认这一点的一个标志。

（2）产品质量的变异具有统计规律性：

产品质量的变异也是有规律性的，但它不是通常的确定性现象的确定性规律，而是随机现象的统计规律。

所谓确定性现象就是在一定条件下，必然发生或不可能发生的事件（Event），如在一个大气压力（760mm）、常温 （0℃〈 t〈100℃）下，H2O 一事实上处于液体状态（必然事件），而不处于气体或固体状态（不可能事件）。但在质量方面我们经常遇到的却是随机现象，即在一定条件下事件可能发生也可能不发生的现象；如我们无法预知电灯泡的寿命一定是 1000 小时以上，但在大量统计的基础上我们可以说电灯泡的寿命有 80% 的可能大于 1000 小时，这是对随机现象的一种科学的描述。

对于随机现象通常应用分布（Distribution）来描述，分布可以告诉我们：变异的幅度有多大，出现这么大幅度的可能性（概率，probability）有多大，这就是统计规律。计量特性值最常见的是正态分布（normal distribution），参见图2.3-1。计件特性值最常见的是二项分布（binomial distribution），参见图2.3-2。计点特性值最常见的是泊松分布（poisson distribution），参见图2.3-3。计件值与计点值又统称计数值。常握这些规律可以保证和提高产品质量。

2.4 控制图原理
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2.4.1 基础知识——直方图作法

示例：老师傅用车床车制机螺丝，要求其直径为 10 毫米。为了了解老师傅的加工质量，抽查他加工好的机螺丝 100 个，测得其直径数据 100 个如表 2.4.1-1 所示。直观来看，看不出任何规律来，需要应用统计方法来加以处理，即分组，统计，作直方图。具体步骤如下：

表2.4.1-1 螺丝直径数据

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10.24	9.94	10.00	9.99	9.85	9.94	10.42	10.30	10.36	10.09
10.21	9.79	9.70	10.04	9.98	9.81	10.13	10.21	9.84	9.55
10.01	10.36	9.88	9.22	10.01	9.85	9.61	10.03	10.41	10.12
10.15	9.76	10.57	9.76	10.15	10.11	10.03	10.15	10.21	10.05
9.73	9.82	9.82	10.06	10.42	10.24	10.60	9.58	10.06	9.98
10.12	9.97	10.30	10.12	10.14	10.17	10.00	10.09	10.11	9.70
9.49	9.97	10.18	9.99	9.89	9.83	9.55	9.87	10.19	10.39
10.27	10.18	10.01	9.77	9.58	10.33	10.15	9.91	9.67	10.10
10.09	10.33	10.06	9.53	9.95	10.39	10.16	9.73	10.15	9.75
9.79	9.94	10.09	9.97	9.91	9.64	9.88	10.02	9.91	9.54

步骤1：找出最大值和最小值。从表 2.4.1-1 中可见最大值为 10.60，最小值为 9.22。故

数据分散宽度=（最大值 - 最小值）=10.60 - 9.22 = 1.38

步骤2：确定组数。设 n 为数据个数，组数 k 可按表 2.4.1-2 或按经验公式：k 进行估计，这些都是经验值。其实，从图 2.4.1-1 也可看出：组数 k=3，图形太粗糙，组数 k=12，分组过多，直方图的直方之间已经出现缺口，故图中组数 k 在 3-12 之间最合适。本例数据个数 n=100，故试取组数 k=7。

表2.4.1-2 数据组数的选取

数据个数n	组数k
n〈50	5-7
50 ≤n〈100	6-10
100 ≤n〈250	7-12
n ≥ 250	10-20

步骤3：确定组距。 本例组距：

h =（最大值 - 最小值）/ 组数 = 1.38 / 7 = 0.197 ≈0.2

步骤4：确定各组的边界。 为了使得所有数据不可能落在组界上，并使最小值 9.22 落在第一组内，故取第一组的下限等于最小值减去最小测量单位的一半（在本例即 0.01 / 2 = 0.005）。于是

第一组的下限 = 9.22 - 0.005 = 9.215

第一组的上限 = 第一组的下限 + 组距

= 9.215 + 0.2 = 9.415

其余各组以此类推，参见表 2.4.1-3。可见最大值 10.60 已包括在第七组内。

步骤5：确定各组的频数。 将数据表中的各个数据按其数值大小分配到各个组中去。从表 2.4.1-1 得出频数分布表表 2.4.1-3。

表2.4.1-3 频数分布表

组号	频数
第一组：9.215 - 9.415	1
第二组：9.415 - 9.615	8
第三组：9.615 - 9.815	14
第四组：9.815 - 10.015	29
第五组：10.015 - 10.215	32
第六组：10.215 - 10.415	12
第七组：10.415 - 10.615	4

步骤6：作直方图。 根据表 2.4.1-3 ，在横轴上以每组对应的组距线段为底，以该组的频数为高，作出 7 个矩形所组成的直方图（histogram），参见图 2.4.1-2。

步骤7：对直方图的观察。 本例直方图的形状特点是：中间高、两头低、左右对称。

2.4.2 正态分布的基础知识。

1、若数据越多，分组越密。则图 2.4.1-2 的直方图也越趋近一条光滑曲线，如图 2.4.2-1 所示。它实质上即分布。连续值最常见的分布为正态分布，其特点为中间高、两头低、左右对称并延伸到无穷。

2、正态分布是一条曲线，讨论起来不方便，故用其两个参数：平均值（ m，mean value）与标准差（s，standard deviation）来表示。参见图 2.4.2-2 与图 2.4.2-3。

由图2.4.2-2 可见，若平均值（m）增大，则正态曲线往右移动。

由图 2.4.2-3 可见，标准差（s）越大，则加工质量越分散。注意，标准差（s）与质量有着密切的关系。

正态分布有一个事实在质量管理中经常要用到，即不论m与s 取值为何，产品质量特性值落在［m-3 s，m+3 s］范围内的概率为99.73%，这是数学计算的精确值，参见图 2.4.2-4。

99.73% 这个数值经常要用到，应该牢牢记住！

于是产品质量特性值落在[m - 3s，m+3s ] 范围外的概率为 1-99.73% = 0.27%，而落在大于 m+3s 一侧的概率为 0.27% / 2 = 0.135% ≈1‰。休哈特就是根据这一点发明了控制图。

3、控制图的形成。 首先把图 2.4.2-4 按顺时钟方向转 90� ，如图 2.4.2-5（a）所示。由于图中数值上小下大不符合常规，故再将图 2.4.2-5（a）上下翻转 180� ，成为图 2.4.2-5（b），这样就得到了一张控制图，具体说是单值（x）控制图，参见图 2.4.2-6。

2.5 控制图原理的第一种解释

为了控制加工螺丝的质量，每隔 1 小时随机抽取一个车好的螺丝，测量其直径，将结果描点在图  2.4.2-6 中，并用直线段将点子连接，以便观察点子的变化趋势。由图2.4.2-6 可看出，前 3 个点子都在控制界限内，但第四个点子却超出了 UCL ，为了醒目，把它用小圆圈圈起来，表示第四个螺丝的直径过分粗了，应引起注意。现在对这第四个点子应作什么判断呢？摆在我们面前的有两种可能性：

1、若过程正常，即分布不变，则点子超过 UCL 的概率只有 1‰  左右。

2、若过程异常，譬如设异常原因为车刀磨损，则随着车刀的磨损，加工的螺丝将逐渐变粗，m逐渐增大，于是分布曲线上移，参见图 2.4.2-6 ，点子超过 UCL 的概率将大为增加，可能为 1‰ 的几十、几百倍。

现在第四个点子已经超出 UCL，问在上述 1、2 两种情况中，到底是哪种情况造成的？

由于情况 2 发生的可能性要比情况 1 大几十、几百倍，故我们认为上述异常是由情况 2 造成的。于是，得出结论：

点出界就判异。以后要把它当成一条规定来记住！

用数字语言来说，这就是小概率事件原理：小概率事件实际上不发生，若发生即判断异常。

2.6 控制图原理的第二种解释
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现在换个角度再来研究一下控制图原理。根据来源的不同，质量因素可分为人、机、料、法、环 5 个方面。但从对产品质量的影响大小来分，质量因素可分为偶然因素（简称偶因）与异常因素（简称异因）两类。偶因是始终存在的，对质量的影响微小，但难以除去，例如机床开动时的轻微振动等。异因则有时存在，对质量影响大，但不难除去，例如车刀磨损等。

偶因引起质量的偶然波动（简称偶波），异因引起质量的异常波动（简称异波）。偶波是不可避免的，但对质量的影响微小，故可把它看作背景噪声而听之任之。异波则不然，它对质量的影响大，且采取措施不难消除，故在过程中异波及造成异波的异因是我们注意的对象，一旦发生，就应该尽快找出，采取措施加以消除，并纳入标准化，保证它不再出现。

偶波与异波都是产品质量的波动，如何能发现异波的到来呢？经验与理论分析表明，当生产过程中只存在偶波时，产品质量将形成某种典型分布。例如，在车制螺丝的例子中形成正态分布。如果除去偶波外还有异波，则产品质量的分布必将偏离原来的典型分布。因此，根据典型分布的是否偏离就能判断异波，也即异因的是否发生，而典型分布的偏离可由控制图检出。在上述车制螺丝的例子中，由于发生了车刀磨损的异因，螺丝直径的分布偏离了原来的正态分布而向上移动，参见图 2.4.2-6 于是点子超出上控制界的概率大为增加，从而点子频频出界，表明存在异波。控制图上的控制界限就是区分偶波与异波的科学界限。

根据上述，可以说休哈特控制图的实质是区分偶然因素与异常因素两类因素（注意，别的控制图，例如选控图就并非如此）。

2.7 控制图是如何贯彻预防原则的？
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情况1：应用控制图对生产过程进行监控，如出现图 2.7.1-1 的上升倾向，显然有问题，故异因刚一露头，即可发现，于是可及时采取措施加以消除，这当然是预防。但在现场出现这种情况是不多的。

情况2：更经常地是控制图上点子突然出界，显示异常。 这时必须按照下列二十个字去做：

“查出异因，采取措施，保证消除，不再出现，纳入标准”

上述20 个字要牢牢记住！这 20 个字首先是张公绪总结的，戏称之为 20 字真经，取唐僧取经要取真经之意。每执行一次这 20 个字，就消灭一个异因，对此异因而言，就起到了预防作用。不照这 20 字真经去做，控制图形同虚设，就不必搞控制图。因此，“点出界就判异”这 6 个字与 20 字真经一共 26 个字是必须连起来记住的。

控制图的作用是及时告警，只在控制图上描描点子，是不可能起到预防作用的。要贯彻预防作用就必须执行上述 20 字真经。从这点出发，必须强调要求现场第一线的工程技术人员来推行 SPC 与 SPCD ，把它作为日常工作的一部分，而质量管理人员则应该起到组织、协调、监督、鉴定与当好领导参谋的作用。

注意：控制图只能及时告警；真正起到预防作用 的是贯彻二十字真经。

2.8 稳态
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1、稳态（state in control ）即过程中只有偶因而没有异因的状态。

2、稳态是生产追求的目标，因为在稳态下，有几大好处：

（1）对产品的质量有完全的把握（通常，控制图的控制界限都在规格界限之内，故至少有 99.73% 的产品是合格品）。

（2）生产也是最经济的（偶因和异因都可以造成不合格品，但由偶因造成的不合格品极少，主要是由异因造成的。故在稳态下所产生的不合格品最少，生产最经济。）

（3）稳态下特征值的变异就是最小的。

（4）SPC 中用稳态作为控制。

3、通过对过程不断进行调整，稳态总是可以达到的，参见图 2.8-1。

图中每循环一次就消灭一个异因。由于异因只有有限个，故经过有限次循环后，就可以消灭全部异因，而达到稳态。

4、控制图的第三种解释：

虽然质量变异不能完全消灭，但控制图与 20 字真经是使得质量变质量成为最小的有效工具。

5、推行 SPC 为什么能够保证实现全过程的预防？

一道工序达到稳态称为稳定工序，道道工序都达到稳态称为全稳生产线，SPC 所以能够保证实现全过程的预防靠的就是全稳生产线。

2.9 两种错误

控制图对过程的监控是通过抽查来进行的，很经济。抽查就不可能不犯错误。

2.9.1 什么是两种错误（two kinds of error）？

1、第一种错误（error of the first kind）：虚发警报（false alARM）。

生产正常而点子超出界外，根据点出界就判异，于是就犯了第一种错误。通常犯第一种错误的概率记为 a，参见图 2.9.1-1。

2、第二种错误（error of the second kind）：漏发警报（alarm missing ）。

生产异常，但仍会有部分产品，其质量特性值数值大小位于控制界界内。如果抽取到这样的产品，打点就会在界内，从而犯了第二种错误。通常犯第二种错误的概率记以 b，参见图 2.9.1-1。

2.9.2 如何减少两种错误所造成的损失？

1、控制图共三根线，一般正态分布的 CL 居中不动，而且 UCL 与 LCL 互相平行，故只能改动 UCL 与 LCL 二者之间的间隔距离：

2、解决办法是：

使两种错误造成的总损失最小 � 确定间距 � 经验证明 3s 方式较好。

2.10 3s 方式
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1、3s 方式的公式

UCL = m + 3s

CL = m

LCL = m - 3s

式中，m、s 为统计量的总体参数。

2、这是休哈特控制图的总公式，真正应用时需要经过下列两个步骤：（1）具体化，（2）对总体参数进行估计。

3、注意，规格界限不能用作控制界限。规格界限用以区分合格与不合格，控制界限则用以区分偶波与异波，二者完全是两码事，不能混为一谈。参见实例 2.10-1。

[ 实例 2.10-1]：某企业根据现场数据进行计算所得到的控制图如图 2.10-1 左侧图形所示，但该企业又把上级下达指标作为 UCL 另搞了一张图（图 2.10-1 右侧图形），而且上级下达指标的数值恰巧与左侧控制图的CL 水平相近。试分析：图 2.10-1 右侧图形是否还有控制图的作用？

解：我们采用分布的观点分析如下：将左侧控制图的正态分布的图形平移到右侧图中，立即可看出，在生产正常的情况下，点子超出 UCL 的概率有 50% 之多，完全谈不上小概率事件，当然也就用不上小概率事件原理。故图 2.10-1 右侧的图形没的控制图的作用，而只是一张反映上级下达指标完成情况的显示图而已。

2.11 常用休图

常用休图参见表 2.11-1 （国标 GB4091），从表 2.11-1中可见，实质上只有下列四种控制图：x - s 图，x-Rs 图，pnT 图与cT 图。

PowerPoint 插图 2-20：

表 2.11-1 常用控制图表

分布	控制图代号	控制图名称	备注
正态分布（计量值）	x - R x - s ~ x - R x - Rs	均值— 极差控制图 均值—标准差控制图 中位数—极差控制图 单值—移动极差控制图	x -R 图可由 x - s 图代替。 ~ x - R 图可淘汰。 故只剩下x - s 图与 x - R[size=7.0000pt]s 图
二项分布（计件值）	p pn	不合格品率控制图 不合格品数控制图	左列两图可由通用不合格品数 pn[size=7.0000pt]T 图代替。
泊松分布（计点值）	u c	单位不合格数控制图 不合格数控制图	左列两图可由通用不合格数c[size=7.0000pt]T图代替。

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