学习一下用Simulink Design Optimization进行微分方程参数的拟合

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总的来说微分方程参数拟合有三种方法：
（1）将原问题转换为一个优化问题，就是使拟合得到的结果和实验测量值之差的平方和最小，此时您可以调用MATLAB优化工具箱的所有函数，最这个目标进行优化，比如fmincon，ga，lsqnonlin等。
% y3 K! p8 {) n  M9 K（2）将原问题看成一个超静定方程组，也就是说一组已知数据构成一个方程，如果有n测量数据就构成n组方程，此时fsolve函数可以搞定这个工作。
5 Z/ c& P/ [$ P1 y$ p) c4 m2 g（3）仍然当作一个拟合问题，而微分方程当作一个黑匣子，只是这个拟合的一直数据是测量的两组而已。这个时候lsqcurvefit、cftool和Simulink Design Optimization就可以大显身手了。不过调用lsqcurvefit和cftool函数来拟合，您必须对这两个函数熟悉呀，这个可是需要一定的MATLAB底子，不是一般的所谓大侠能够搞定的。
- D1 F% y5 x. f$ K+ x- K" X3 F( i( Q
- L+ f+ ^& b, j3 A" |为了把大家从编程的痛苦中解救出来，本文就讨论下利用Simulink Design Optimization进行微分法拟合问题（其实所有拟合问题都是可以的）的解决方案，从此拟合问题不在需要写代码！
# m" f3 B$ x; m, ?" I! U9 h
1 e0 c- p7 K9 n" T$ l# Z. K现在假设我们需要拟合如下微分方程中的系数A和B
8 a5 ^' _6 A6 I" r) u8 @4 C
其实如果已知A和B的值，很容易求解这个微分方程

• A=50;
• B=10;
• x0=1;
• tspan=[0 100];
• odefun=@(t,x)A./x+B.*sin(t);
• [t,x]=ode45(odefun,tspan,x0);
• plot(t,x)
  

, W' p2 ^) F# \: e% ]根据工程经验A和B取值范围是[0 100]，通过实验测量得到变量x随着时间t的变化曲线如下


一、在Simulink中建立微分方程的模型
$ j0 n% d( m5 ^至于Simulink的建模本文不想详细介绍，
; }+ `2 k8 @* h5 `4 ?) o3 U$ r
3 `' ~* N' j% j7 C  n在工作空间中对变量A和B进行随便赋值
! Y( \0 l. h: M" t9 V; z

• A=10;
• B=20;
  - v" F9 E: M& E) G3 j

' H- w3 s2 P0 V& k
' M/ A7 e2 ?) }" M然后运行模型，双击示波器模块，您可以看到如下图形，请注意这个图形和实现测量的结果是有较大出入的，这是因为我们刚才A=10和B=20是随机设置的，并不是系统真实的参数。


二、修改模型中的输入输出
6 l2 {+ K3 a- ~) q4 ?; Q为了使用Simulink Design Optimization，您必须将模型中的输入输出模块修改为in和out模块。
1 V1 O! ]& X" r2 \（1）将“时间”模块替换为，in模块
  T. t0 w0 A1 N! Z（2）将“示波器”模块替换为，out模块


# o; X! i) I( H1 D3 m6 n) g5 y三、导入测量数据到工作空间
( L* [5 Y( x& B# _9 H将上面测量的数据导入到工作空间，方便Simulink Design Optimization使用，您可以将上面的数据文件下载保存到MATLAB工作目录，然后在Command Window中运行

• >> tx=load('data.txt');
• >> t=tx(:,1);
• >> x=tx(:,2);
  

, T  |) v  K: t# a: a8 r1 c" ?* f- v) u四、启动Simulink Design Optimization工具并设置
当前工作空间有如下变量

• >> whos
•   Name      Size         Bytes  Class    Attributes
•   A        1x1            8  double
•   B        1x1            8  double
•   t      8893x1          71144  double
•   tx      8893x2         142288  double
•   x      8893x1          71144  double
  $ G& M. g# n: z3 B

, l9 n! D/ j! F, c请注意一定要给A和B赋值（不知道具体值，可以随意给一个），否则启动Simulink Design Optimization时会报错的！


0 n9 ?2 F  W; C2 C4 _! C( A0 y（1）启动Simulink Design Optimization工具
; k2 C* X+ W6 x6 H  D通过Simulink菜单→Tool→Parameter Estimation..启动Simulink参数估计工具

: q; u: K4 Y" I- }$ F  I  M- ?  d
（2）新建和添加用于拟合的实验数据
点击Transient Data节点，然后New新建一个拟合数据集，将新建的New Data数据集右击重命名为Test1，其实Parameter Estimation工具支持拟合多组不同的数据，本文只有一组。

- w% l: O6 l$ n7 O9 m6 u  B点击刚刚重命名的Test1数据集，切换到Input Data选项卡，选择Data标签下面的表格，然后点击Import按钮，从工作空间选择您的输入数据，同时需要指定这个输入数据的对应时间戳Time，方法是选择Time下表格，点击Import按钮，选择时间变量。本文的输入数据和时间戳都是t变量。

" D$ {+ ?5 b! x, F/ J, c7 d
（3）新建拟合变量和参数设置
点击Variables节点，然后点击下面的Add...按钮，此时工具会自动识别Simulink模型中的未知变量，比如A和B，然后添加您希望拟合的变量，虽然本教程的模型中含有A和B两个变量，但是您完全可以只是拟合A变量，B变量在工作空间中给定，此时只要选择A变量添加就行。

在select parameter框中列出了您添加的的变量，选择某个变量，然后在右侧的default setting中对变量的属性进行设置，比如本教程中变量取值范围是0~100等。
( M4 T* Y  Y0 r' @# r, ]" K
6 ?9 x7 U; n3 x. f' P: l
9 P, i: q- u8 ]6 N" F+ k（4）添加拟合项目，设置拟合参数开始拟合
( H: I. L/ _- n5 _+ A8 g点击Estimation节点，点击下面的New按钮，新建一个拟合项目，同时将项目右击重命名为Fit1

点击Fit1节点，进行拟合项目的设置，包括选择数据集、拟合参数、以及求解器等。

接着勾选需要拟合的参数（当然可以只是勾选其中某些数据，对其进行拟合），由于MATLAB优化工具箱的求解器，对初值要求很高，所以初值的选择将直接影响您的拟合效率和效果。由于本案例简单，你随便设置一个都会收敛。

求解器的设置，这个如果您不知道可以直接默认，当然也可以自己尝试，这需要您有一些优化工具箱的基础，这里不详述了。

6 d) T) L2 Z0 Q! ^7 F* u8 `求解器参数设置好了，就可以点击Start按钮进行拟合了，您可以勾选Show Progress View查看拟合的过程。

, F+ m- T+ ]2 u- H  F: A拟合开始时，拟合曲线和测量曲线不重合，右边的图显示当前的A和B值

# K" Z- F% ~7 _+ o; ^( [拟合结束以后，两个曲线终于重合了，有图显示此时A=50，B=10，很荣幸的告诉您，这个就是我提供那组实验数据时采用的参数。

# H6 c2 w/ O3 a: W& @2 ~6 K) F  S有时候您也许参数设置的很认真，但是Simulink Design Optimization就是不争气，拟合得到的结果很让您不满意。我只能说请节哀吧，因为Simulink Design Optimization工具调用了MATLAB的优化工具箱函数，优化工具箱罢工，Simulink Design Optimization也只能是干着急，要不换一个初值试试？？

- c1 ?4 o( _1 t- I) Z, }( e5 ^（5）接下来还有那个Validation
2 g. D- l4 s, i9 [, q$ y其实就是绘制几幅图，让你比较下残差呀，以及原始数据和拟合数据的对比之类的，不是什么核心的内容，大家自己摸索吧！

0 C3 d3 e* q/ W8 T% b最后看下拟合与实验数据的残差，看起来还挺不错的嘛！
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Simulink Design Optimization进行微分方程参数的拟合