矩阵A-pascal(4)的 Cholesky怎么分解？

刘工在线

矩阵A-pascal(4)的 Cholesky怎么分解,


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RNGxiaohu

Cholesky分解法又叫平方根法，是求解对称正定线性方程组最常用的方法之一。对于一般矩阵，为了消除LU分

解的局限性和误差的过分积累，采用了选主元的方法，但对于对称正定矩阵而言，选主元是不必要的。

定理：若对称正定，则存在一个对角元为正数的下三角矩阵，使得成立。

Cholesky分解的条件(这里针对复数矩阵)

一、Hermitian matrix（埃尔米特矩阵）：矩阵中的元素共轭对称（复数域的定义，类比于实数对称矩阵）。

Hermitian意味着对于任意向量x和y，(x*)Ay共轭相等

二、Positive-definite：正定（矩阵域，类比于正实数的一种定义）。正定矩阵A意味着，对于任何向量x，(x^T)Ax总是大于零(复数域是(x*)Ax>0)

Cholesky分解的形式

可记作A = L L*。其中L是下三角矩阵。L*是L的共轭转置矩阵。

可以证明，只要A满足以上两个条件，L是唯一确定的，而且L的对角元素肯定是正数。反过来也对，即存在L把A分解的话，A满足以上两个条件。

如果A是半正定的（semi-definite），也可以分解，不过这时候L就不唯一了。

特别的，如果A是实数对称矩阵，那么L的元素肯定也是实数。

另外，满足以上两个条件意味着A矩阵的特征值都为正实数，因为Ax = lamda * x,

(x*)Ax = lamda * (x*)x > 0, lamda > 0

行者～ABC

Cholesky分解是把对称正定矩阵A表示为上三角矩阵R的转置与其本身的乘积,即A=RTR。在MATLAB中用函数cholO来计算Cholesky分解。

mnfvbnk

RNGxiaohu 发表于 2021-10-19 13:22
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就是这个流程

mnfvbnk

由于矩阵的这些特殊的分解形式，
4 |6 t. s+ R# m& d8 U, |一方面反映了原矩阵的某些数值特性，如矩阵的秩、特征值、奇异值等；
另一方面矩阵分解方法与过程往往为某些有效的数值计算方法和理论分析提供了重要的依据，因而使其对分解矩阵的讨论和计算带来极大的方便，这在矩阵理论研究及其应用中都有非常重要的理论意义和应用价值。
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