Matlab 矩阵的应用

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一、稀疏矩阵

对于一个 n 阶矩阵，通常需要 n2 的存储空间，当 n 很大时，进行矩阵运算时会占用大量的内存空间和运算时间。在许多实际问题中遇到的大规模矩阵中通常含有大量0元素，这样的矩阵称为稀疏矩阵。Matlab支持稀疏矩阵，只存储矩阵的非零元素。由于不存储那些”0″元素，也不对它们进行操作，从而节省内存空间和计算时间，其计算的复杂性和代价仅仅取决于稀疏矩阵的非零元素的个数，这在矩阵的存储空间和计算时间上都有很大的优点。
7 o. R3 H. |5 ], v" p! O矩阵的密度定义为矩阵中非零元素的个数除以矩阵中总的元素个数。对于低密度的矩阵，采用稀疏方式存储是一种很好的选择。
' B  W5 r/ p3 ~4 [$ O, {
1、稀疏矩阵的创建
(1) 将完全存储方式转化为稀疏存储方式 函数A=sparse(S)将矩阵S转化为稀疏存储方式的矩阵A。当矩阵S是稀疏存储方式时，则函数调用相当于A=S。 sparse函数还有其他一些调用格式： sparse(m,n)：生成一个m*n的所有元素都是0的稀疏矩阵。 sparse(u,v,S)--：u,v,S是3个等长的向量。S是要建立的稀疏矩阵的非0元素，u(i)、v(i)分别是S(i)的行和列下标，该函数建立一个max(u)行、max(v)列并以S为稀疏元素的稀疏矩阵。 此外，还有一些和稀疏矩阵操作有关的函数。full(A)：返回和稀疏存储矩阵A对应的完全存储方式矩阵。
(2) 直接创建稀疏矩阵 S=sparse(i,j,s,m,n)，其中i 和j 分别是矩阵非零元素的行和列指标向量，s 是非零元素值向量，m，n 分别是矩阵的行数和列数。
( e7 O; d8 t' N% R(3) 从文件中创建稀疏矩阵 利用load和spconvert函数可以从包含一系列下标和非零元素的文本文件中输入稀疏矩阵。例：设文本文件 T.txt 中有三列内容\begin{bmatrix}1\; 3 \; 5\\ 2 \; 4 \; 6\\ 2 \; 5 \; 8\\ 3 \; 6 \; 9\end{bmatrix}，第一列是一些行下标，第二列是列下标，第三列是非零元素值。load T.txt S=spconvert(T)。
(4) 稀疏带状矩阵的创建 S=spdiags(B,d,m,n) 其中m 和n 分别是矩阵的行数和列数；d是长度为p的整数向量，它指定矩阵S的对角线位置；B是全元素矩阵，用来给定S对角线位置上的元素，行数为min(m,n)，列数为p 。
(5) 其它稀疏矩阵创建函数
  R+ b3 [* K: @; ^, RS=speye(m,n)
5 s6 d8 }; v3 q, }. MS=speye(size(A)) % has the same size as A
S=buchy % 一个内置的稀疏矩阵（邻接矩阵）
等等

2、稀疏矩阵的运算
0 K* s) K: ~3 ^' \
: r; h1 _! ^, S稀疏存储矩阵只是矩阵的存储方式不同，它的运算规则与普通矩阵是一样的，可以直接参与运算。所以，Matlab中对满矩阵的运算和函数同样可用在稀疏矩阵中。结果是稀疏矩阵还是满矩阵，取决于运算符或者函数。当参与运算的对象不全是稀疏存储矩阵时，所得结果一般是完全存储形式。
/ @6 _9 S; O" V. ?9 z" R( _
/ m5 o% U# s) r3 i2 |& T( R* T* B3、其他

' ~" H& L2 H$ Q. _* w(1) 非零元素信息
  g3 _/ A+ k9 E/ k' dnnz(S) % 返回非零元素的个数
& j! P& o4 u1 u- rnonzeros(S) % 返回列向量，包含所有的非零元素
nzmax(S) % 返回分配给稀疏矩阵中非零项的总的存储空间
: p5 A7 L# m; U: n- p' Q# f(2) 查看稀疏矩阵的形状 spy(S)
(3) find函数与稀疏矩阵
[i,j,s]=find(S)
# O' k8 J7 q3 t- N' Z2 b9 G[i,j]=find(S)
" W1 [* m7 O3 Q$ v  T返回 S 中所有非零元素的下标和数值，S 可以是稀疏矩阵或满矩阵。
# v# W; x. V7 l" k8 w
二、有限域中的矩阵
9 P5 z5 W5 R+ [5 q: H
% X  U$ V. E' }% }8 ^5 k% Q3 ?信道编码中的矩阵运算一般都是基于有限域的，因此需要将普通矩阵转换为有限域中的矩阵，使其运算在有限域GF(m)中。可以通过命令gf(data,m)将数据限制在有限域中，这样如矩阵求逆、相加、相乘等运算就均是基于有限域GF(m)的运算了。

那么如何将有限域元素转换为double型的呢？可以利用命令 double(data.x) 其中x是后缀。关于有限域的详细情况请参考 这里。
& W0 M: x3 z( B$ M! J& Y. m
) _  _: P" r! v  L0 U: N
3 |! P' m( b! U/ g5 d解决方法：用\;代替&。估计这个问题是Latex Math插件的bug。呵呵，不知道有没有更好的解决办法。

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稀疏存储矩阵只是矩阵的存储方式不同，它的运算规则与普通矩阵是一样的，可以直接参与运算

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矩阵的密度定义为矩阵中非零元素的个数除以矩阵中总的元素个数