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标题: matlab实现数值积分 【二】（integral函数） [打印本页]

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作者: uperrua    时间: 2021-2-5 10:20
标题: matlab实现数值积分 【二】（integral函数）

如果被积函数的数学表达式已知，但解析解不易求，可使用数值积分的方法求解积分。
目录
; h$ {/ v% N* y* z4 n# b函数调用格式
5 `* G4 s: @" v应用举例
例1：求解数值解并检验其精度
例2：分段函数积分
例3：与梯形法比较
例4：大范围积分
! @0 [5 H: l# \) j; C( j" P1 x例5：广义积分的数值计算
) W& J( C( [6 g3 e, u. ^例6：含参函数数值积分
$ o- u1 g. x0 _7 U

0 d( I- @% x1 a' D( m# v+ A8 X函数调用格式
% Z/ I: b- v: h

1 a( J  J. C* y% }6 r
3 a1 y$ T0 p6 H
0 n6 y% U/ N. ^( a0 F应用举例
+ L2 ?/ Q9 k" [: Y! T  l例1：求解数值解并检验其精度
# N4 W; X0 t* g7 P计算积分
& M( c8 R6 A+ x( X5 F9 A7 ?

& r& H6 I% K" N! ]( p

• f = @(x) 2/sqrt(pi)*exp(-x.^2);  % //匿名函数
• y = integral(f,0,1.5)  % //数值求解
  

结果为  y=0.96610514647531
/ p/ F" M8 U+ s# s# K) y$ y/ I: G1 `
求解解析解：
: ~% X) \1 p9 lsyms x, y0=vpa(int(2/sqrt(pi)*exp(-x^2),0,1.5),60)
) E% K+ d- V/ t结果为：y0=0.96610514647531

; C6 `' J% |% r6 H/ B结论：可以看出，默认选项下数值解函数integral()便可保证高精度的数值解。


例2：分段函数积分

4 k7 w9 f7 v8 v. }9 O/ o6 t3 j6 K8 s1 Y给定如下分段函数：

! M# a% g2 m( F7 u" C计算积分值 。

' x! T+ p# x+ z, C3 m

• 绘制 f ( x )填充图
  

• x=[0:0.01:2, 2+eps:0.01:4,4];
• y=exp(x.^2).*(x<=2)+80./(4-sin(16*pi*x)).*(x>2);
• x=[eps,x,4-eps]; y=[0,y,0]; fill(x,y,'g') %//绘制填充图
    w5 j/ m7 p+ d4 X% a; S6 F

" k/ z9 a7 h: V' J. g

• 求解与验证
  ( P: r, z5 D  n

1 p+ _% u# K& K. D2 G( @
; [/ Q4 m) [4 h, D

• f = @(x) exp(x.^2).*(x<=2)+80./(4-sin(16*pi*x)).*(x>2);
• I1 = integral(f,0,4)   %//数值解
• I2 = integral(f,0,4,'RelTol',1e-20)   %//提高精度
• syms x
• f = piecewise( x<=2, exp(x^2),  x>2, 80/(4-sin(16*pi*x)) );
• I0 = vpa(int(f,x,0,4))   %//解析解
  . m/ I) L  ^/ D5 j

& `0 r- T/ a' f' c+ Y结果为：
" C2 ^" c9 X  R, j7 z% M6 Q. ^- e
& }- G- Y: h: g6 h; k2 L( }


例3：与梯形法比较

重新计算积分
9 v5 L0 E1 C* F' _9 Y$ T' Y

# f  g3 Q7 m8 }) k8 ]3 U9 H

• 梯形法求解链接
• 数值求解：
  

• f = @(x) cos(15*x);
• S=integral(f,0,3*pi/2,'RelTol',1e-20)
  

* R  J* V" k0 L9 s' K
5 i" D% M) i5 B% a0 f) o结论：和梯形法相比，速度和精度明显提高。
5 N9 H+ {7 M2 g8 a8 E2 k
0 b$ F7 @9 b+ v+ E2 A6 n8 {0 f- K& d
例4：大范围积分

; }  B) q; t  L$ e+ I0 x' \计算积分
2 b: \' m- T- r; h0 K# D9 H
, D% T) A# ]( Z2 ^8 }& g' o

• f = @(x)cos(15*x);
• I1 = integral(f,0,100,'RelTol',1e-20)  %//数值解
• syms x
• I0 = int(cos(15*x),x,0,100); vpa(I0)   %//解析解
  

解析解： I 0 = − 0.066260130460443564274928241303306
. p% G$ [. q1 _) \" Q% g' N1 n数值解： I 1 = − 0.066260130460282923303694246897066


例5：广义积分的数值计算
计算

% b4 F% u3 C) }0 z: Z+ Q& _6 U3 X

• f = @(x) exp(-x.^2);
• I1 = integral(f,0,inf,'RelTol',1e-20)  %//数值解
• syms x
• I0 = int(exp(-x^2),0,inf); vpa(I0)     %//解析解
  

) ]8 Z, {# c0 v4 i' K# u
解析解： I 0 = 0.88622692545275801364908374167057
数值解： I 1 = 0.88622692545275805198201624079957


7 _* l2 h4 w0 u! f( d例6：含参函数数值积分

绘制积分函数 曲线
& L+ F, K. A, m! k* D2 w

- J9 R7 H# Y2 D; _+ v2 Q. M

• a = 0:0.1:4;
• f = @(x)exp(-a*x.^2).*sin(a.^2*x);
• I = integral(f,0,inf,'RelTol',1e-20,'ArrayValued',true);
• plot(a,I),  xlabel('\alpha'),  ylabel('I(\alpha)')
  ) L2 x; @- g. [/ i

# q- L$ \( `" b( I7 ?

7 u! j: C% r& }$ r
7 @, }! p1 E% Y& @7 t2 p7 E( r
4 J+ w3 s& Q" e/ Q8 U5 J- e; i

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作者: younicp    时间: 2021-2-5 10:56
matlab实现数值积分 【二】（integral函数）

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