MATLAB最基础教程（零）：基本数学概念

geronimo123

前言：matlab只是个软件，用来完成机械的计算，而如何安排这些计算，需要用户掌握最基本的数学概念。这篇将介绍工程数学中常用的数学概念，与matlab似乎并不相关，但实则是matlab的基础。
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1.数值与符号
1 ~) k: t6 C$ @; x! v% V6 u    如果给工程数学问题分类，最大的两类肯定是数值问题和符号问题，对应matlab的数值运算和符号运算。简而言之，数值运算就是所有的变量的值已知，求解的也是一些具体的值；符号运算则刚好相反，不要求所有的变量都已知，求解的结果也不是变量具体的值，而是变量之间的关系。一个简单的例子是
①数值问题：求解一元二次方程，ax2+bx+c=0，其中a=b=c=1，所求得的结果一定是x=几点几+几点几i，是个复数，是个具体的数值。
% @/ |6 B, L( f# R- p5 o②符号问题：求解一元二次方程，ax2+bx+c=0，所求的的结果一定是x=求根公式，是abc的函数，是个关系
$ W  v* U( c. R1 ]    可见，一个问题是数值问题还是符号问题，很大程度上决定于结果需要求解的是数值还是关系。当然两个问题也可以相互转化，比如数值问题的一元二次方程，我们一般会先转化成符号问题，把abc代入求根公式，求出来变量x的具体数值。但实际中，一般我们并不推荐这样做，原因是matlab的数值和符号是完全不同的两套系统，相互转化不仅需要多余的数值符号转换语言，更可能带来查错的不便。
2.典型数值问题
    以下是常见的数值问题，文中提到的解法均可在数值计算、科学计算、数值算法这类书中找到。
# m; |$ @; N4 `" A" `0 n& H+ m2.1代数方程
( F" n" M) f" x    代数方程又分为线性方程和非线性方程，线性方程一般可以转化为矩阵形式AX=b，对A求逆即可。求逆的数值解法一般有高斯赛德尔迭代，超松弛迭代等。非线性方程一般转化为f(x)=zeros其中x是个向量，右侧的zeros表示f是个多输出函数，数值解法一般是迭代，常见的有牛顿迭代，最速梯度，点斜式等。
2.2常微分方程
4 i  z3 z% r  [. D1 t7 F, x6 j; f    常微分方程一般转化为Dy=f(y,t)，且y(0)=y0是初始条件，其中y和Dy都是向量，f也是个多输出函数，数值解法有欧拉法，龙格库塔法。
2.3偏微分方程
    偏微分方程比较复杂，matlab处理偏微分方程也不专业，我也几乎不用matlab处理这类问题。但工程数学上，偏微分方程的解法有两类，差分法和有限元法。差分法需要采用中心差分，迎风差分等。有限元需要计算刚度矩阵等。
$ m+ ^0 B! o0 _8 C. _) ^/ q' E2.4插值和拟合
    插值和拟合是完全不同的两个数学概念，虽然很多时候很多人都混淆了。两者的描述都可以归结为：已知函数上的点(x1,y1),(x2,y2)...(xn,yn)，求一个已知的x，对应的y的数值。插值常用的多项式插值，三次样条插值。拟合的本质是一个最优化问题，其中最常用的一种拟合是线性拟合，求解方法是最小二乘法。
2.5离散周期傅里叶变换
8 t) {1 K2 G# N    严格说来，这并不能算一个数学问题，只是一种运算方式，就好像加减乘除一样。特殊性在于这种变换是对于一个向量进行，且运算后的结果依然是个向量。这里提出来是为了强调这种傅里叶变换的限定，要求是离散周期，这也是数值方法能处理的唯一一种傅里叶变换。
2.6最优化问题
    最优化问题比较宽泛，一般可以归结为求目标函数f(x)的最大或者最小值，其中f是一个单输出的函数，x是一个向量。其中x需要满足线性约束条件、非线性约束条件、上下界。具体的解法有最速梯度，遗传，蚁群，退火等算法。
& M" z2 s! ^( t) ^5 y2.7数值积分
    已知函数上的点(x1,y1),(x2,y2),...(xn,yn)，求函数在x1到xn的定积分。常见算法有矩形公式，梯形公式，辛普森公式。类似的问题还有数值求导。
3.典型符号问题
5 p  F+ [* ~2 u0 D: d9 i# V    以下是常见的符号问题，需要特别指出的是，无解问题。数值问题中也有一部分无解问题，但大多数工程中是碰不到的。而符号问题恰好相反，绝大部分我们遇到的符号问题都是没有解的，或者准确的说，没有解析解。比如求一元五次方程，我们知道x和这些系数存在关系，但无法写出显式的表达式，也就是说没有解析解。
3.1递推转通项
    这个问题可以归结为：已知xn+1=f(xn)，求xn，常见于数列的推导。
& R: F, C1 H7 B5 B8 V5 L: w- i- L* h3.2代数方程
& q& h8 s/ q  h  R0 k" r    区别于数值问题中的代数方程， 这里的代数方程问题可以描述为：f(x,c)=0，求x=x(c)，这里需要求解的其实是x和c的关系。
( i" H' a+ M2 D# D5 \, O$ _3.3常微分方程
& m  a0 H& @& K, q2 G6 B! R) f9 `' B    区别于数值问题中的常微分数方程， 这里的代数方程问题可以描述为：Dy=f(y,t,c)，求y=x(t,c)，一般无需初值条件。
3.4符号积分
    区别于数值问题中的数值积分，这里的符号积分可以描述为：已知函数关系y=f(x)，求y的不定积分。同样的问题还有符号求导。

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